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广东省汕头市潮南区东山中学2012-2013学年高二上学期期末数学理试题

时间:2014-03-19


潮南区东山中学高二级数学期末测试题(理科)
(2012-2013 学年度第一学期 )
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.

2、点 A(2,1,-1)关于 x 轴对称的点的坐标为( ) A. (2,-1,1) B.(2,-1,-1) C.(2,-1,-1)

D.(-2,1,-1)

4.如左下图所示, 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个直径为 1 的圆, 那么这个几何体的表面积为( ) A.3π B.2π C.4π D. ?

3 2

5.已知椭圆 A.4 B. 5 C.7

x2 y2 ? ? 1, 长轴在 y 轴上, 若焦距为 4, 则 m 等于 ( 10 ? m m ? 2
D.



7. 已知圆的方程 x ? y ? 25 , 过 M (? 4 , 3 )
2 2

作直线 MA, MB 与圆交于点 A, B , 且M AM ,B

关于直线 y ? 3

对称,则直线 AB 的斜率等于(



A. ?

3 4

B.

?

4 3

C. ?

5 4

D. ?

4 5


8. 在四面体 ABCD 中, 已知棱 AC 的长为 2 , 其余各棱长都为 1 , 则二面角 A ? CD ? B 的余弦值为 (

1 A. 2

1 B. 3

3 C. 3

2 D. 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

11.若动点 P 在 y ? 2 x ? 1 上,则点 P 与点 Q(0,-1)连线中点的轨迹方程是
2

.

13、若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列,则该双曲线的离心率是

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)求满足下列条件的直线的方程: (1)经过点 A(3,2) ,且与直线 4x+y-2=0 平行; (2)经过点 B(2,-3) ,且平行于过点 M(1,2)和 N(-1,-5)的直线; (3)经过点 C(3,0) ,且与直线 2x+y-5=0 垂直.

⒗(本小题满分 12 分)已知命题 p:曲线 y ? x ? (2m ? 3) x ? 1 与 x 轴相交于不同的两点;
2

命题 q :

x2 y 2 “p 或 q”是真命题, ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆.若“p 且 q” 是假命题, m 2

求 m 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD ,且
?

1 , AB ? 1, M 是 PB 的中点。 2 (1)求异面直线 AC 与 PB 所成的角的余弦值; (2)证明:面 PAD ? 面 PCD ; PA ? AD ? DC ?

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 3
2

(1)当 x ? (0,

) 时,求函数 f ( x) 的值域; 2 28 ? 5? ? (2)若 f ( x) ? ,且 x ? ( , ) ,求 cos(2 x ? ) 的值. 5 6 12 12

?

19.(本小题满分 14 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 (1)求证数列 ?S n ?为等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项 an ; (3)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn .

? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .

20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的 圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点 O.椭圆 之和为 10. (1)求圆 C 的方程. (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若存在,请 求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
x2 a2 ? y2 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两点的距离 9

潮南区东山中学高二级数学期末测试题答案(理科)
(2012-2013 学年度第一学期 ) 一.选择题
1-4 AACD 二.填空题
2

5-8 DABC

9 ?x ? R, x ? 2 ? 0

10. 17

11. y ? 4 x

2

12. x ?
2

y2 ?1 3
2 2

13.

5 3

14. ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 13

三.解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)由直线 4x+y-2=0 得直线的斜率为-4, 所以经过点 A(3,2) ,且与直线 4x+y-2=0 平行的直线方程为 y-2=-4(x-3),即 4x+y-14=0. (2)由已知,经过两点 M(1,2)和 N(-1,-5)的直线的斜率 (4 分) (2 分)

k?

?5?2 7 ? , ?1?1 2 7 ( x ? 2) ,即 7x-2y-20=0. 2 1 . 2

(6 分)

所以,经过点 B(2,-3) ,且平行于 MN 的直线方程为

y?3?

(8 分) (9 分) (10 分)

(3)由直线 2x+y-5=0 得直线的斜率为-2, 所以与直线 2x+y-5=0 垂直的直线的斜率为

所以,经过点 C(3,0) ,且与直线 2x+y-5=0 垂直的直线方程为

y?

1 ( x ? 3) ,即 x-2y-3=0. 2
2

(12 分)

⒗(本小题满分 12 分) 解:命题 p 为真 ? ? ? (2m ? 3) ? 4 ? 0 ? m ? 若命题 q 为真 ? m ? 2 “p 或 q”是真命题 ?“p 且 q” 是假命题,

1 5 或m ? 2 2

? 3分 ? 5分 ? 7分 ? 9分

? p, q 一真一假

1 5 ? 1 ?m ? 或m ? 若 p 真 q 假,则 ? 2 2 ?m ? 2 ? ?m ? 2

5 ?1 ? ?m? 若 q 真 p 假,则 ? 2 2 ? ?m ? 2
综上, m ?

?2 ? m ?

5 2

? 11 分

1 5 或2 ? m ? 2 2

?12 分

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0), 故 AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC ? 面 PAD .又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD ⊥面 PCD .

(Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知得 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

)?4 6 ? ? ? 7? ? 1 当 x ? (0, ) 时, 2 x ? ? ( , ) , sin(2 x ? ) ? (? ,1] 2 6 6 6 6 2
所以函数 f ( x) 的值域为 (3,6]

?

????3 分 ????5 分 ????6 分 ????8 分 ????10 分

(2)由 f ( x) ?

28 ? 4 ,得 sin(2 x ? ) ? 5 6 5 ? 5? ? 3 因为 x ? ( , ) ,所以 cos(2 x ? ) ? ? 6 12 6 5
所以 cos(2 x ?

?
12

) ? cos[(2 x ?

?
6

)?

?
4

]?

2 10

????12 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)? an ?1 ? 2Sn ,

? Sn ?1 ? Sn ? 2Sn ,???? 1 分,
? Sn ?1 ? 3 .???? 2 分, Sn

又? S1 ? a1 ? 1 ,???? 3 分

?数列 ? S n ? 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列 ???? 4 分
n ?1 * (2) 由(1)知 Sn ? 3 ( n ? N ) .???? 5 分,

n ?2 当 n ≥ 2 时, a n ? 2S n ?1 ? 2 ? 3 ,???? 6 分,

? a1 ? 1, 不满足上式,

n ?1 ? 1, ? an ? ? n ?2 ?2 ? 3 , n ? 2

.

???? 7 分

(3) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan , 当 n ? 1 时, T1 ? 1 ; 当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 3 ? 6 ? 3 ? ? ? 2n ? 3
0 1 n ?2

, ????①

? 3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ? ? 2n ? 3n ?1 , ????????② ???? 9 分,
① ? ② 得: ? 2Tn ? 2 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n ?2 ? 2n ? 3n ?1

? 2(1 ? 31 ? 32 ? ? ? 3n ?2 ) ? 2n ? 3n ?1 , 1 ? 3n ?1 ? 2n ? 3n ?1 , 1? 3 n ?1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 3n ?1 , ? 2? ? (1 ? 2n ) ? 3n ?1 ? 1. ???? 12 分,
? Tn ? 1 1 ? (n ? ) ? 3n ?1 (n ? 2). ???? 13 分, 2 2

又? T1 ? a1 ? 1 也满足上式,

? Tn ?

1 1 ? (n ? ) ? 3n?1 (n ? N * ). ???? 14 分. 2 2

20. (本小题满分 14 分) 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)

? m ? ? n, ? m ? 0, n ? 0 ? 则 ? ? m?n ? 2 2 ? ? 2
所求的圆的方程为

解得 ?

? m ? ?2 ? n?2

( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 8

(2) 由已知可得 2a ? 10

a ? 5 ,椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,右焦点为 F (4, 0) . 25 9

设存在点 Q( x, y) ? C 满足条件,则 ? 故存在符合要求的点 Q( ,

?( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 4 12 ? 解得 Q( , ) 2 2 5 5 ? ?( x ? 4) ? y ? 16

4 12 ). 5 5


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