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2015-2016九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程课件1 (新版)新人教版

时间:2015-10-18


1、学习二次函数与一元二次方程的关系
2、会用一元二次方程解决二次函数图象 与x轴的交点问题

引言
在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数 及其图象有关的问题。 如:被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行; 抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等. 利用二次函数的有关知识研究和解决这些问 题,具有很现实的意义。 本节课,我将和同学们共同研究解决这些问 题的方法,探寻其中的奥秘。

复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 b2- 4ac 确定。
> 0 = 0 < 0

有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根

2、在式子h=50-20t2中,如果h=15,那么 15 ,如果h=20,那50-20t2= 20 , 如果h=0,那50-20t2= 0 。如果要想求t的值,那么我

50-20t2=

们可以求

方程

的解。

问题1:如图,以

40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑 空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单 位:s)之间具有关系:h= 20 t – 5 t2 2 考虑下列问题:

20= 20 t 20 –20 5ttt 20.5= –– 55 t2t2 15=

(1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间? (2) 球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间? 0= 20 t – 5 t2 h=0 (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间?

(4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ?
h t

为一个常数 (定值)

那么从上面,二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程?它们的关系如何? 一般地,当y取定值时,二次函数为一元 二次方程。
如:y=5时,则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。

练习一:
如图设水管AB的高出地面2.5m,在B处有一自动旋 转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,可用二次函数 y=-0.5x2+2x+2.5描述,在所有的直角坐标系中,求 水流的落地点D到A的距离是多少?
分析:根据图象可知,水流的 落地点D的纵坐标为0,横坐 标即为落地点D到A的距离。
即:y=0 。
-1 A 0

y B

解:根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0,

D x

解得x1=5,x2=-1(不合题意舍去)
答:水流的落地点D到A的距离是5m。

边观察边思考
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1 2 的图象如图所示。 y ? x ? x ?1 2 y ? x ? 6 x ? 9 y ? x2 ? x ? 2

(1).每个图象与x轴有几个交点? 答:2个,1个,0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

?2?.2个根,2个相等的根, 无实数根.

2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交 点,则b2-4ac的情况如何。
b2 – 4ac <0

Y

b2 – 4ac =0

b2 – 4ac >0

.
O X

二次函数与一元二次方程
一般地, 从二次函数y ? a x ? bx ? c的图象可知 , (1)如果抛物线y ? a x ? bx ? c与x轴有公共点 , 公共点 的横坐标是x ? x0 时,函数的值是0,因此x ? x0 就是 方程a x ? bx ? c ? 0的一个根.
2 2 2

二次函数与一元二次方程
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 情况如何?(b2-4ac如何) 2 – 4ac > 0 b (1)有两个交点 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
思考:若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则 ≥0 . b2-4ac

练习:看谁算的又快又准。 1.不与x轴相交的抛物线是( D ) A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3 2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实 数根,则m=__ 1 ,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有_ 1 个 交点. 16 . 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=__ (0,2) ,与x轴交 4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点____ (1,0) (2,0) 于点___ _.

K≠0 5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 2-4ac≥0 b 2
图象知,关于x的方程ax +bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=___ -3.3

6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则 k的取值范围( B )
4 A:k ? ? 7 4 B:k ? ? 7 且k ? 0 4 C:k ? ? 7 4 D: k ? ? 7 且k ? 0
B

(1)抛物线y ? x ? 2 x ? 3与x轴的交点个数有 (     C ). A.0个   B.1个   C. 2个   D. 3个
1 3 (? , ) 顶点坐标为__________ . 2 4
2

2

(2)抛物线y ? m x ? 3x ? 3m ? m 经过原点, 则其顶点 (3)关于x的一元二次方程x ? x ? n ? 0没有实数根, 则
2

2

2

抛物线y ? x ? x ? n的顶点在(     A ). A.第一象限     B.第二象限 C.第三象限     D.第四象限

4.已知二次函数 y ? 2 x ? m x? m . (1)求证 : 对于任意实数 m, 该二次函数的图象与 x轴总有公共点 ; (2)若该二次函数的图象与 x轴有两个公共点 A、B, 且A点坐标 为(1,0), 求B点坐标.

2

2

(1)证明 : 令y ? 0, 得2 x ? m x ? m ? 0 ? ? ? (?m) ? 4 ? 2 m ? 9m ? 0
2 2 2

2

2

? 不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
(2) ? A(1,0)在抛物线y ? 2 x ? m x ? m 上 ? 0 ? 2 ?1 ? m ?1 ? m
2 2 2 2 2

即 m ? m ? 2 ? 0, (m ? 2)(m ? 1) ? 0 ? m1 ? ?2, m2 ? 1   ? B点坐标为(?2,0)

5.在?ABC中, ?B ? 90?, 点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm / s的速度移动 , 点Q从点B开始沿BC的边向点C 以2cm / s的速度移动,设 ?PBQ的面积为y cm 运动 时间为xs,如果P、Q分别从A、B同时出发: ( 1 )写出y与x的函数关系式; (2)几秒后?PBQ的面积等于 8c m ?
2 2

6.已知抛物线y ? x ? ax ? a ? 2与x轴交于A、B两点, 与y轴交于点D(0,8), 直线DC平行于x轴, 交抛物线于另一点 C.动点P以每秒2个单位长度的 速度的速度从C出发, 沿C ? D运动.同时, 点Q以每秒1个单位长度的速度 从点A出发, 沿A ? B运动.连接PQ、CB,设点P的运动时间t秒. (1)求a的值; (2)当t为何值时, PQ平行于y轴; (3)当四边形PQBC的面积等于 14时, 求t的值.

2

6.某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆, 下半部是矩形,制造窗框的材料长(图中所有黑线 的长度和)为10米.当x等于多少米时,窗户的透光 面积最大? 最大面积是多少?
px ? 4 x ? 2 x ? 4 y ? 10 5 6?p
y? 解:设窗户的面积为 s 米 ,依题意得 ? x
2

2

4

① ②
2

1 又S ? p 2

x

2

? 2 xy

由①② 消去 y得S ? ?3x ? 5 x
2 5 5 5 5 25 ? 时, ? ?3( ? 5? ? ( ? 当x ? ? ) ) S 最大 米 ? ? 2 ( 3) 6 6 12 2

6

答:略。

●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 讨 桌,然后告诉老师? 论
这节课应有以下内容:

二次函数与一 元二次方程的 关系 交

当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定,求x的值时,二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时, 二次函数就为一元二次方程。

两个交点
二 轴次 的函 交数 点与

b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0

二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解

x

一个交点 点

没有交点

1、二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点横坐 标是( A ) A:2和-3 B:-2和3 C:2和3 D:-2和3 2、已知实数s、t,且满足s2+s-2006=0, t2+t-2006=0,那么二次函数y=x2+x-2006的 图象大致是( B )

A

B

C

D

3、已知抛物线y=x2+mx-2m2(m≠0)
求证:该抛物线与x轴有两个不同的交点。 证明:∵b2-4ac=m2-4×1×(-2m2) =9m2 ∵ m≠0 ∴9m2>0 即b2-4ac>0 ∴抛物线与x轴有两个不同的交点

你会利用二次函数的图象求一元二次方程 2x2-4x+1=0的近似根吗?

2 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象 1.二次函数

如图4所示,则下列说法不正确的是(
A b2 ? 4ac ? 0 B



a?0

C

c?0

D ?

b ?0 2a

2.二次函数y = ax2 + bx + c的部分对应值如下表:
x y -3 12 -2 5 -1 0 0 -3 1 -4 2 -3 3 0 4 5 5 12

利用二次函数的图象可知,当函数值y<0时,x的取 值范围是( ).
A.x<0或x>2 D.-1<x<3 B.0<x<2 C.x<-1或x>3

5.王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球, 1 8 y ? ? x ? x 其飞行路线满足抛物线 ,其中 y 5 5 (m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水 平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m. (1)请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴. (2)请求出球飞行 的最大水平距离.
2

(3)若王强再一次从此处击球,要想让球飞 行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路 线应满足怎样的抛物线,求出其解析式.

课本:p56-57页 复习巩固 选做题:如图,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线 y=-x2+3.5运行,然后准确落人篮框内。已知篮框的 中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时,球出手离地面 的高度为2.25米,请问他距离篮框中 心的水平距离是多少?

作业

升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax 2 +bx+c 与x轴有公共点(x 0 ,o), 那么x=x 0 就是方程 ax 2 +bx+c=0的一个根.
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2-4ac

有两个交点 有一个交点 没有交点

有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根

b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

体会两种思想:

数形结合思想

分类讨论思想

下课!

结束寄语

? 时间是一个常数,但对勤奋者来说, 是一个“变数”. ? 用“分”来计算时间的人比用“小 时”来计算时间的人时间多59倍.


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