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【步步高】2014届高考数学一轮复习 §1.3 正弦定理、余弦定理的应用(一)备考练习 苏教版

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§1.3
一、基础过关

正弦定理、余弦定理的应用(一)

1.如图,A、N 两点之间的距离为________.

2.已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 20° 方向上,灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40°方向上,则灯塔 A 与灯塔 B 的距

离为_______km 3.海上有 A、B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角,则 B、C 间的距离是________ n mile. 4.如图,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两 点分别测得望树尖的仰角为 30°,45°,且 A、B 两点之间的 距离为 60 m,则树的高度为______ m. 5.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°的方向上,与灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮按北偏西 30°的方向航行 30 分钟后到达 N 处,又测得灯塔在货轮的东北 方向,则货轮的速度为________海里/小时.

6.如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D, 现测得∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,则塔高 AB 为 ________.

7.要测量对岸两点 A、B 之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B 之间的距离. 8.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°,而且 两条船与炮台底部连成 30°角,求两条船之间的距离. 二、能力提升 9.台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地区 为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的持续时间为________小 时. 10. 太湖中有一小岛, 沿太湖有一条正南方向的公路, 一辆汽车测得小岛在公路的南偏西 15°
-1-

的方向上,汽车行驶 1 km 后,又测得小岛在南偏西 75°的方向上,则小岛到公路的距离 是________ km. 11.如图所示,在斜度一定的山坡上一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对 于山坡的斜度为 α , 向山顶前进 a m 到达 B 点, B 点测得斜度为 β , 从 设建筑物的高为 h m,山坡对于地平面的倾斜角为 θ ,求证:cos θ asin α sin β = . hsin? β -α ? 三、探究与拓展 12.在海岸 A 处,发现北偏东 45°的方向,距离 A ( 3-1) n mile 的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75°的方向,距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的 速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°的方向逃 窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 答案 1.40 3 2. 3a 3.5 6 4.30+30 3 5.20( 6- 2) 6.

s·tan θ sin β
sin? α +β ?

7.解 如图所示,在△ACD 中,

∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3 (km). 在△BCD 中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°. 3sin 75° 6+ 2 ∴BC= = (km). sin 60° 2 在△ABC 中,由余弦定理,得 6+ 2 ? 6+ 2?2 ? -2 3× 2 ×cos 75°=3+2+ 3- 3=5, ? 2 ?

AB2=( 3)2+?

∴AB= 5 (km). ∴A、B 之间的距离为 5 km. 8.解 如图所示:

∠CBD=30°,∠ADB=30°,∠ACB=45°. ∵AB=30 (m), ∴BC=30 (m),BD=
2

30 =30 3 (m). tan 30°
2 2

在△BCD 中,CD =BC +BD -2BC·BD·cos 30°=900,
-2-

∴CD=30 (m),即两船相距 30 m. 9.1 解析 设 t 小时后,B 市处于危险区内,则由余弦定理得 (20t) +40 -2×20t×40cos 45°≤30 . 化简得 4t -8 2t+7≤0, 7 ∴t1+t2=2 2,t1·t2= . 4 从而|t1-t2|= ? t1+t2? 3 10. 6
2 2 2 2 2

-4t1t2=1.

11.证明 在△ABC 中,由正弦定理, 可知 = , sin∠CBA sin∠ACB 即 = . sin? π -β ? sin? β -α ? asin β ∴AC= . sin? β -α ? 在△ADC 中,由正弦定理, 知

AC

a

AC

a

h
sin α



. sin∠CDA

AC

又∠CDA=90°+θ , asin β sin? β -α ? h ∴ = . sin α cos θ asin α sin β 整理,得 cos θ = . hsin? β -α ? 12.解 如图所示,设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t, 在△ABC 中, ∵AB= 3-1,AC=2, ∠BAC=120°, ∴由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=( 3-1) +2 -2×( 3-1)×2×cos 120°=6, ∴BC= 6 (n mile), 且 sin∠ABC= ·sin∠BAC = 2 3 2 × = . 2 6 2
2 2

AC BC

∴∠ABC=45°,∴BC 与正北方向垂直. ∵∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD 中,由正弦定理得

-3-

sin∠BCD=

BD·sin∠CBD 10tsin 120° 1 = = , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30°. 即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船.

-4-


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