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云南省昆明市第三中学高二数学下学期期中试题 理-课件

时间:2016-07-31


2015—2016 学年下学期高二期中考试 理科数学试题
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A,“第二次出现正面”为事件

B,则 P(B|A)等于 (
1 A. 2

) D. 1 8

r />
1 1 B. C. 4 6 2 2.下面是关于复数 z= 的四个命题: -1+i

p1:|z|=2; p2:z2=2i;p3:z 的共轭复数为 1+i; p4:z 的虚部为-1.
其中的真命题为 ( A.p2,p3 ) B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 )

3.设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9),若 P(X>c+1)=P(X<c-1),则 c 等于( A.1 B.2 C.3 D.4

4.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,有放回地任取 3 件,若 X 表示取到次品的件 数,则 D(X)=( A. ) C.

1 16

B.

3 16

3 4

D.

9 16

5.为了研究大学生就业后的收入问题,一个研究机构调查了在 2013 年已经就业且工作满 两年的 10 000 人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示).为了分析其收 入与学历、职业、性别等方面的关系,要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 200 人作 进一步调查,其中月收入低于 1 500 元的称为低收入者,高于 3 000 元的称为高收入者,则 应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是 ( )

A.1 000,2 000 C.20,40
0 1 2 2 3 3

B.40,80 D.10,20
n n
1 2 3

6.已知 Cn+2Cn+2 Cn+2 Cn+?+2 Cn=729,则 Cn+Cn+Cn+?+Cn等于 ( A.64 B.63 C.32 D.31

n

)

7.右图执行的程序的功能是(

).

A.求两个正整数的最大公约数

1

(第 7 题)

B.求两个正整数的最大值 C.求两个正整数的最小值 D.求圆周率的不足近似值 8. a, b, c, d , e 表示从集合 ?0,1,2,3,4,5? 中任取的 5 个元素(不允许重复) ,则 abcd ? e 为 偶数的概率为( ) A.

1 6

B.

2 5

C.

3 5

D.

1 2

9.从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到 lg a ? lg b 的不同值的个数是 ( A.9 B.10 ) C.18 D.20
开始

a =2,i=1 i≥2 010
否 是

10.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的 结果是( A. ?1 C.2 ). B.1 D.

a ?1?
i=i+1

1 a

输出 a 结束

1 2

(第 10 题) 11. 如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花 供选种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为 ( A.96 ) B.84 C.60 D.48

12.在长度为 1 的线段上任取两点,将线段分成三段,则这三条线 段能构成三角形的概率( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

2 3

二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),则 z 的实部是________.

2

14.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这 五场比赛中得分的方差为________.

15.执行下图所示的程序,输出的结果为 48, 则判断框中应填入的条件为 .

16.关于圆周率 ? ,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯 实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计 ? 的值: 先请 120 名同学,每人随机写下一个都小于 1 的正实数对(x,y) ;再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数 m;最后再根据统计数 m 来估计 ? 的值.假如统 计结果是 m=34,那么可以估计 ? ? . (用分数表示)

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边,且 3c ? 2b sin C (1)试确定角 B 的大小; (2)若 ?ABC 为锐角三角形, b ? 3 ,求 a ? c 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分) 某校高三数学竞赛初赛后,对考生成绩进行统计(考生成绩均不低于 90 分,满分 150

3

分 ) ,将成绩按如下方式分成六组,第一组 [90,100) ,第二组 [100,110) ,??,第六组 [140,150].如图所示为其频率分布直方图的一部分,第四组,第五组,第六组的人数依次 成等差数列,且第六组有 4 人.

(1)请补充完整频率分布直方图,并估计这组数据的平均数 M;(计算时可以用组中值 代替各组数据的平均值) (2)现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选 2 人,记他们的成绩分别为 x,y,若|x -y|≥10,则称此 2 人为“黄金帮扶组”,试求选出的 2 人为“黄金帮扶组”的概率.

19. (本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? BC ? CA ? AA 侧棱 AA1 ? 平面 ABC , 且 D, 1 ? 2,

E 分别是棱 A1B1 , AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ?
(1)求证: EF / / 平面 BDC1 ; (2)求二面角 E ? BC1 ? D 的余弦值.

1 AB . 4

20.(本小题满分 12 分) 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 0 1 2 3

4

频数

1

5

9

5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品 3 件, 当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 ,将 ...3 件,否则不进货 ... 频率视为概率. (1)求当天商店不进货 的概率; ... (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列.

21.(本小题满分 12 分)已知 A、B 分别是椭圆 C : 为 1 ,右焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合. 2 (1)求椭圆 C 的方程;

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,离心率 a 2 b2

(2)已知点 P 是椭圆 C 上异于 A、B 的动点,直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴,若过 F 作直 线 FQ 垂直于 AP,并交直线 l 于点 Q,证明:Q、P、B 三点共线.

22. (本小题满分 10 分)已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) ,以坐标 ? y ? 5 ? 5sin t ,

原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。

2015—2016学年下学期高二期中考试 理科数学参考答案 一、 选择题 ACBDC BADCA BC 二、 填空题

5

13.1 三、 解答题 17.(1) B ?

14.6.8

15.i≥4?

16.

47 15

?
3

或B ?

2? 3

(2) 3 ? a ? c ? 2 3 18.解:(1)设第四组,第五组的频率分别为 m,n, 则 2n=m+0.005×10,①

m+n=1-(0.005+0.015+0.020+0.035)×10,②
由①②解得 m=0.15,n=0.1, 从而得出频率分布直方图(如图所示).

M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05
=114.5. 0.015 (2)依题意,知第四组人数为 4× =12,而第六组有 4 人,所以第四组和第六 0.005 组一共有 16 人,从中任选 2 人,一共有 C16=120(种)选法,若满足|x-y|≥10,则一定 是分别从两个小组中各选 1 人,因此有 C12C4=48(种)选法, 48 2 所以选出的 2 人为“黄金帮扶组”的概率 P= = . 120 5 19.解: (1)设 O 为 AB 的中点,连结 A1O , ∵ AF ?
1 1 2

1 AB , O 为 AB 的中点,∴ F 为 AO 的中点, 4

又∵ E 为 AA1 的中点,∴ EF / / AO , 1 又∵ D 为 A1B1 的中点, O 为 AB 的中点,∴ A 1 D ? OB , 又∵ A 1 DBO 为平行四边形, 1 D / /OB ,∴四边形 A ∴ AO ,∴ EF / / BD , / / BD ,又∵ EF / / AO 1 1 又∵ EF ? 平面 DBC1 , BD ? 平面 DBC1 ,

6

∴ EF / / 平面 DBC1 ; (2)建立如图所示的坐标系, ∵ AB ? BC ? CA ? AA 1B 1 , AA 1 的中点, AF ? 1 ? 2 , D , E 分别为 A

1 AB , 4

1 E (?1, 0,1) , F (? , 0, 0) , B(1, 0, 0) , D(0,0, 2) , C1 (0, 3,2) , 2 ? 设平面 DBC1 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

???? ? ? BC1 ? n ? x ? 3y ? 2z ? 0 ,

??? ? ? ???? ? ??? ? 1 ??? ? EF ? ( , 0, ?1) , BD ? (?1,0, 2) , BC1 ? (?1, 3,2) , BD ? n ? ? x ? 2 z ? 0 , 2

不妨令 z ? 1 ,则 y ? 0 , x ? 2 ,∴ n ? (2,0,1) , 同理可得平面 EBC1 的一个法向量为 m ? (1, ? 3, 2) ,

?

??

?? ? ?? ? | m ? n | 1? 2 ? (? 3) ? 0 ? 2 ?1 10 , cos ? m, n ?? ?? ? ? ? 5 | m|?| n | 2 2? 5
∴二面角 E ? BC1 ? D 的余弦值为

10 . 5

20.解:(1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 1 件) 1 5 3 = + = . 20 20 10 (2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. 5 20 1 4

P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件)= = ; P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 2 件)+P(当天商品销售量为
7

1 9 5 3 3 件)= + + = . 20 20 20 4 所以 X 的分布列为

X P

2 1 4

3 3 4

21.解: (1)抛物线的焦点 F(1,0),

1 ,∴a=2,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , 2 x2 y2 ∴椭圆方程为 ? ? 1 . ...............4 分 4 3
∵e ? (2)由(1)知直线 l 的方程为 x=-2, ∵点 P 异于 A,B,∴直线 AP 的斜率存在且不为 0, 设 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) ,

? x2 y2 ? ? ? 1 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 , 联立 ? 4 3 ? ? y ? k ( x ? 2) ? 16k 2 6 ? 8k 2 12k ,∴ , yP ? . xP ? x A ? x ? P 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 又∵QF⊥AP, kQF ? ? ,∴直线 QF 的方程为 y ? ? ( x ? 1) , k k 12k 3 1 ? ? 2 3 3 ? y ? ? ( x ? 1) 联立 ? ,解得交点 Q (?2, ) , k PQ ? 3 ? 4k 2 k ? ? , k 6 ? 8k k 4k ? x ? ? 2 ?2 ? 3 ? 4k 2 3 ?0 3 k BQ ? k ?? , ?2?2 4k 即 k BQ ? k PQ ,
有公共点 Q,所以 Q,P,B 三点共线.....12 分

22.解: (1)将 ?
2

? x ? 4 ? 5 cost 2 2 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 , ? y ? 5 ? 5 sin t
2

即 C1 : x ? y ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 . 将?

? x ? ? cos? 2 2 代入 x ? y ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 得 y ? ? sin ? ?

? 2 ? 8? cos? ? 10? sin ? ? 16 ? 0 .
8

(2) C 2 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 .
2 2
2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 由? 2 ,解得 ? 或? . 2 ? ?y ? 1 ?y ? 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

所以 C1 与 C 2 交点的极坐标分别为 ( 2 ,

?

) , ( 2, ) 4 2

?

9


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