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算法的概念

时间:2011-06-10


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一、情景引入: 情景引入:
引例1:填高考报名表 拿到准考证 引例 :填高考报名表→拿到准考证 →参加考试 填志愿→得到录取通知书 参加考试→填志愿 参加考试 →到大学报名注册 到大学报名注册
引例2:把大象关进冰箱里的过程
1。把冰箱打开 。 2。把大象放进冰箱 。 3。关上冰箱门 。 引例3:一个猎人带一条狗,一只鸡,一袋米过河, 引例 :一个猎人带一条狗,一只鸡,一袋米过河, 每次只能带一样东西过河,如果鸡狗被剩在一起, 每次只能带一样东西过河,如果鸡狗被剩在一起, 狗就会吃鸡;如果鸡米被剩在一起 鸡就会吃米。 如果鸡米被剩在一起, 狗就会吃鸡 如果鸡米被剩在一起,鸡就会吃米。求 猎人带这三样东西过河的顺序
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引例4: 引例 :解方程组

x ? 2 y = ?1 2x + y = 1


① ②

第一步: 第一步: ②-①×2,得5y=3 ① ,

3 第二步:解③得 y = 第二步: 5 y = 3 代入①, 得 x = 1 第三步: 第三步:将 5 代入① 1 5 x= 5 第四步: 第四步:得到方程组的解 { y=3 5
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例:对于一般的二元一次方程组
a1x + b1 y = c1

a 2 x + b2 y = c 2
试写出解该方程组的步骤。 试写出解该方程组的步骤。

(a1b2 ? a2b1 ≠ 0)

① ②

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在数学中,现代意义上的“算法” 算法:在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以 用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤, 用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤, 这些程序和步骤必须是明确和有效的, 这些程序和步骤必须是明确和有效的,而且能 够在有限步之内完成。 够在有限步之内完成。 算法的特点: 算法的特点: 1.有序性 有序性 2.明确性:每一步都应该是能有效执行且有确定的结果, 明确性:每一步都应该是能有效执行且有确定的结果, 明确性 而不应该是模棱两可的; 而不应该是模棱两可的; 3.有限性:应能在有限步内解决问题. 有限性:应能在有限步内解决问题 有限性
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随着计算机的出现,人们常把这些“步骤” 随着计算机的出现,人们常把这些“步骤”编写 程序”由计算机来解决。在数学中, 为“程序”由计算机来解决。在数学中,主

要研究计算机能实现的算法, 要研究计算机能实现的算法,即按照某 种机械程序步骤一定可以得到结果的解 决问题的程序。 决问题的程序。 比如解方程的算法、函数求值的算法、 比如解方程的算法、函数求值的算法、 作图的算法,等等。 作图的算法,等等。

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例题1 例题
(1)设计一个算法,判断 是否为质数 )设计一个算法,判断7是否为质数 (2)设计一个算法,判断 是否为质数 )设计一个算法,判断35是否为质数

(3)设计一个算法,判断 是否为质数 )设计一个算法,判断53是否为质数

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例题
设计一个算法,判断整数 ( 设计一个算法,判断整数n(n>2)是否为质数。 )是否为质数。
第一步:给定大于 的整数 的整数n; 第一步:给定大于2的整数 ; 第二步: 第二步:令i=2. 第三步: i除n,得到余数r 第三步:用i除n,得到余数r 第四步:判断“ = 是否成立 若是, 是否成立, 第四步:判断“r=0”是否成立,若是,则n不是 不是 质数,结束算法;否则, 的值增加 的值增加1,仍用i表 质数,结束算法;否则,将i的值增加 ,仍用 表 示 第五步:判断“ 是否成立, 第五步:判断“i>(n-1)”是否成立,若是,则n是 是否成立 若是, 是 质数,结束算法;否则,返回第三步。 质数,结束算法;否则,返回第三步。
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用二分法设计一个求方程x 是近似根的算法。 例2.用二分法设计一个求方程 2-2=0是近似根的算法。 用二分法设计一个求方程 是近似根的算法 算法分析:假设精确度为 算法分析:假设精确度为0.005
第一步: 第一步:令f(x)=x2-2,因为 (1)<0,f (2)>0,所以设 ,因为f , ,所以设a=1,b=2; , ; 第二步: 判断f 是否为0,若是, 为所求; 第二步:令 m = a + b ,判断 (m)是否为 ,若是,则m为所求; 是否为 为所求 若否,则继续判断f (a)·f (m)大于 还是小于0; 若否,则继续判断 大于0还是小于 ; 大于 还是小于 第三步: f [a 第三步:若 (a) ? f (m) < 0,则含零点的区间为 , m];

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否则, [m 否则,含零点的区间为 , b], 将新得到的含零点 [ 区间仍记为a, b] 第四步:判断 | a - b |< 0.005是否成立 ? 若是,则a 、b之间的任

意 取 值 均 为 满 足 条 件的 近 似 根 ; 若 否 , 则 返 回 第 二 步 .
第 五步 :输 出方程 的根 .
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a
1 1 1.25 1.375 1.375 1.40625 1.40625 1.4140625 1.4140625
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b
2 1.5 1.5 1.5 1.4375 1.4375 1.421875 1.421875 1.41796875 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

|a-b|

0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625
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小结: 小结: 1、算法:解决问题的过程或步骤; 、算法:解决问题的过程或步骤; 2、算法的特点: 、算法的特点: (1).有序性 ) 有序性 (2).明确性 ) 明确性 (3).有限性 ) 有限性

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例4.试给出一个判断一元二次方程 2+bx+c=0解的 试给出一个判断一元二次方程ax 解的 试给出一个判断一元二次方程 个数的算法。 个数的算法。 算法: 算法: 第一步:输入a、 、 的值 的值. 第一步:输入 、b、c的值 的值. 第二步: 的值 第二步:计算? =b2-4ac的值 第三步: 第三步:若?>0,则原方程有两个不等的实根; ,则原方程有两个不等的实根; 若?=0,则原方程只有一个实根; ,则原方程只有一个实根; 若?<0,则原方程无实根 ,则原方程无实根. 第四步:输出结果. 第四步:输出结果

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