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四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二上学期期中试题 数学(理)

时间:2016-07-14


2015 年 11 月

绵阳南山中学 2015 年秋季高 2014 级半期考试 数学试题(理科)
命题人: 李庆普 审题人:蔡晓军

本试卷分试题卷和答题卡两部分, 其中试题卷由第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非 选择题)两部分组成,共 4 页;答题卡共 4 页.满分 100 分,考试时间 100 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 48 分) 注意事项:
每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一个是符合题目要求的.
1、抛物线 x2 ? 8 y 的焦点 F 的坐标是 ( )

A 、 (?2, 0)

B 、 (2, 0)

C 、 (0, ?2)

D 、 (0, 2)

2、已知直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 (a ? 4) x ? ay ? 1 ? 0 垂直,则实数 a 的值为( )

A 、0

B 、 ?4 或 2

C 、0 或6

D 、 ?4
( )

3、已知等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 ,其前 n 项和为 Sn ,则 S15 ?

A 、 240

B 、 120

C 、 80

D 、不确定
( )

4、过点 A(3, ?1) 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有

A 、2 条
5、已知椭圆

B 、3 条

C 、4 条

D 、无数多条

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任 与双曲线 a 2 b2 16 9 意一点到其两个焦点的距离之和为 20 ,则椭圆的离心率 e 的值为 ( )
A、

1 2

B、
2

7 10
2

C、

7 5

D、

4 5

6、若圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 ,直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,则圆 C 关于 直线 l 对称的圆的方程为 ( )

A 、 ( x ? 1)2 ? ( y ? 4)2 ? 4

B 、 ( x ?1)2 ? ( y ? 4)2 ? 4
D 、 ( x ? 4)2 ? ( y ? 1)2 ? 4

C 、 ( x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 4

7、已知双曲线 C : ( )

y 2 x2 5 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线 C 的渐近线方程为 2 3 a b
4 x 3

A、y??

3 x 4

B、y??

C、y??

6 x 3

D、y??

6 x 2

8、已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 和圆 C2 : x2 ? y2 ? 6x ? 8 y ? 16 ? 0 ,则这两个圆的公切线的 条数为 ( )

A 、0

B 、1

C 、3

D 、4

9、已知等比数列 ?an ? 中, a4 ? 2 , a7 ? 16 ,则数列 ?log 2 an ? 的前 10 项和为 ( )

A 、 27
10、椭圆

B 、 26

C 、 25

D 、24

x2 ? y 2 ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴 4 上,那么 | PF1 | 是 | PF2 | 的 ( )
B 、4 倍

A 、3 倍

C 、5 倍

D 、7 倍

11、已知 F1 、 F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 且垂直于 a 2 b2 x 轴的直线交双曲线 C 于 P 、Q 两点,若 ?F2 PQ 为正三角形,则双曲线 C 的离心率 e
( )

的值为

A、 3

B 、2
2

C 、3
y

D、 5
A

12、已知抛物线 C 的方程为 y ? 2 px( p ? 0) , 一条长度为 4 p 的线段 AB 的两个端点 A 、 B 在抛物线 C 上运动,则线段 AB 的中点 D 到 y 轴距离的最小值为

O


B

x



A 、2p

B、

5 p 2

C、

3 p 2

D 、3p

第Ⅱ卷(非选择题,共 52 分)
二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.

13、已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆上任意一点,且 a 2 b2 ???? ???? ? . PF1 ? PF2 ? 0 .若 ?PF1F2 的面积为 9 ,则 b ?

14、已知直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆心为 C 的圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? a)2 ? 9 相交于 A 、 B 两点, 且 ?ABC 为等边三角形,则实数 a ? .

15、已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , Sn 为其前 n 项的和.若 S4 ? S10 ,则数列 ?an ? 的 前 n 和 Sn 取得最小值时, n 的值为 .

16、给出下列命题:①直线 x ? 3 y ?1 ? 0 的倾斜角是

2? ;②已知过抛物线 3 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线与抛物线 C 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,则

p2 x2 y 2 , y1 y2 ? ? p 2 ;③已知 F1 、 F2 为双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点, 4 a b 点 P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点,则 ?PF1 F2 的内心 I 始终在一条直线上.其
有 x1 x2 ? 中所有正确命题的序号为 . 三、解答题:本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 17、(本题满分 10 分) 已知一圆经过点 A(3,1) , B(?1,3) ,且它的圆心在直线 3x ? y ? 2 ? 0 上. (1)求此圆的方程; (2)若点 D 为所求圆上任意一点,且点 C (3, 0) ,求线段 CD 的中点 M 的轨迹方程. 18、(本题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n2 ? n , n ? N ,数列 ?bn ? 满足
*

an ? 4log2 bn ? 3, n ? N * .
(1)求 an , bn 的表达式; (2)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn . 19、(本题满分 10 分)
2

给定直线 l : y ? 2 x ? 16 ,抛物线 G : y ? ax (a ? 0) . (1)当抛物线 G 的焦点在直线 l 上时,求 a 的值;

y B A O F x

(2)若 ?ABC 的三个顶点都在(1)所确定的 抛物线 G 上,且点 A 的纵坐标 y A ? 8 ,

?ABC 的重心恰是抛物线 G 的焦点 F ,
求直线 BC 的方程. 20、(本题满分 10 分)

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,离心率 e ? . 2 2 a b A 、 B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8 . 过F 1 的直线交椭圆于
已知椭圆 E : (1)求椭圆 E 的方程; (2) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P , 且与直线 x ? 4 相交于点 M M Q .求证:以 PQ 为直径的圆恒过一定点 .并求出点 的坐标.

绵阳南山中学 2015 年秋季高 2014 级半期考试数学试题参考答案及评分标准
y

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.
DC B B A B

A1

A

AC C D AC
D1 O F D x

12 题解答:如图所示,设线段 AB 的中点为 D ,分别过 点 A 、 B 、 D 作抛物线的准线的垂线,垂足分别为

B1

B

A1 、B1 、D1 ,则点 D 到 y 轴的距离等于 | DD1 | ?
?

p | AA1 | ? | BB1 | p | AF | ? | BF | p ? ? ? ? 2 2 2 2 2

| AB | p 3 p ? ? ,当且仅当 A, F , B 三点共线时,等号成立. 2 2 2

y P E F2 x

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.
13、3 14、 4 ? 15 15、7 16、②③
F1 O F I D

16、解答:③设 ?PF1 F2 的内切圆与边 F1F2 、 PF2 、 PF1 分别相切于点 D 、 E 、 F 三点,则 xI ? xD ?

| OF2 | ? | DF2 |?| OF2 | ? | F2 E |? c? | PF2 | ? | PE | ? c? | PF2 | ? | PF |? c? | PF2 | ? | PF1 | ? | FF1 | ? c ? 2a? | F1D |? c ? 2a ? (c ? xD ) ? 2a ? xD ? 2a ? xI
所以 xI ? a ,故点 I 在过双曲线右支的顶点 ( a, 0) 且与 x 轴垂直的直线上.

三、解答题:本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分.
17、(本题满分 10 分) 解:(1)法一:由已知可设圆心 N (a,3a ? 2) ,又由已知得 | NA |?| NB | ,从而有

(a ? 3) 2 ? (3a ? 2 ? 1) 2 ? (a ? 1)2 ? (3a ? 2 ? 3)2 ,解得: a ? 2 .……(2 分)
于是圆 N 的圆心 N (2, 4) ,半径 r ?

(a ? 3) 2 ? (3a ? 2 ? 1) 2 ? 10 .……(4 分)
……(5 分)

所以,圆 N 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 10 . 法二:∵ A(3,1) , B(?1,3) ,∴ k AB ? 分)

3 ?1 1 ? ? ,线段 AB 的中点坐标为 (1, 2) , ……(1 ?1 ? 3 2

从而线段 AB 的垂直平分线的斜率为 2 ,方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 0 ……(2 分) 由方程组 ?

?2 x ? y ? 0 ?x ? 2 解得 ? , ?3x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 4
(2 ? 3) 2 ? (4 ? 1) 2 ? 10 ,
……(4 分) ……(5 分)

所以圆心 N (2, 4) ,半径 r ?| NA |?

故所求圆 N 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 10 .

(2)法一:设 M ( x, y ) , D( x1 , y1 ) ,则由 C (3, 0) 及 M 为线段 CD 的中点得:

x ?3 ? x? 1 ? ? x1 ? 2 x ? 3 ? 2 解得: ? . ? y ? 0 y ? 2 y 1 ? 1 ?y ? ? ? 2
2 2 2

…… (7 分)

又点 D 在圆 N : ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 10 上,所以有 (2 x ? 3 ? 2) ? (2 y ? 4) ? 10 ,化简得:
2

5 5 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . 2 2
2 2 故所求的轨迹方程为 ( x ? ) ? ( y ? 2) ?

……(9 分)

5 2

5 . 2
2 2

……(10 分)

法二:设 M ( x, y ) ,又点 D 是圆 N : ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 10 上任意一点,可设

D(2 ? 10 cos? ,4 ? 10 sin ? ) .
? 3? 2? ?x ? ? ∵ C (3, 0) ,点 M 是线段 CD 的中点,∴有 ? ?y ? 0 ? 4 ? ? ?

……(6 分)

10 cos ? 2 ,……(8 分) 10 sin ? 2

2 2 消去参数 ? 得: ( x ? ) ? ( y ? 2) ?

5 2 5 5 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . 2 2

5 .故所求的轨迹方程为 2

……(10 分)

18、(本题满分 10 分) 解:(1)∵ Sn ? 2n2 ? n, n ? N * ,∴当 n ? 1 时,

a1 ? S1 ? 3 .

……(1 分)

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n2 ? n ? [2(n ?1)2 ? (n ?1)] ? 4n ?1. ∵ n ? 1 时, a1 ? 3 满足上式,∴ an ? 4n ?1, n ? N * . ……(3 分)

又∵ an ? 4log2 bn ? 3, n ? N * ,∴ 4n ?1 ? 4log2 bn ? 3 ,解得: bn ? 2n?1 . 故 an ? 4n ?1, , bn ? 2n?1 , n ? N .
*

……(5 分)
*

(2)∵ an ? 4n ?1, , bn ? 2n?1 , n ? N

∴ Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 3? 20 ? 7 ? 21 ? ? ? (4n ? 5) ? 2n?2 ? (4n ?1) ? 2n?1 …①

2Tn ? 3? 21 ? 7 ? 22 ? ?? (4n ? 5) ? 2n?1 ? (4n ?1) ? 2n …②
由①-②得: ?Tn ? 3 ? 4 ? 21 ? 4 ? 22 ? ?? 4 ? 2n?1 ? (4n ?1) ? 2n

……(7 分)

? 3 ? 4?

2(1 ? 2n?1 ) ? (4n ? 1) ? 2n ? (5 ? 4n) ? 2n ? 5 1? 2
*

……(9 分) ……(10 分)

∴ Tn ? (4n ? 5) ? 2n ? 5 , n ? N .

19、解:(1)∵抛物线 G : y 2 ? ax(a ? 0) 的焦点在 x 轴上,且其坐标为 ( , 0) (2 分) ∴对方程 y ? 2 x ? 16 ,令 y ? 0 得: x ? 8 . (3 分) 从而由已知得 分) (2)由(1)知:抛物线 G 的方程是 y ? 32 x , F (8, 0) .
2

a 4

y B A

……

a ? 8 ,a ? 32 . 4

…… (4

OF

D

x

又∵点 A 在抛物线 G 上,且 y A ? 8 ,∴ A(2,8) . 分) 延长 AF 交 BC 于点 D ,则由点 F 是 ?ABC 的重心得:点 D 为线段 BC 的中点.

……( 5 C

设点 D( x, y) ,则由 AF ? 2 FD 得: (8 ? 2,0 ? 8) ? 2( x ? 8, y ? 0) ,解之得: ? ∴ D(11, ?4) 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则由点 B, C 在抛物线 y 2 ? 32 x 上得: ?

??? ?

??? ?

? x ? 11 . ? y ? ?4

……(7 分)

? y12 ? 32 x1 ? ,两式相减得: 2 y ? 32 x ? ? 2 2
…… (9

y2 ? y1 又由点 D 为线段 BC 的中点得 y1 ? y2 ? ?8 ,kBC ? ?4 . ? ( y1 ? y2 ) ? 32 , x2 ? x1
分) ∴直线 BC 的方程为 y ? (?4) ? ?4( x ? 11) ,即 4 x ? y ? 40 ? 0 .

……(10 分)

20、解:(1)∵ | AB | ? | AF2 | ? | BF2 |? 8 ,即 | AF 1 | ? | BF 1 | ? | AF 2 | ? | BF 2 |? 8 . 又 | AF 1 | ? | AF 2 |?| BF 1 | ? | BF 2 |? 2a ,所以 4a ? 8, a ? 2 . 又因为 e ? ……(2 分)

1 c 1 2 2 ,即 ? ,所以 c ? 1 ,所以 b ? a ? c ? 3 . 2 a 2
……(4 分)

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 E 的方程为 4 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (2)法一:由 ? x 2 y 2 消去 y 得 (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P( x0 , y0 ) ,所以 m ? 0 ,且 ? ? 0 ,即

64k 2m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) ? 0 ,化简得 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 .(*)
此时 x0 ? ?

……(6 分)

4km 4k 3 4k 3 ?? , ) , y0 ? kx0 ? m ? ,所以 P ( ? 2 4k ? 3 m m m m
……(7 分)

由?

?x ? 4 得 Q(4, 4k ? m) ? y ? kx ? m

从而以线段 PQ 为直径的圆的方程满足 ( x ? 4, y ? 4k ? m) ? ( x ?

4k 3 , y ? ) ? 0 ,化简得 m m
……(8 分)

x 2 ? 4(

k 3 4k ? 1) x ? y 2 ? (4k ? m ? ) y ? 3 ? ? 0. m m m

2 由对称性知,点 M 必在 x 轴上.而当 y ? 0 时, x ? 4(

k 4k ? 1) x ? 3 ? ? 0 ,易得 x ? 1 ,此式 m m
…… (10 分)

恒成立. 故命题成立.定点坐标为 M (1, 0) .

? y ? kx ? m ? 法二:由 ? x 2 y 2 消去 y 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P( x0 , y0 ) ,所以 m ? 0 ,且 ? ? 0 ,即

64k 2m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) ? 0 ,化简得 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 .(*)
此时 x0 ? ?

……(6 分)

4km 4k 3 4k 3 ?? , ) , y0 ? kx0 ? m ? ,所以 P ( ? 2 4k ? 3 m m m m
……(7 分)

由?

?x ? 4 得 Q(4, 4k ? m) . ? y ? kx ? m

因为存在定点 M 满足条件,由图形对称性知:点 M 必在 x 轴上.取 k ? 0, m ? 3, 此时 P(0, 3), Q(4, 3), 以 PQ 为直径的圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4, 交 x 轴于

3 1 M1 (1,0) , M 2 (3,0) ;取 k ? ? , m ? 2 ,此时 P(1, ), Q(4, 0) ,以 PQ 为直径的圆的方程为 2 2 5 3 45 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? ,交 x 轴于点 M 3 (1,0), M 4 (4,0) .所以满足条件的点存在,其必为 2 4 16 ……(8 分) (1, 0) .
下面证明点 M (1, 0) 满足条件.

? ???? ???? ? 4k 3 ???? 12 12 ? 1, ), MQ ? (3, 4k ? m), 所以 MP ? MQ ? ? k ? 3 ? k ? 3 ? 0 ,故 m m m m ???? ???? ? 恒有 MP ? MQ ,故点 M (1, 0) 恒在以线段 PQ 为直径的圆上. ……(10 分)
因为 MP ? (?

????


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