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黄冈市2013年高三四月模拟考试理科数学试题


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18、 (12 分) (Ⅰ)15 天中空气质量达到一级的有 5 天,
1 2 C5C10 45 ? 则恰有一天空气质量达到一级的概率 P ? ………………………………4 分

3 C15 91 (Ⅱ)15 天中空气质量超标的天数为 5 天,?? ? 0,1, 2,3 3 C10 24 P (? ? 0) ? 3 ? C15 91 1 C52C10 20 P (? ? 2) ? ? 3 C15 91 1 2 C5C10 45 P(? ? 1) ? ? 3 C15 91 3 C5 2 P (? ? 3) ? 3 ? ………………………………8 分 C15 91

?分布列为

?
P

0

1

2

3

24 45 20 2 91 91 91 91 24 45 20 2 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 …………………………………………12 分 91 91 91 91

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20、 (12 分) (Ⅰ)以 DA、DC、DE 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

???? ? ???? ? BM ? (?2, 0,1), 面ADEF 的一个法向量 DC ? (0, 4, 0) ???? ???? ? ???? ???? ? ? BM ? DC ? 0 ,? BM ? DC 。即 BM // 面ADEF ……………………………4 分 ?? ? t (Ⅱ)依题意设 M (0, t , 2 ? )(0 ? t ? 4) ,设面 BDM 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) 2 ??? ? ? ???? ? ? t 则 DB ? n ? 2 x ? 2 y ? 0 , DM ? n ? ty ? (2 ? ) z ? 0 2 ?? ? ?? ? 2t 令 y ? ?1 ,则 n1 ? (1, ?1, ) ,面 ABF 的法向量 n2 ? (1, 0, 0). 4 ?? ?? ? t ? ? ?? ?? ? ? | n ? n2 | 1 6 ? ? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ?? 1 ?? ? ? ,解得 t ? 2 6 4?2 | n1 | ? | n2 | 2? (4 ? t ) 2

则 A(2,0,0), B(2, 2,0), C (0, 4,0), E(0,0, 2), M (0, 2,1)

? M (0, 2,1) 为 EC 的中点, S?DEM ?

1 S?CDE ? 2 ,B 到面 DEM 的距离 h=2 2

1 4 ?VM ? BDE ? ? S?DEM ? h ? …………………………………………………………8 分 3 3

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2 2 , f ( x)在(??, 0) ?, (0, ) ? 3 3 2 2 4 ………………………4 分 ( , ??) ? ,? f ( x)极小 ? f (0) ? 0,f ( x)极大 ? f ( ) ? 3 3 27 3 2 (Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x化为a(ln x ? x) ? 2 x ? x
22、 (14 分) (Ⅰ) f ?( x) ? ?3x ? 2 x ? 0 , x ? 0或
2

x2 ? 2 x x2 ? 2 x ,设 ? ( x) ? x ? ln x x ? ln x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) 2 ? ?( x) ? ,设 h( x) ? x ? 2 ? 2ln x , h?( x) ? 1 ? 2 ( x ? ln x) x 2 ? h( x)在(1, 2) ?, (2, ??) ? ,? h( x)min ? h(2) ? 4 ? 2 ln ? 0
易知 ln x ? x ,? a ?

?? ?( x) ? 0 ,?? ( x)在[1, ??) 上是增函数, ? ( x)min ? ? (1) ? ?1

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