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线面平行和面面平行的相关用法


空间的平行关系[线面平行和面面平行]
1.直线 a 和平面α的位置关系有平行、相交、_在平面内_,其中平行与相交统称直线在平面外. 例:(2011·烟台模拟)一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面α的距离相等,那么直线 l 与平面α的位 置关系是( D )

A.l∥α C.l 与α相交但不垂直

B.l⊥α D.l∥α

或 l?α

2.直线和平面平行的判定: (1)定义:直线和平面没有交点,则称直线和平面平行. (2)判定定理:a?α,b?α,且 a∥b?a∥α;[面外直线平行于面内直线] (3)其他判定方法:α∥β,a?α? a∥β.[两个平面平行,则一个面内的任意一条直线都平行于另一个平面] 例:(2011·南京模拟)在四面体 ABCD 中,M、N 分别是△ACD、△BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平行的是面 ABC 和面 ABD[结合几何体的性质] 3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=l?a∥l . 注: (1)若直线平行于平面,直线与面内直线的位置关系为不相交,即平行或异面 (2)或直线平行于平面,则直线上所有的点至平面的距离都相等。 例 如图所示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位置时其截面面积最大? 思维启迪:利用线面平行的性质可以得到线线平行,可以先确定截面形状,再建立 目标函数求最值. 解 ∵AB∥平面 EFGH,平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH.

∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH,同理可证 EF∥GH,∴截面 EFGH 是平行四边形. 设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角). 又设 FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得 =

x CG y BG
, =

a BC b BC

,两式相加得 + =1,即 y= (a-x),

x y

b

a b

a

∴S?EFGH=FG·GH·sin α=x· ·(a-x)·sin α=

b a

bsin α x(a-x). a

∵x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值, ∴当且仅当 x=a-x 时,

bsin α absin α a b x(a-x)= ,此时 x= ,y= . a 4 2 2

即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大. 4.两个平面的位置关系有平行、相交. 5.两个平面平行的判定: (1)定义:两个平面没有交点,称这两个平面平行; (2)判定定理:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α;[一个面内的两条相交直线平行于另一个平面,

则线面平行] (3)推论:一个面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线。 (4)a⊥α,a⊥β?α∥β_.[一条直线同时垂直于两个平面,则这两个平面平行] 例:(2011·湖南四县调研)平面α∥平面β的一个充分条件是( D )

A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β

B.存在一条直线 a,a?α,a∥β

C.存在两条平行直线 a,b,a?α,a∥β,b?β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α
例:下列各命题中: ①平行于同一直线的两个平面平行;②平行于同一平面的两个平面平行;[平行的传递性条件:全部直线 或者全部平面]③一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个相交;④垂直于同一直线 的两个平面平行.不正确的命题个数是( A )A.1

B.2
)

C.3

D.4

例:若直线 a∥直线 b,且 a∥平面α,则 b 与α的位置关系是(D. A.一定平行 B.不平行 C.平行或相交

D.平行或在平面内

6.两个平面平行的性质定理: α∥β,a?α?a∥β[原因:直线不可能与平面有交点] α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?_a∥b __.[两直线即不相交又不异面,只能平行] 注:夹在两平行平面的平行线段长度相等。 应用一 线面平行的判定 例1 证明 如图所示,作 PM∥AB 交 BE 于 M,作 QN∥AB 交 BC 于 N,连接 MN. ∵矩形 ABCD 和矩形 ABEF 全等且有公共边 AB,∴AE=BD. 又∵AP=DQ,∴PE=QB,又∵PM∥AB∥QN, ∴ 已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内, P、 Q 分别是对角线 AE、 BD 上的点,且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 CBE.

PM EP QN BQ AB


EA DC BD





,∴

PM QN AB


DC

.∴PM 綊 QN,

∴四边形 PQNM 为平行四边形,∴PQ∥MN 又 MN?平面 BCE,PQ?平面 BCE,∴PQ∥平面 BCE. [简单例题]例:在四棱锥 P—ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边形,M、N 分别是 AB、PC 的中点, 求证:MN∥平面 PAD. 证明 取 PD 中点 F,连接 AF、NF、NM.∵M、N 分别为 AB、PC 的中点, 1 1 ∴NF 綊 CD,AM 綊 CD,∴AM 綊 NF.∴四边形 AMNF 为平行四边形,∴MN∥AF. 2 2 又 AF?平面 PAD,MN?平面 PAD,∴MN∥平面 PAD. 例:在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点.求证:BE∥平面 PDF. 证明 取 PD 中点为 M,连接 ME,MF,∵E 是 PC 的中点, 1 ∴ME 是△PCD 的中位线,∴ME 綊 CD. 2

∵F 是 AB 的中点且四边形 ABCD 是菱形,AB 綊 CD,∴ME 綊 FB,∴四边形 MEBF 是平行四边形,∴BE ∥MF. ∵BE?平面 PDF,MF?平面 PDF,∴BE∥平面 PDF. 应用二 面面平行的判定 例2 ∥平面 A1BD. 依据:(1 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (3)利用平行的传递性:证面 MNP∥面B1 D1 C∥平面 A1BD. 证明 方法一 如图所示,连接 B1D1、B1C. ∵P、N 分别是 D1C1、B1C1 的中点,∴PN∥B1D1.又 B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又 PN?面 A1BD,∴PN∥平面 A1BD. 同理 MN∥平面 A1BD.又 PN∩MN=N,∴平面 MNP∥平面 A1BD. 方法二 如图所示,连接 AC1、AC. ∵ABCD—A1B1C1D1 为正方体,∴AC⊥BD. 又 CC1⊥面 ABCD, BD?面 ABCD, ∴CC1⊥BD, ∴BD⊥面 ACC1, 又∵AC1?面 ACC1, ∴AC1⊥BD. 同理可证 AC1⊥A1B, ∴AC1⊥平面 A1BD ∴平面 PMN∥平面 A1BD. 例: 已知 P 为△ABC 所在平面外一点,G1、G2、G3 分别是△PAB、△PCB、△PAC 的重心. (1)求证:平面 G1G2G3∥平面 ABC;(2)求 S△G1G2G3∶S△ABC. (1)证明 如图所示,连接 PG1、PG2、PG3 并延长分别与边 AB、BC、AC 交于点 D、E、F,连接 DE、EF、FD,则有 PG1∶PD=2∶3,PG2∶PE=2∶3, ∴G1G2∥DE.又 G1G2 不在平面 ABC 内,DE 在平面 ABC 内,∴G1G2∥平面 ABC. 同理 G2G3∥平面 ABC. 又因为 G1G2∩G2G3=G2, (2)解 由(1)知 1 3 ∴平面 G1G2G3∥平面 ABC. 同理可证 AC1⊥平面 PMN, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点,求证:平面 MNP

PG1 PG2 2 PD


2 1 1 1 = ,∴G1G2= DE.又 DE= AC,∴G1G2= AC. 同理 G2G3= AB,G1G3= PE 3 3 2 3 3

BC.∴△G1G2G3∽△CAB,其相似比为 1∶3,∴S△G1G2G3∶S△ABC=1∶9.
应用三 平行中的探索性问题 例3 (2011·惠州月考)如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,CD∥AB,AD⊥AB, 1 AD=DC= AB,BC⊥PC.(1)求证:PA⊥BC; 2 (2)试在线段 PB 上找一点 M,使 CM∥平面 PAD,并说明理由. 现,解答此类问题时先以特殊位置尝试探究,找到符合要求的点后再给出严格证明. (1)证明 连接 AC,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为 E.

在四边形 ABCD 中,AD⊥AB,CD∥AB,AD=DC,∴四边形 ADCE 为正方形. 1 ∴∠ACD=∠ACE=45°.∵AE=CD= AB,∴BE=AE=CE.∴∠BCE=45°. 2 ∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=45°+45°=90°.∴AC⊥BC. 又∵BC⊥PC,AC?平面 PAC,PC?平面 PAC,AC∩PC=C,

∴BC⊥平面 PAC.∵PA?平面 PAC,∴PA⊥BC. (2)解 当 M 为 PB 的中点时,CM∥平面 PAD.取 AP 的中点 F,连接 CM,FM,DF. 1 1 则 FM 綊 AB.∵CD∥AB,CD= AB,∴FM 綊 CD.∴四边形 CDFM 为平行四边形.∴CM∥DF. 2 2 ∵DF?平面 PAD,CM?平面 PAD,∴CM∥平面 PAD. 例: 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心, P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时, 平面 D1BQ∥平面 PAO? 解 当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO. ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点,∴QB∥PA.∵P、O 为 DD1、DB 的中点, ∴D1B∥PO.又 PO∩PA=P,D1B∩QB=B,D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO.

推广:转化思想综合应用[视图向几何体的转化] 例 一个多面体的三视图和直观图如图所示, 其中 M、 N 分别是 AB、 SC 的中点, P 是 SD 上的一动点. (1)求证:BP⊥AC;(2)当点 P 落在什么位置时,AP∥平面 SMC? (3)求三棱锥 B—NMC 的体积. (1)证明 连接 BD,∵ABCD 为正方形,∴BD⊥AC, 又 SD⊥底面 ABCD,∴SD⊥AC,∵BD∩SD=D, ∴AC⊥平面 SDB,∵BP?平面 SDB,∴AC⊥BP,即 BP⊥AC. (2)解 取 SD 的中点 P,连接 PN,AP,MN. 1 则 PN∥DC 且 PN= DC∵底面 ABCD 为正方形, 2 1 ∴AM∥DC 且 AM= DC,∴四边形 AMNP 为平行四边形, 2 ∴AP∥MN.又 AP?平面 SMC,MN?平面 SMC,∴AP∥平面 SMC. 1 1 11 1 1 1 1 1 (3)解 VB—NMC=VN—MBC= S△MBC· SD= · ·BC·MB· SD= ×1× × ×2= . 3 2 32 2 6 2 2 12

1.(2011·开封月考)下列命题中真命题的个数为( ③若直线 a∥b,直线 b?α,则 a∥α;

)

①直线 l 平行于平面α内的无数条直线,则 l∥α;②若直线 a 在平面α外,则 a∥α; ④若直线 a∥b,b?α,那么直线 a 就平行于平面α内的无数条直线.

A.1

B.2

C.3

D.4
)

2.已知直线 a、b、c 和平面 m,则直线 a∥直线 b 的一个必要不充分的条件是(

A.a⊥m 且 b⊥m C.a∥c 且 b∥c

B.a∥m 且 b∥m D.a,b 与 m 所成的角相等

3.在空间中,下列命题正确的是(

)

A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α C.若α∥β,b∥α,则 b∥β

B.若 a∥α,b∥α,a?β,b?β,则β∥α D.若α∥β,a?α,则 a∥β
)

4.设 l1、l2 是两条直线,α、β是两个平面,A 为一点,有下列四个命题,其中正确命题的个数是( ①若 l1?α,l2∩α=A,则 l1 与 l2 必为异面直线;②若 l1∥α,l2∥l1,则 l2∥α; ③若 l1?α,l2?β,l1∥β,l2∥α,则α∥β; ④若α⊥β,l1?α,则 l1⊥β.

A.0 A.1 对

B.1

C.2 B.2 对

D.3
)

5.若直线 a,b 为异面直线,则分别经过直线 a,b 的平面中,相互平行的有(

C.无数对

D.1 或 2 对

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011·秦皇岛月考)下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的 中点,能得出 AB∥面 MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).

, 7.过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的有______条. 8.

如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P a 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________. 3

9、如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,M、N 分别是 BC 和 A1B1 的中点.求证:MN∥平面 AA1C1C. 10、如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点.在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

1.A [①、②、③错,④对.] 2.D [注意命题之间的相互推出关系;易知选项 D 中,若两直线平行,则其与 m 所成的角相等,反之

却不一定成立,故 a、b 与 m 所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件.] 3.D [A 不正确,由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件 b?α;B 不正确,由两个平面平行的 判定定理的条件,因 a、b 未必相交,而可能为两条平行直线,则α、β未必平行;C 不正确,因有可能 b?β; D 正确,由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确.] 4.A [①错,l1?α,l2∩α=A,l1 与 l2 可能相交. ②错,l2 有可能在平面α内.③错,α有可能与β相交. ④错,l1 有可能与平面β相交或平行或在平面内.] 5.A [如图,a,b 为异面直线,过 b 上一点作 a′∥a,直线 a′,b 确定一个平面β,过 a 上一点作 b′∥b,

b 与 b′确定一个平面α,则α∥β.因为α,β是惟一的,所以相互平行的平面仅有一对.]
6.①③解析 ①∵面 AB∥面 MNP,∴AB∥面 MNP, ②过 N 作 AB 的平行线交于底面正方形的中心 O,NO?面 MNP, ∴AB 与面 MNP 不平行③易知 AB∥MP,∴AB∥面 MNP; ④过点 P 作 PC∥AB,∵PC?面 MNP,∴AB 与面 MNP 不平行. 7、解析 如图,EF∥E1F1∥AB,EE1∥FF1∥BB1,F1E∥A1D,

E1F∥B1D,∴EF、E1F1、EE1、FF1、F1E、E1F 都平行于平面 ABB1A1,共 6 条.
2 8. 2 3

a 解析 如图所示,连接 AC,易知 MN∥平面 ABCD,

又∵PQ 为平面 ABCD 与平面 MNQP 的交线,∴MN∥PQ.又∵MN∥AC,

a DP DQ PQ 2 2 2 2 ∴PQ∥AC,又∵AP= ,∴ = = = ,∴PQ= AC= a. 3 AD CD AC 3 3 3
9.证明 设 A1C1 中点为 F,连接 NF,FC,∵N 为 A1B1 中点, 1 ∴NF∥B1C1,且 NF= B1C1,又由棱柱性质知 B1C1 綊 BC,(4 分) 2 又 M 是 BC 的中点,∴NF 綊 MC, ∴四边形 NFCM 为平行四边形.∴MN∥CF,(8 分) 又 CF?平面 AA1C1C,MN?平面 AA1C1C, ∴MN∥平面 AA1C1C.(12 分) 10.解 在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE.证明如下: 如图所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点 F,G,连接 B1F,EG,BG,CD1,FG.因为 A1D1∥B1C1∥BC,且

A1D1=BC,所以四边形 A1BCD1 是平行四

边形,因此 D1C∥A1B.又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点,所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B.这说明 A1,B,

G,E 四点共面,所以 BG?平面 A1BE.(6 分)
因为四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 都是正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点,所以 FG∥C1C∥B1B,且

FG=C1C=B1B,因此四边形 B1BGF 是平行四边形,所以 B1F∥BG.而 B1F?平面 A1BE,BG?平面 A1BE,
故 B1F∥平面 A1BE.(12 分)


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