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北京2013届通州上学期期末高三数学(文科)


通州区高三年级摸底考试期末 数学(文)试卷 2013 年 1 月 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? x x ? 4 , B ? ?0,1,2? ,则 A ? B ?
2

?

?

(A) ?

>(B) ?0?

(C) ?0,1?

(D) ?0,1,2?

2.在复平面内,复数 (A)第一象限

2i 对应的点位于 1? i
(D)第四象限

(B)第二象限 (C)第三象限

3.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,则圆心坐标为 (A) ? 0,1? (B) ? 0, ?1? (C) ?1,0? (D) ? ?1,0?

?2 x , x ≤ 0 , 4.设函数 f ? x ? ? ? 则 f ? f ? ?1? ? ? ? ? ?log 2 x, x ? 0, (A) ? 1 (B) 1 (C) ? 2 (D) 2
5.一个几何体的三视图如图所示,该几何 体的体积是 (A) 16 ? 4 2 (B) 12 ? 4 2 (C)8 (D)4
2 2

2

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图 6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值 (A) 2 ? 2
51

开始 k=1,S=0 S=S+2k k=k+1 k≥50 是 输出 S 结束 否



(B) 2 ? 2
50

(C) 2 ? 1
51

(D) 2 ? 1
50

2013 通州高三上期末数学文科

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7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,则“ a ? 2b cos C ”是“ ?ABC 是等腰三角形”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 8.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之 和的最小值是 (A)

3 5 5

(B) 2

(C)

11 5

(D) 3

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 ,前 5 项的和 S5 ? 25 ,则 a2013 ? .

?2 x ? y ≤ 4, ? x ? 2 y ≤ 4, ? 10.已知 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? y 的最大值为 . x≥0, ? ?y≥0 , ? 1 11.若 x ? 1 ? 0 ,则 x ? 的最小值为 . x ?1 ??? ???? ? 12.在边长为 1 的等边 ?ABC 中, D 为 BC 边上一动点,则 AB ? AD 的取值范围是
13.奇函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?2, 2? ,若 f ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递减,且



f ?1 ? m? ? f ? m? ? 0 ,则实数 m 的取值范围是
14.对任意两个实数 x1 , x2 ,定义 max ? x1 , x2 ? ? ?



g ? x ? ? ? x ,则 max ? f ? x ? , g ? x ?? 的最小值为

? x1 , x1 ≥ x2 , 2 若 f ? x? ? x ? 2 , ? x2 , x1 ? x2 .


三、解答题(共 6 小题,共 80 分)解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x cos x ? cos x ?
2

1 . 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ? ? 16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC, AC=BC=2, AB ? 2 2 ,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点. (Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 M,N 分别为 CC1,AB 的中点, 求证:CN //平面 AB1M.
A M

? π π? , 的最大值和最小值. ? 8 2? ?
C1 A1 B1

C N

B

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17. (本小题满分 13 分) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品,称其重量(单位: 克)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据茎叶图(如右). (Ⅰ)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差, 并说明哪个车间的产品的重量相对稳定; (Ⅱ)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两件样品 重量之差不超过 2 克的概率. 甲 乙

2 12 4 4311 11 025 7 10 89

18.(本小题满分 14 分) 已知椭圆的中心在原点 O ,短半轴的端点到其右焦点 F ? 2,0? 的距离为 10 ,过焦点 F 作直线 l ,交椭 圆于 A, B 两点. (Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)若椭圆上有一点 C ,使四边形 AOBC 恰好为平行四边形,求直线 l 的斜率. 19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? a, b ? R? . (Ⅰ)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处有极值为 10,求 b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 a ? ? ?4, ??? , f ? x ? 在 x ? ?0,2? 上单调递增,求 b 的最小值. 20.(本小题满分 13 分) 现有一组互不相同且从小到大排列的数据 a0 , a1, a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 a0 ? 0 . 记 T ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , xn ?

n 1 , yn ? ? a0 ? a1 ? ? ? an ? ? n ? 0,1,2,3,4,5? ,作函数 5 T

y ? f ? x ? ,使其图象为逐点依次连接点 P ? xn , yn ?? n ? 0,1,2,3,4,5? 的折线. n
(Ⅰ)求 f ? 0? 和 f ?1? 的值; (Ⅱ)设直线 P ?1P 的斜率为 kn ? n ? 1,2,3,4,5? ,判断 k1, k2 , k3 , k4 , k5 的大小关系; n n (Ⅲ)证明:当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? x .

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通州区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷答案 高三数学(文科) 一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 D 6 B 7 A 8 B 2013.1

二、填空题

9. 4025 三、解答题

;10.

8 3

; 11.

1

?1 ? ? 1 ? ? ? ,1 ? 2 ,1? ? ? ;13. ? 2 ? ; 14. ?1 ; ? ;12.

15.解: (Ⅰ)由已知,得 f ? x ? ?

1 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

????????2 分

?

2 ?? ? sin ? 2 x ? ? , 2 4? ?
T?

????????4 分

所以 (Ⅱ)因为

2? ? ? ,即 f ? x ? 的最小正周期为 ? ;????????6 分 2 ? ? ? 5? ? ? x ? ,所以 0 ? 2 x ? ? . ?????? 7 分 8 2 4 4

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?
4

?

?
2

时,即 x ?

?
8

时, f ? x ? 取得最大值

2 ;?? 10 分 2

?
4

?

5? 1 ? 时,即 x ? 时, f ? x ? 取得最小值 ? .?????13 分 4 2 2

16.证明: (Ⅰ)因为 三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1⊥平面 ABC,所以 CC1⊥BC.????1 分 因为 AC=BC=2, AB ? 2 2 , 所以 由勾股定理的逆定理知 BC⊥AC.???2 分 又因为 AC∩CC1=C,所以 BC⊥平面 ACC1A1. 因为 AM ? 平面 ACC1A1,所以 BC⊥AM. ??????4 分 ???????6 分

(Ⅱ)过 N 作 NP∥BB1 交 AB1 于 P,连结 MP ,则 NP∥CC1. ??????8 分 因为 M,N 分别为 CC1, AB 中点, 所以
CM ? 1 2 CC1 , NP ? 1 2 BB1 . ????9 分
C1 A1 M P B1

因为 BB1=CC1,所以 NP=CM. ????????10 分 所以 四边形 MCNP 是平行四边形.????11 分 所以 CN//MP. ????????12 分

C N A

B

因为 CN ? 平面 AB1M,MP ? 平面 AB1M, 所以 CN //平面 AB1 M.

????????13 分

????????14 分

2 2 17.解: (Ⅰ)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 X 甲 、 X 乙 ,方差分别为 s甲 、 s乙 ,

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则 X甲 ?

122 ? 114 ? 113 ? 111 ? 111 ? 107 ? 113 , ????????1 分 6 124 ? 110 ? 112 ? 115 ? 108 ? 109 X乙 ? ? 113 , ????????2 分 6

2 s甲 ?

1? 2 2 2 2 2 2 122 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?113 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?107 ? 113? ? ?? ? 6
? 21 ,
????????4 分
2 2 2 1? 2 2 2 ?124 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113? ? ?115 ? 113? ? ?108 ? 113? ? ?109 ? 113? ? ? 6?

2 s乙 ?

? 29.33 ,

????????6 分

2 2 由于 s甲 ? s乙 ,所以 甲车间的产品的重量相对稳定;????????7 分

(Ⅱ)从乙车间6件样品中随机抽取两件,结果共有 15 个:

?124,110? , ?124,112?, ?124,115?, ?124,108?, ?124,109?, ?110,112? , ?110,115?, ?110,108?, ?110,109?, ?112,115?, ?112,108? , ?112,109? , ?115,108?, ?115,109?, ?108,109? . ?110,112? , ?110,108? , ?110,109? , ?108,109? .
所以 ??????9 分

设所抽取两件样品重量之差不超过2克的事件为 A,则事件 A 共有 4 个结果: ??????11 分 ??????13 分

P ? A? ?

4 . 15

x2 y 2 18.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,???????? 1 分 a b
则 a ? 10 , c ? 2 . 所以 ????????????????2 分

b ? a2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6 , ?????????????3 分
x2 y 2 ? ? 1 . ????????????????4 分 10 6

所以 椭圆方程为

(Ⅱ) 若直线 l ? x 轴, 则平行四边形 AOBC 中, C 与点 O 关于直线 l 对称, 点 此时点 C 坐标为 ? 2c,0 ? . 因 为 2c ? a ,所以点 C 在椭圆外,所以直线 l 与 x 轴不垂直. ????????6 分 于是,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ,点 A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , ?7 分

? x2 y 2 ? ? 1, ? 2 2 2 2 则 ? 10 6 整理得, ? 3 ? 5k ? x ? 20k x ? 20k ? 30 ? 0 ? 8 分 ? y ? k ? x ? 2? , ?

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x1 ? x2 ?
所以

20k 2 , 3 ? 5k 2
12k . 3 ? 5k 2

???????????????? 9 分

y1 ? y2 ? ?

??????????????? 10 分

因为 四边形 AOBC 为平行四边形,所以 OA ? OB ? OC ,???? 11 分 所以 点 C 的坐标为 ?
2

??? ??? ? ?

??? ?

? 20k 2 12k ? ,? ? , ???????????12 分 2 3 ? 5k 2 ? ? 3 ? 5k

? 20k 2 ? ? 12k ?2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 3 ? 5k ? ? ? 3 ? 5k ? ? 1 , 所以 10 6

???????????13 分

2 解得 k ? 1 ,所以 k ? ?1 .??????????14 分

19.解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ,
2

????????????1 分

于是,根据题设有 ?

? f ? ?1? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ? f ?1? ? 1 ? a ? b ? a ? 10
2

解得 ?

?a ? 4 ?a ? ?3 或 ? ??????3 分 ?b ? ?11 ?b ? 3

当?

?a ? 4 2 时, f ? ? x ? ? 3x ? 8x ?11, ? ? 64 ? 132 ? 0 ,所以函数有极值点;???4 分 ?b ? ?11
当?

?a ? ?3 2 时, f ? ? x ? ? 3 ? x ? 1? ? 0 ,所以函数无极值点. ????5 分 ?b ? 3
b ? ?11 . ??
2

所以

???????????????????? 6 分

(Ⅱ)法一: f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ? 0 对任意 a???4, ?? , x ? ?0,2? 都成立,???7 分 所以 F ? a ? ? 2xa ? 3x ? b ? 0 对任意 a???4, ?? , x ? ?0,2? 都成立.8 分
2

因为 x ? 0 ,所以 F ? a ? 在 a???4, ?? 上为单调递增函数或为常数函数,???9 分 所以 F ? a ?min ? F ? ?4? ? ?8x ? 3x ? b ? 0 对任意 x ? ?0,2? 都成立,
2

即 b ? ?3x ? 8 x
2

?

?

max

.
2

??????????????11 分

又 ?3x 2 ? 8 x ? ?3 ? x ? 所以 当 x ? 所以
2

? ?

4 ? 16 16 ? ? ? , 3? 3 3

4 16 2 ? , ??12 分 时, ? ?3 x ? 8 x ? max 3 3 16 16 b ? ,所以 b 的最小值为 .?????13 分 3 3

法二: f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ? 0 对任意 a???4, ?? , x ? ?0,2? 都成立,????? 7 分
2013 通州高三上期末数学文科 第 6 页 共 8 页

即 b ? ?3x ? 2ax 对任意 a???4, ?? , x ? ?0,2? 都成立,
2

即 b ? ?3 x ? 2ax
2

?

?

max



????????????????8 分
2

a ? a2 ? 令 F ? x ? ? ?3x ? 2ax ? ?3? x ? ? ? ,??????????? 9 分 3? 3 ?
2

当 a ? 0 时, F ? x ?max ? F ? 0? ? 0 ,于是 b ? 0 ;?????????10 分 当 ?4 ? a ? 0 时, F ? x ?max ? F ? ?
2 a2 ? a? a ,于是, b ? .??11 分 ? ? 3 ? 3? 3

? a2 ? 16 16 又? ? ? ,所以 b ? . 3 ? 3 ? max 3
综上, b 的最小值为 20. (Ⅰ)解: f ? 0? ?

????????????12 分

16 . 3

????????????13 分

a0 ? 0 , ???????????? 2 分 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 1; a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5
????????????4 分

f ?1? ?

(Ⅱ)解: kn ?

yn ? yn ?1 5 ? an , n ? 1,2,3,4,5 . xn ? xn ?1 T

???????????? 6 分

因为

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,所以

k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? k5 .????8 分

(Ⅲ)证:由于 f ? x ? 的图象是连接各点 P ? xn , yn ?? n ? 0,1,2,3,4,5? 的折线,要证明 n

f ? x ? ? x ? 0 ? x ? 1? ,只需证明 f ? xn ? ? xn ? n ? 1,2,3,4? .????9 分
事实上,当 x ? ? xn?1, xn ? 时,

f ? x? ?

f ? xn ? ? f ? xn?1 ? ? ? x ? xn?1 ? ? f ? xn?1 ? xn ? xn?1

?

xn ? x x ? xn?1 f ? xn?1 ? ? f ? xn ? xn ? xn ?1 xn ? xn ?1

?

xn ? x x ? xn ?1 xn ?1 ? xn ? x . xn ? xn ?1 xn ? xn ?1

下面证明 f ? xn ? ? xn . 法一:对任何 n ? n ? 1,2,3,4? ,

5 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ? n ? ? 5 ? n ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ??????10 分 ? ?
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? n ? a1 ? a2 ? ?? an ? ? ?5 ? n??a1 ? a2 ? ?? an ?
? n ? a1 ? a2 ? ?? an ? ? ?5 ? n ? nan
? n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 5 ? n ? an ? ? ?
??????????????11 分

? n ? a1 ? a2 ? ?? an ? an?1 ? ?? a5 ? ? nT ??????????12 分
所以

f ? xn ? ?

a1 ? a2 ? ? ? an n ? ? xn .??????????13 分 T 5

法二:对任何 n ? n ? 1,2,3,4? , 当 kn ? 1 时,

1 n yn ? ? y1 ? y0 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ?? ? yn ? yn?1 ? ? 5 ? k1 ? k2 ? ? ? kn ? ? 5 ? xn ;????10 分
当 kn ? 1 时,

yn ? y5 ? ? y5 ? yn ? ? 1 ? ?? yn ?1 ? yn ? ? ? yn ?2 ? yn ?1 ? ? ? ? ? y5 ? y4 ? ? ? ?
? 1? 1 1 n ? kn?1 ? kn?2 ? ? ? k5 ? ? 1 ? ?5 ? n ? ? ? xn . 5 5 5
???????????????13 分

综上, f ? xn ? ? xn .

2013 通州高三上期末数学文科

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