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函数的极限PPT课件

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数列极限复习
?定义:

一般地,如果当项数n无限增大时, 无穷数列{an}的项an无限地趋 近于某个常数a,(既|an-a|无 限地接近于0),那么就说数列 {an}以a为极限,或者说数列 {an}的极限是a 记着:

lim an ? a
n ??

?重要结论
(1)常数c的极限等

于 它本身,

即 (2)

lim C ? C
n ??

lim a ?
n n ??

(3)

A1n ? A2 n ? …… lim ? t t ? 1 n?? B n ? B n ? …… 1 2
s

s ?1

(1)当

x ??



函数f(x)的极限

x

1 y? x
1

10

100

1000

10000

100000

y

1

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

?当自变量x取正值并无限增大时(即x趋向于正无穷大 时),函数y的值无限趋近于0,即|y-o|可以变得任意 小. ?同样地,当自变量x取负值并且它的绝对值无限 增大时(即x趋向于负无穷大时),函数y的值也无 限趋近于0,

定义(1): 一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f(x) 的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷 大时,函数f(x)的极限是a,记着:
x ???

lim f ( x) ? a

定义(2):
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向 于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记着:
x ???

lim f ( x) ? a

问题???
x ???

lim f ( x)



x ???

lim f ( x)

一定存在吗???

问题???

x ???

lim f ( x)



x ???

lim f ( x)

存在

它们的值一定相等吗???

定义(3)

如果

x ???

lim f ( x) ? a



x ???

lim f ( x) ? a

那么就说 当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极 限是a,记着:

lim f ( x ) ? a
x ??

注意:必须两个条件都满足, 才能说-------

对于常数函数f(x)=c(x∈R), 也有 lim

x ??

f ( x) ? C
x

?重要结论:

x ???

lim a ? ?
x

x ???

lim a ? ?

记忆方法:数形结合法(指数函 数的图象)

(2)当

x ? x0



函数f(x)的极限

问题(1):讨论当x无限趋近于2(从左、右两边)时,

函数

y?x

2

的变化趋势:

lim x ? 4
2 x?2
2

问题(1):讨论当x无限趋近于1 (从左、右两边)

x ?1 y? 的变化趋势: x ?1
时,函数

x ?1 lim ?2 x ?1 x ? 1
2

问题???
当 x从x0的左、右两边趋近于x0时, f(x)的极限一定相等吗?

你能否举例说明?





定义(4) 一般地,当自变量x无限趋近于常数x0时(但x不等 于x0),如果函数f(x) 无限趋近于一个常数a,就 说当x趋近于x0时时,函数f(x)的极限是a,记着:
x ? x0
0

lim f ( x) ? a

lim f ( x ) 也叫做函数f(x)在点x=x0处的极限 x? x

x无限趋近于常数x0,是指x从x0的左、右两边趋近于x0

lim C ? C ?一般地,设C为常数,则 x ?x
x ?1 ?2 由例2及 lim , x ?1 x ? 1 你能总结出一般性结论吗?
2
0

本节课主要学 习了哪些问题?

第二课时

函数的左、右极限

说出下列函数极限的定义:
(1)
x ??? x ???

lim f ( x) ? a

(2) (3)

lim f ( x) ? a lim f ( x ) ? a
x ??

(4)

x ? x0

lim f ( x) ? a

定义(1):

x ???

lim f ( x) ? a

一般地,当自变量x取正值并无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就 说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极 限是a,记着:

定义(2):

x ???

lim f ( x) ? a

一般地,当自变量x取负值并且绝对值无 限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一 个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函 数f(x)的极限是a,记着:

定义(3)

lim f ( x ) ? a
x ??

lim f ( x ) ? a lim f ( x ) ? a 如果 x ??? 且 x ???
那么就说 当x趋向于无穷大时,函 数f(x)的极限是a,记着:

定义(4)(函数在一点处的极限)
x ? x0

lim f ( x) ? a

一般地,当自变量x无限趋近于常数 x0时(但x不等于x0),如果函数f(x) 无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于 x0时时,函数f(x)的极限是a,记着:
x无限趋近于x0,应理解为x可以用任何方式 无限趋近于x0

阅读:P80例2 练习: P81练习2

想一想:

可以总结出什么规律?

左极限定义: 一般地如果当x从点x0左侧(即x<x0)无限趋近 于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数 f(x)在点x0处的左极限,记作

右极限定义:

x ? x0

lim? f ( x) ? a

一般地如果当x从点x0右侧(即x<x0)无限趋近 于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数 f(x)在点x0处的右极限,记作
x ? x0 ?

lim f ( x) ? a

根据函数在一点处的极限、左 极限、右极限的定义,可以得 出:
lim f ( x) ? a
x ? x0

x ? x0

lim? f ( x) ? lim f ( x) ? a
x ? x0 ?

练习1:P83练习1、2 练习2: P83习题1

举例说明:
f ( x) 可以都不存在 lim f ( x) 与 xlim ( 1) ?x ? x?x
0 ?
0

lim f ( x ) lim f ( x) ? ( 2) 与 x? x ? 可以都存在, x ? x0
0

但两个极限值不相等
0

lim f ( x ) lim f ( x) ? ( 3) 与 x? x ? 可以都存在, x ? x0

且两个极限值相等

谢谢欣赏
欢迎督查指导