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湖州市2014学年第一学期期末考试样卷 高三数学卷参考答案及评分标准(文)


湖州市 2014 学年第一学期期末考试样卷
高三数学卷参考答案及评分标准(文)
一、 选择题(本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

题号 答案

1 C

2 A

3 C

4 C

5 D

6 B<

br />
7 D
10、 ? ,

8 B

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9—12 题,每题 6 分,第 13—15 题每题 4 分,共 36 分.) 9、 (2,3) ,

(??,0) (1, ??) ,
3? ? 3 2
14、 ?

[0, 2]

2? 3
2 3

11、

3? , 6
x2 y 2 ? ?1 4 3

12、

? , 4

13、

?12 ? ,4 ?5 ? ?

15、 1

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分) 16.(本小题满分 15 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)求 sin A ? cos C 的取值范围. 解: (Ⅰ)由

sin A b?c ? . sin B ? sin C a ? c

sin A b?c a b?c ? ? 得 , sin B ? sin C a ? c b ? c a ? c
2 2 2 2 2 2

………………………………2 分

化简得: b ? c ? a ? ac 即 ac ? a ? c ? b , 所以 cos B ? 故B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 2ac 2

………………………………5 分 ………………………………7 分

?
3



(Ⅱ) sin A cos C ? sin A cos ?

? 2? ? ? A? ? 3 ?

………………………………8 分

= sin A ? ?

? 1 ? 3 cos A ? sin A ? ? 2 ?, 2 ? ?

………………………………9 分

高三(文科)数学试题参考答案(共九页)——第 1 页

= ? sin 2 A ?

1 4

3 ?1 ? cos 2 A? , 4

……………………………………11 分

=

1 ? 2? sin ? 2 A ? 2 ? 3

3 ? , ?? ? 4

…………………………13 分

2? , 3 3 2? 2? 2? ? 2A? ? 所以 ? , 3 3 3
由B ?

?

可知 0 ? A ?

……………………………………14 分

故 ?1 ? sin ? 2 A ?

? ?

2? 3

? ? ? 1. ?

故?

1 3 1 ? 2? ? ? sin ? 2 A ? 2 4 2 ? 3

3 1 3 ? . ? ? ?? ? 4 2 4
………………………15 分

所以 ?

1 3 1 3 . ? ? sin A cos C ? ? 2 4 2 4

17.(本小题满分 15 分)

ABC , 如图,在四棱锥 C ? A 1 ABB 1 中, A 1 A / / BB 1, A 1 A ? 平面

B1

?A C B ?

?
2

, AC ? AA 1 ?1,

B C? B1B ? 2.
A1 C A B

(Ⅰ)求证:平面 A1 AC ? 平面 B1BC ; (Ⅱ)若点 C 在棱 AB 上的射影为点 P , 求二面角 A1 ? PC ? B1 的余弦值.

P

第 17 题图

(Ⅰ)证明:因为 A1 A ? 平面 ABC ,所以 A1 A ? BC , 又因为 AC ? BC ,所以 BC ? 平面 A 1 AC , 所以平面 A1 AC ? 平面 B1BC .

…………………………2 分 ………………………4 分 …………………………5 分

(Ⅱ)解法 1:先考查二面角 A ? PC ? A1 和二面角 B ? PC ? B1 ,
高三(文科)数学试题参考答案(共九页)——第 2 页

CP ? AB , 因为 AA1 ? 面 ABC ,所以 AA 1 ? CP ,又因为
所以 CP ? 面 A 1 P , CP ? B 1P , 1 ABB 1 ,所以 CP ? A 所以 ?A 1 ? PC ? B 1 一个平面角, 1PB 1 即二面角的 A 因为 tan ?A1 PA ? ……………………7 分

AA1 1 ? ? 5, 1 AP 5

……………………9 分

tan ?B1PB ?

BB1 2 5 , ? ? 4 BP 2 5

……………………11 分

所以 tan ?A 1PB 1 ? tan ?? ??A 1PA ??B 1PB ? , 所以 tan ?A 1PB 1 ? ? tan ? ?A 1PA ? ?B 1PB ? ……………………12 分

??

tan ?A1PA ? tan ?B1PB 1 ? tan ?A1PA tan ?B1PB
5?

……………………13 分

5 3 5 2 ? 2 ? 5 , ?? 3 5 1? 5 2 2
所以 cos ?A1 PB1 ?

……………………14 分

6 6 ,
6 . 6
……………………15 分

所以二面角 A1 ? PC ? B1 的余弦值为 (Ⅱ)解法 2:

CP ? AB 因为 AA1 ? 面 ABC ,所以 AA 1 ? CP ,又因为
所以 CP ? 面 A 1 P , CP ? B 1P 1 ABB 1 ,所以 CP ? A 所以 ?A 1 ? PC ? B 1 的一个平面角 1PB 1 即二面角 A ………………8 分

高三(文科)数学试题参考答案(共九页)——第 3 页

因为 CP ? AB ,所以 AP ?

4 5 5 , BP ? 5 5

……………………10 分

所以 A1 P ? 1 ?

1 6 16 36 6 , B1P ? 22 ? ? ? ? 5 5 5 5 5

………………12 分

又因为直角梯形 A 1 ABB 1 可得 A 1B 1 ? 5 ?1 ? 6 所以 cos ?A1PB1 ?

……………………13 分

A1P 2 ? B1P 2 ? A1B12 2 A1P B1P

…………………………14 分

6 36 ? ?6 6 5 5 所以 cos ?A1 PB1 ? ? 6 6 6 2 5
所以二面角 A1 ? PC ? B1 的余弦值为

6 . 6

………………………15 分

解法 3:如图所示,以 CA 为 x 轴,以 CB 为 y 轴,过 C 作 z 轴,建立空间直角坐标系, 则可知 A ?1,0,0 ? , A 1 ?1,0,1? , B ? 0,2,0? , B 1 ? 0, 2, 2? , P ? , , 0 ? , …8 分

?4 2 ?5 5

? ?

z B1

A1 C A x
则 CA1 ? ?1,0,1? , CP ? ?

P

B
?4 2 ? , ,0? . ?5 5 ?

y

设平面 A 1PC 的一个法向量是 n1 ? ? x, y,1? ,可得:
高三(文科)数学试题参考答案(共九页)——第 4 页

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? 即 n1 ? ? ?1, 2,1? , ………………………………………10 分 ?? ? 4x 2 y y ? 2 ? ? 0 ? ? 5 ?5
同理可得 B1PC 的一个法向量是 n2 ? ?

?1 ? , ?1,1? , ………………………………12 分 ?2 ?

所以二面角 A1 ? PC ? B1 的余弦值为

n1 n2 n1 n2

?

1 6 . ? 6 6

…………………15 分

18. (本小题满分 15 分) 已知二次函数 f ? x ? ? x ? bx ? c ( b, c ? R ) .
2

(Ⅰ ) 若 f ? ?1? ? f ? 2? ,且不等式 x ? f ? x ? ? 2 x ?1 ? 1对 x ? ?0, 2? 恒成立, 求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ ) 若 c ? 0 ,且函数 f ? x ? 在 ??1,1? 上有两个零点,求 2b ? c 的取值范围.

解析:(Ⅰ)因为 f (?1) ? f (2) ,所以 b ? ?1 , 因为当 x ? [0, 2] ,

…………………………………3 分

都有 x ? f ( x) ? 2 | x ? 1| ?1 ,所以有 f (1) ? 1 , 即 c ? 1 ,所以 f ( x) ? x ? x ? 1 ;
2

………………………6 分

………………………………7 分

(Ⅱ)解法 1:因为 f ( x ) 在 [?1,1] 上有两个零点,且 c ? 0 ,

? f ( ?1) ? 0, ? ?b ? c ? 1 ? 0, ? ? 所以有 ? f (1) ? 0, ? ?b ? c ? 1 ? 0, ………………………………………11 分 ?c ? 0, ?c ? 0, ? ?

高三(文科)数学试题参考答案(共九页)——第 5 页

5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

y

O
–1 –2 –3 –4 –5

1

2

3

4

5

6

x

(图正确,答案错误,扣 2 分)

通过线性规划可得 ?2 ? 2b ? c ? 2 . ……………………………………………15 分 (若答案为 ?2 ? 2b ? c ? 2 ,则扣 1 分) 解法 2:设 f ( x ) 的两个零点分别 x1 , x2 ,所以 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,……9 分 不妨设 x1 ?[?1,0) , x2 ? (0,1] , … ………………………11 分

因为 f (2) ? (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ,且 2 ? x1 ? (2,3] , 2 ? x2 ?[1, 2) , …………13 分 所以 f (2) ? (2, 6) ,所以 ?2 ? 2b ? c ? 2 . (若答案为 ?2 ? 2b ? c ? 2 ,则扣 1 分) 19. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n 满足: 3an ? 2 ? Sn . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2n ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式 Tn ? ? ? an 对任意正整数 n 恒成 立,求实数 ? 的取值范围. 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, 3a1 ? 2 ? S1 ,解得: a1 ? 1 ……………………………2 分 当 n ? 2 时, 3an ? 2 ? Sn …………………………………15 分

3an?1 ? 2 ? Sn?1
两式相减得: 3an ? 3an?1 ? an ,即

an 3 ? ,………………………………5 分 an ?1 2
n ?1

3 ?3? 所以 ?an ? 是以 a1 ? 1 为首项, 为公比的等比数列,所以 an ? ? ? 2 ?2?

;……7 分

高三(文科)数学试题参考答案(共九页)——第 6 页

(Ⅱ) Tn ?

n(2 ? 2n) ? n2 ? n , 2

…………………………………9 分

不等式等价于 (n2 ? n) ? ? ?

?2? ?3?

n ?1

? ? ,令 f (n) ? (n2 ? n) ? ? ?
n n ?1 2

?2? ?3?

n ?1

,……10 分

? 2? ?2? 则 f (n ? 1) ? f (n) ? [(n ? 1) ? (n ? 1)] ? ? ? ? (n2 ? n) ? ? ? ? 3? ?3?

??

2n ?1 (n ? 1)(n ? 4) , 3n

…………………………………12 分 所以,当 n ? 4 时, f (n ? 1) ? f (n) ;当 n ? 4 时, f (n ? 1) ? f (n) ;

25 ? 5 160 ? 即 f ( n) 的最大值为 f (4) ? f (5) ? ; 33 27
所以, ? ?

…………………14 分 …………………15 分

160 . 27

20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : x2 ? 4 y 和直线 l : y ? ?2 , 直线 l 与 y 轴的交点为 D , 过点 Q (0, 2) 的直线 交抛物线 C 于 A, B 两点,与直线 l 交于点 P . (Ⅰ)记 ?DAB 的面积为 S ,求 S 的取值范围; (Ⅱ)设 AQ ? ?QB , AP ? ? PB ,求 ? ? ? 的值. 解析:(Ⅰ)显然直线 AB 斜率 k 存在,且 k ? 0 , 设直线 AB 方程 y ? kx ? 2 ,…………………1 分 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 联立方程 ?
P A O D Q

y

B

x

? x 2 ? 4 y, ? y ? kx ? 2,

2 得 x ? 4kx ? 8 ? 0 ,

?? ? 16k 2 ? 32 ? 0 ? 得 ? x1 ? x2 ? 4k , ? x x ? ?8 ? 1 2
所以 x1 ? x2 ?

…………………………………………………3 分

( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ?

? a

…………………………………………4 分

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? 16k 2 ? 32 ……………………………………………………………………5 分
所以 S ?

1 ? QD ? x1 ? x2 ………………………………………………………6 分 2

1 ? ? 4 ? 16k 2 ? 32 2

? 8 2 ……………………………………………………………………………7 分
另解:(Ⅰ) 显然直线 AB 斜率 k 存在,且 k ? 0 ,设直线 AB 方程 y ? kx ? 2 ,………1 分 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,联立方程 ?

? x 2 ? 4 y, ? y ? kx ? 2,

2 得 x ? 4kx ? 8 ? 0 ,

?? ? 16k 2 ? 32 ? 0 ? 得 ? x1 ? x2 ? 4k ,…………………………3 分 ? x x ? ?8 ? 1 2

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

? ………………………………………4 分 a

? 1 ? k 2 16k 2 ? 32
点 Q 到直线 AB 距离为 d ? 所以 S ?

4 1? k 2

………………………………………5 分

1 ? AB ? d ……………………………………………………………6 分 2

1 ? ? 4 ? 16k 2 ? 32 2

? 8 2 ………………………………………………………………………………7 分
(Ⅱ) 设 P ? ( x0 , ?2) ,………………………………………………………………8 分 则由(Ⅰ)可知 AQ ? (? x1 , 2 ? y1 ) , QB ? ( x2 , y2 ? 2) ,…………………………9 分 所以 ? ?

2 ? y1 ,…………………………………………………………………10 分 y2 ? 2

高三(文科)数学试题参考答案(共九页)——第 8 页

同理 ? ?

?2 ? y1 ,……………………………………………………11 分 y2 ? 2

又 y1 y2 ?

x12 x2 2 ( x1 x2 )2 ? ? ? 4 ………………………………………12 分 4 4 16
2 ? y1 ?2 ? y1 4? y y ? ? 2 ? 2 1 2 ………………………………………13 分 y2 ? 2 y2 ? 2 y2 ? 4

故? ? ? ?

因此 ? ? ? 的值为 0 .-…………………………………………………………………14 分

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