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“对数与对数运算(一)”教学设计

时间:2015-04-22


“对数与对数运算(一)”教学设计
1 教材分析
“对数与对数运算(一)”这节课是人教 A 版必修 1 第 2 章对数函数第 1 课时.高中数学指数函数与对数函数的学习是按照“指数 →指数函数、对数→对 数函数”展开的.指数是指数函数的基础,对数是对数函数的基础;指数与对数 互为逆运算,指数函数与对数函数互为反函数.从而,学习对数对进一步理解指 数, 对学习对数

函数及理解对数函数与指数函数的内在联系,都有十分重要的意 义.

2 学情分析
高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质,对函 数有了初步的认识.学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习,了解了研究 函数的一般方法,经历了从特殊到一般,具体到抽象的研究过程. 学生初次接触对数这一全新的概念,认识及应用需要一个过程.在教学过程 中,借指数式演化到对数式,引导学生认清各部分关系,从而,将对数这一新知 纳入已有的知识结构中.

3 教学目标
知识与技能 理解对数的概念,会熟练地进行指数式与对数式的互化. 过程与方法 通过具体问题使学生认识对数的模型,体会引入对数的必要性,在举例过程 中理解对数. 情感、态度与价值观 经历对数式与指数式的互化,培养学生的类比分析、归纳能力;在学习过程 中培养学生探究的意识;理解指数与对数之间的内在联系,培养分析、解决问题 的能力.

4 重点与难点
1.重点:(1)对数概念的建立;(2)对数式与指数式的互化. 2.难点:(1)对数概念的形成;(2)对数性质的推导.

5 教学方法与教学手段
问题教学法,启发式教学.

6 教学过程设计
环 节 教学内容设计 设计意图 师生双边互动 教师:我们可以研究什么问题? 学生:回答问题. 教师:你能把要研究的问题用数 学符号语言表达吗? 学生:回答问题. 引导学生自己提出“已知 y (残 留量) 求 x(所经过的衰变时间) ” 的问题,并用符号表述,让学生 明确这就是本节课研究的课题,
x 比如,已知 0.999879 ? 0.5 ,

要测定古物的年代,可以利用放射性 碳法:在动植物的体内都含有微量的 放射性 创 设 情 境
14

C .动植物死亡后,停止了
14

新陈代谢, C 不再产生,且原有的
14

C 会自动衰变.经科学测定,若 14 C

的原始量为 1,则经过 x 年后的残留 量为 y ? 0.999879 .
x

通过学生熟 悉的问题情 境,让学生自 主地提出问 题,引发思 考,体会这些 问题之间的 关联是指数 式a ?N 中
b

问题 1:请你说说关系式
x 有何作用. y ? 0.999879

求x. 教师:你能解决你所提出的问题 已知两个量 吗?(让学生意识到这是一个新 求第三个量. 问题,以前没有遇到过)

问题 2:
x (1)怎 样 认 识 0.999879 ? 0.5

呢? 这里的 x 是什么? (2)求 x ,这里的 x 存在吗?有多少 个?为什么?

构 建 概 念

让学生主动 联系指数函 数图象,尝试 说明这里的 x 是惟一存 在的,并体会 这样的研究 可为后面的 探求提供理 论保证,因而 是有意义的.

教师:提出问题 学生:回答问题 教师:作出 y ? 0.999879
x

与 y ? 0.5 的图象 ,发现它们有交 点,而且只有一个交点,那么指 数 x 在哪里呢? 学生:交点的横坐标就是指数 x . 教师:提出问题 学生:回答问题 学生:稍作议论

问题 3:
x (1)在关系式 0.999879 ? 0.5 中,

x 是惟一存在的,虽然我们不能马上
求出来,你觉得它应该和谁有关呢? (2)对 确 定 的 x ( 5700 ) ,
x 0.999879 ? 0.5 的意义是什么?

让学生意识 到, x 被底数 教师:类比根式的概念的建立过 和 幂 惟 一 确 程,比如, 定,求 x 和 x 2 ? 3 ? x ? ? 3; “指数运算” x5 ? 32 ? x ? 5 32 有关.

(3) 如果把这里的求 x 看成一种运算 的话,谈谈你对它的认识. (4)求这里的 x 会和一种运算有关, 之前你遇到过类似的情形吗?

启发学生意 识到“需要引 进一个概念 和符号” . 并 且利用新名 词、新符号重 新认识问题.

给出名词“对数”和符号“ log ”. 从而解决最初的问题:
x 0.999879 ? 0.5 ? x ? log0.999879 0.5.

教师:提出问题 学生:回答问题 教师 :给出对数的概念,并适时 地介绍对数发明历史. 对数的概念:一般地,如果

a x ? N (a ? 0, 且a ? 1), 那 么 数

x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作
x ? loga N ,
其中 a 叫做对数的底数, N 叫做 真数. 数学史简介:对数的创始人—— 苏格兰数学家纳皮尔( 1550 年 ~1617 年)给对数作了定义.他发 明了供天文计算作参考的对数, 并于 1614 年在爱丁堡出版了《奇 妙的对数定律说明书》,公布了 他的发明.恩格斯把对数的发明与 解析几何的创始,微积分的建立 并称为 17 世纪数学的三大成就.

问题 4: (1) 你能把下列式子写成对数式吗?

(1)23 ? 8; (2)25 ? 32;
? 1 1 (3)2?1 ? ; (4)27 2 ? . 2 3 1

从具体例子 入手,进一步 理解、熟悉名 词“对数”和 符号“ log ”.

(2) 根据这些具体的例子,你能得到 一般情况下,对数是怎么表示的吗?

学生练习 求下列各式的值:

教师 :这是个什么数?为什么等 于 2;5;-3;-6? 学生:因为 92 ? 81;35 ? 243; 深入理解对 数.(1)让学 生体会对数 可以转化为 指数,对数式 和指数式是 等价的;(2) 认识特殊的 对数,明确对 数式中各个 量的取值范 围.

(1) log9 81;(2) log3 243; (3) log3 1 1 ;(4) log 2 . 27 64

3?3 ?

1 ?6 1 ;2 ? . 27 64

教师:其实想认识对数只要将它 转化为相应的指数式就容易理解 了,指数式和对数式是可以等价 转化的. 教师:看练习中的对数有大于 0 的,有小于 0 的,有没有等于 0 的对数呢? 学生:回答 教师: a ? 1 是个特殊的指数式,
0

考察特例

(1)推导 log a 1 ? 0,
理 解 概 念

log a a ? 1(a ? 0, 且a ? 1).
(2)说明“负数和零没有对数”.

还有其他特殊的指数式吗? 学生:回答 教师:对数可正可负可为 0,那对 数是否能取到所有的实数呢? 学生:回答问题 教师:你怎么知道的呢? 学生:从指数式

ab ? N (其中a ? 0且a ? 1) 中 我
们可以知道. 教师:对数 b 可以取到一切实数, 底数 a ? 0且a ? 1 ,真数 N 应满 足什么要求呢? 学生:大于 0. 教师:负数和零没有对数.

概 念 应 用 例 题 解 析

例 1 求下列各式的值:

(1) log10 1000;(2) log 2.5 6.25; (3) log9 27.

通过练习,掌 握对数问题 可以转化为 指数问题来 解决,反思解 题过程从而 得到两个对 数性质.

学生:尝试独立完成练习 教师:巡视,个别辅导 学生:回答结果 教师:给出评价 回头看(1)( 2)的解题过程, 你有什么发现? 教师:一般情况下有 loga ab ? b 对吗? 学生:回答问题 教师:从(3)中,你又会有什么 发现呢?对数还有很对有趣的性 质,有兴趣的同学可以继续研究. 教师:介绍“常用对数和自然对 数”.

问题:1.在本节课临近结束,我们还 需要干什么? 2.本节课我学习了什么?怎样学习 研究的? 小 结 与 反 思

让学生复习 本 节 主 要 内 学生:回答,讨论交流,补充 容,完善学生 的认知结构, 教师:归纳总结,突出重点知识; 体会数学思 解决学生的疑惑点。 想方法。

评 价 设 计

作业与反馈: (1)必做题:同步作业本 1——9 题. (2)选择题:同步作业本 10,11 题.

分层布置作 业,关注学生 的能力差异。

7 教学过程的流程图
实际问题情境

提出问题

初步探究

抽象为数学问题

解决问题

探究活动

类比联想

尝试建立概念

解决问题

体现方法

概念的精致





体现方法

考察特例


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