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2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

时间:2013-06-11


2011 年全国高中数学联赛四川省预赛试题
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

x2 y2 1、双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双曲线的左、右 a b 焦点) ,则该双曲线的离心率 e 等于( ) .
A、

6 2

/>B、 3

C、

3 3 2

D、 2 3

2、 已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,(a, b, c, d ? R ),命题 p : y ? f (x) 是 R 上的单调函数; 命题 q : y ? f (x) 的图像与 x 轴恰有一个交点.则 p 是 q 的( A、充分但不必要条件 C、充要条件 B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件 ) . ).

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布” 中的一种手势, 且是相互独立的. 设在一局中甲赢的人数为 ? , 则随机变量 ? 的数学期望 E? 的值为 ( A、

1 3

B、

4 9

C、

2 3

D、1 ). D、 3 3
D

F N A M

E

4、函数 f ( x) ? A、 3

x ? 5 ? 24 ? 3x 的最大值为(
B、3 C、 2 3

B C

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面成 60° 角, M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且 AM ? FN ,则线段 MN 的长的 取值范围是( ). A、 [ , 2]

1 2

B、 [1, 2]

C、 [ 2, 2]

D、 [ 3, 2]

6、设数列 {an } 为等差数列,数列 {bn } 满足: b1 ? a1 , b2 ? a2 ? a3 , b3 ? a4 ? a5 ? a6 ,?,若

lim

bn ? 2 ,则数列 {an } 的公差 d 为( n ?? n 3 1 A、 B、1 C、2 2
二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

). D、4

7、已知实数 x 满足 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 |? 6 ,则 x 的取值范围是



8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且 | b |? 1 ,则使得向量 a ? mb 与 a ? (1 ? m)b 互相垂 直的所有实数 m 之和为 . . 9、记实数等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 10, S30 ? 70 ,则 S 40 ?

10、设 x 为实数,定义 ?x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?? ? ? 4 , ?? ? ? ? ?3 .关于实数 x 的方程

?3x ? 1? ? 2 x ?

1 的全部实根之和等于 2



11、已知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim

an ? n ??? b n



12、已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,且 SA=SB=SC=AB=2,设 S、A、B、 C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为
1



三、解答题(每小题 20 分,共 80 分) 13、已知 m ? 0 ,若函数 f ( x) ? x ? 100? mx 的最大值为 g (m) ,求 g (m) 的最小值.

14、 已知函数 f ( x) ? 2(sin 4 x ? cos4 x) ? m(sin x ? cos x) 4 在 x ? [0,

?
2

] 有最大值 5, 求实数 m 的值.

15、抛物线 y ? x2 与过点 P(?1, ?1) 的直线 l 交于 P 、 P 两点. 1 2 (I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (II) 求在线段 PP 上满足条件 1 2

1 1 2 的点 Q 的轨迹方程. ? ? PP PP2 PQ 1

16、已知 m 为实数,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足: S n ? 何的正整数 n 恒成立. 求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有

9 4 64 a n ? ? 3 n ? m ,且 a n ? 对任 8 3 3

3k 3 ? S ? 16 . k ?1 k
n

2

2011 年全国高中数学联赛四川省预赛


一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)



x2 y2 ? ? 1 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双曲线的左、右 a2 b2 焦点) ,则该双曲线的离心率 e 等于( ) .
1、双曲线 A、

6 2

B、 3

C、

3 3 2

D、 2 3

2、已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , (a, b, c, d ? R ), 命题 p : y ? f (x) 是 R 上的单调函数; 命题 q : y ? f (x) 的图像与 x 轴恰有一个交点. 则 p 是 q 的( ). B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

A、充分但不必要条件 C、充要条件

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布” 中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为 ? ,则随机变量 ? 的数学期望 E? 的值为 ( A、 ).

1 3

B、

4 9

C、

2 3

D、1 ). D、 3 3
F N A M B C E

4、函数 f ( x) ? A、 3

x ? 5 ? 24 ? 3x 的最大值为(
B、3 C、 2 3

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面成 60° M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且 AM ? FN ,则线段 MN 的长的 范围是( ).

角 , 取 值

A、 [ , 2]

1 2

B、 [1, 2]

C、 [ 2, 2]

D、 [ 3, 2]

D

6、设数列 {an } 为等差数列,数列 {bn } 满足: b1 ? a1 , b2 ? a2 ? a3 , b3 ? a4 ? a5 ? a6 ,?,若

lim
n ??

bn ? 2 ,则数列 {an } 的公差 d 为( n3 1 A、 B、1 C、2 2
二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

). D、4

7、已知实数 x 满足 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 |? 6 ,则 x 的取值范围是



8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且 | b |? 1 ,则使得向量 a ? mb 与 a ? (1 ? m)b 互相垂
3

直的所有实数 m 之和为

. .

9、记实数等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 10, S30 ? 70 ,则 S 40 ?

10、设 x 为实数,定义 ?x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?? ? ? 4 , ?? ? ? ? ?3 .关于实数 x 的方程

?3x ? 1? ? 2 x ?

1 的全部实根之和等于 2



11、已知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim

an ? n ??? b n



12、已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,且 SA=SB=SC=AB=2,设 S、A、B、 C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 三、解答题(每小题 20 分,共 80 分) 13、已知 m ? 0 ,若函数 f ( x) ? x ? 100? mx 的最大值为 g (m) ,求 g (m) 的最小值. 14、 已知函数 f ( x) ? 2(sin 4 x ? cos4 x) ? m(sin x ? cos x) 4 在 x ? [0, 15、抛物线 y ? x2 与过点 P(?1, ?1) 的直线 l 交于 P 、 P 两点. 1 2 (I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (II) 求在线段 PP 上满足条件 1 2 .

?
2

] 有最大值 5, 求实数 m 的值.

1 1 2 的点 Q 的轨迹方程. ? ? PP PP2 PQ 1
9 4 64 a n ? ? 3 n ? m ,且 a n ? 对任 8 3 3

16、已知 m 为实数,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足: S n ? 何的正整数 n 恒成立. 求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有

3k 3 ? S ? 16 . k ?1 k
n





2a 2 1、B. 提示:由题意得 2c ? 3 ? ,解得 e ? 3 . c
2、A. 3 、 C. 提 示 : P (? ? 0) ?

3? 4 4 3? 4 4 3 ?1 1 ? , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? ? ,于是 27 9 27 9 27 9

E? ?

4 4 1 2 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? . 9 9 9 3

4、C. 解法一 f ( x) 的定义域为 5 ? x ? 8 ,由

2 x ? 5 2 24 ? 3x 2 x ? 5 ? 24 ? 3x 23 23 解得 x ? .因为 f (5) ? 3 , f ( ) ? 2 3 , f (8) ? 3 ,于是 4 4 23 f ( x) max ? f ( ) ? 2 3 . 4 解法二 f ( x) 的定义域为 5 ? x ? 8 ,
4

f ?( x) ?

1

?

?3

?

24 ? 3x ? 3 x ? 5

? 0,

f 2 ( x) ? (1? x ? 5 ? 3 ? 8 ? x )2 ? (1 ? 3)(x ? 5 ? 8 ? x) ? 12 ,

当且仅当

23 x ?5 8? x ,即 x ? 时, f ( x) 取到最大值 2 3 . ? 4 1 3
提示:过点 M 作 MH//BC 交 AB 于 H,则

5、B. AC=FB , ∴

AM AH ? , AC AB

F N A M D H

E

又 AM=FN,
B

FN AH ? , ∴ NH//AF , ∴ NH⊥AB , MH⊥AB , ∴ FB AB

∠MHN=60° . 设 AH=x(0≤x≤2),则 MH=x, NH ? 2 ? x ,所以

C

MN ? x 2 ? (2 ? x) 2 ? 2 x(2 ? x) cos 60? ? 3x2 ? 6x ? 4 ? 3( x ? 1) 2 ? 1 .
因此 1 ? MN ? 2 . 6、D. 提示:

bn ? a n( n?1) ? a n( n?1)
2 ?1 2

?2

? ? ? a n( n?1)
2

?n

n ? [a n ( n?1) ? a n ( n?1) ] ?1 ?n 2 2 2
n n(n ? 1) n(n ? 1) ? [a1 ? d ? a1 ? ( ? n ? 1)d ] 2 2 2 n ? (2a1 ? d ? n 2 d ) 2
于是

lim
n ??

bn 1 2a ? d d ? lim ( 1 2 ? d ) ? ? 2 , 3 n ?? 2 2 n n

解得 d ? 4 .

1 5 , ] . 提 示 : 因 为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 |?| (2 x ? 1) ? (5 ? 2 x) |? 6 , 等 号 成 立 当 且 仅 当 2 2 1 5 (2 x ? 1)(2 x ? 5) ? 0 ,即 ? ? x ? 2 2
7 、 [? 8、1. 提示:由于

0 ? (a ? mb) ? [a ? (1 ? m)b] = a ? a ? b ? m(1 ? m)b ?| a |2 ?m(1 ? m) ,
即 m2 ? m? | a | 2 =0,所以由根与系数的关系知符合条件所有实数 m 之和为 1. 9、150. 提示:记 b1 ? S10 , b2 ? S20 ? S10 , b3 ? S30 ? S20 , b4 ? S40 ? S30 . 设 q 为 {an } 的公比,则 b1 , b2 , b3 , b4 构成以 r ? q10 为公比的等比数列,于是

2

2

70 ? S30 ? b1 ? b2 ? b3 ? b1 (1 ? r ? r 2 ) ? 10(1 ? r ? r 2 )
2 即 r ? r ? 6 ? 0 ,解得 r ? 2 或 r ? ?3 (舍去) ,故 S40 ? 10(1 ? r ? r 2 ? r 3 ) ? 150.

10、-4. 提示:设 2 x ?

1 2k ? 1 2k ? 3 ? k ? Z ,则 x ? , 3x ? 1 ? k ? 1 ? ,于是原方程等价于 2 4 4

2k ? 3 ? 2k ? 3 ? ? 4 ? ? ?1 ,即 ? 2 ? 4 ? ?1 , ? ?
5

11 7 ? k ? ? ,即 k ? ?5或 ? 4 . 2 2 9 7 相应的 x 为 ? ,? .于是所有实根之和为 ? 4 . 4 4
从而 ? 11 、

3 . 提 示 : 由 条 件 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 , 于 是

1 1 a n ? [(1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ], bn ? [(1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ] ,故 2 2 3

an (1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ? lim 3 ? n ??? b n ??? (1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n n lim
1? 1? ( 1? ? lim 3 ? n ??? 1? 1? ( 1?
12、

3 3 3 3

)n ? 3. )n
影是△

3 . 提示:如图,因为 SA=SB=SC,所以 S 在平面 ABC 上的射 3

S
的外心

ABC 的外心,即 AB 的中点 H,同理 O 点在平面 ABC 上的射影也是△ABC H,即在等边△SAB 中,求 OH 的长,其中 OA=OB=OS. 显然, OH ?

O A H C B

1 1 3 3 . SH ? ? 2 ? ? 3 3 2 3
100? t 2 ,所以 m

13、令 t ? 100 ? mx ,则 x ?

100 ? t 2 1 m 100 m y? ? t ? ? (t ? ) 2 ? ? . m m 2 m 4 m 100 m 100 m ? ,即 g (m) ? ? .所以 ∴当 t ? 时, y 有最大值 2 m 4 m 4

100 m 100 m ? ?2 ? ? 10 , m 4 m 4 等号当且仅当 m ? 20 时成立,∴当 m ? 20 时, g (m) 有最小值 10. g (m) ?

14、 f ( x) ? 2(sin x ? cos x) ? 4 sin x cos x ? m(sin x ? cos x)
2 2 2 2 2

4

? 2 ? (2 sin x cos x) 2 ? m(sin x ? cos x) 4
令 t ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) ? [1, 2 ] ,则 2 sin x cos x ? t 2 ? 1 ,从而

f ( x) ? 2 ? (t 2 ? 1) 2 ? mt4 ? (m ? 1)t 4 ? 2t 2 ? 1
令 u ? t ? [1, 2] ,由题意知 g (u) ? (m ? 1)u ? 2u ? 1在 u ? [1, 2] 有最大值 5.
2 2

6

当 m ? 1 ? 0 时, g (u) ? 2u ? 1 在 u ? 2 时有最大值 5,故 m ? 1 符合条件; 当 m ? 1 ? 0 时, g (u) max ? g (2) ? 2 ? 2 ? 1 ? 5 ,矛盾! 当 m ? 1 ? 0 时, g (u) ? 2u ? 1 ? 5 ,矛盾! 综上所述,所求的实数 m ? 1 . 15、 (I)直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,与抛物线方程 y ? x2 联立

? y ? x2 得? , 消去 y 得 x2 ? k ( x ? 1) ? 1 , x2 ? kx ? (k ? 1) ? 0 , ? ? (?k )2 ? 4(k ? 1) ? 0 , 即 由 ? y ? 1 ? k ( x ? 1)
解得 k ? ?2 ? 2 2 或 k ? ?2 ? 2 2 . ( II ) 设 Q 点 坐 标 为 ( x, y ) , P 点 坐 标 为 ( x1 , y1 ) , P 点 坐 标 为 ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? k , 1 2

x1 ? x2 ? ?(k ? 1) .
又 P 、 P 、 Q 都在直线 l 上,所以有 y ? 1 ? k ( x ? 1) , y1 ? 1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? 1 ? k ( x2 ? 1) ,由 1 2

1 1 2 得 ? ? PP PP2 PQ 1
1 ( x1 ? 1) ? ( y1 ? 1)
2 2

?

1 ( x2 ? 1) ? ( y2 ? 1)
2 2

?

2 ( x ? 1) ? ( y ? 1)
2 2



化简得

1 1 2 ? ? | x1 ? 1| | x2 ? 1| | x ? 1|
又因此

( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? ?(k ?1) ? k ? 1 ? 2 ? 0 ,
点 Q 在线段 PP 上,所以 x1 ? 1, x2 ? 1, x ? 1 同号.则 1 2

1 1 2 . ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x ? 1
因此

x?2

x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 2?k , ?1 ? x1 ? x2 ? 2 k ?2
2?k 3k ? 2 ? 1) ? 1 ? , k ?2 k ?2



y ? k ( x ? 1) ? 1 ? k ? (



2 ? 2x 3 ?2 2 ? 2x x ?1 由① k ? 得 代入② y ? 得 ? 1 ? 2 x ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 . 2 ? 2x x ?1 ?2 x ?1 4 ? 1 的 取 值 范 围 是 ? 2 ?1 ? x ? 2 ?1且 又 因 为 k ? ?2 ? 2 2 或 k ? ?2 ? 2 2 , 所 以 x ? k?2
x ? ?1 ,因此点 Q 的轨迹方程是 2 x ? y ? 1 ? 0 ( ? 2 ?1 ? x ? 2 ?1 且 x ? ?1 ) .
16、当 n ? 1 时,由 a1 ? 当 n ? 1 时,
7

9 a1 ? 4 ? m 得 a1 ? 8(4 ? m) . 8

Sn ? S n ?1
所以

9 4 an ? ? 3n ? m , 8 3 9 4 ? a n ?1 ? ? 3 n ?1 ? m , 8 3

a n ?1 ?


9 9 8 a n ?1 ? a n ? ? 3 n , 8 8 3

a n ?1 ? 9a n ?
所以

64 n ?3 , 3

a n ?1 ?

32 n ?1 32 ? 3 ? 9(a n ? ? 3 n ) , 9 9 32 32 a n ? ? 3 n ? (a1 ? ) ? 9 n ?1 , 9 3

8 32 (16 ? 3m) ? 9 n ? ? 3 n . 27 9 8 32 64 (16 ? 3m) ? 9 n ? ? 3 n ? 由条件知, 对任何正整数 n 恒成立,即 27 9 3 8 64 1 32 1 (16 ? 3m) ? ? ? ? n 27 3 9n 9 3 对任何正整数 n 恒成立, 64 1 32 1 64 1 32 1 96 ? n ? ? n 在 n ? 1 时取最大值 ? ? ? ? 由于 . 3 9 9 3 3 9 9 3 27 8 96 4 (16 ? 3m) ? 于是 ,解得 m ? . 27 27 3 4 由上式知道 m 的最大值为 . 3 4 当 m ? 时, 3 32 ?2 an ? ? 9 n ? ? 3n , 9 9
即 an ? 于是

Sn ?

9 32 32 4 4 ( ? 9 n ? ? 3n ) ? ? 3n ? 8 9 9 3 3

4 ? [3 ? (3n ) 2 ? 4 ? 3n ? 1] 3 4 ? (3n ?1 ? 1)(3n ? 1) 3
所以

3k 3 n 3k ? ? k ?1 ? S 4 k ?1 (3 ? 1)(3k ? 1) k ?1 k
n

8

?

3 n 1 1 ? ( 3k ? 1 ? 3k ?1 ? 1) 8 k ?1

3 1 1 ? ( ? n?1 ) 8 3 ?1 3 ?1 3 1 3 ? ? ? 8 2 16

9


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