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7.5.1正弦函数图像和性质

时间:2016-06-15


中等职业教育规划教材★数学★第二册

y 1
? 2

?

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

正弦函数
在研究三角函数的图象和性质时,我们通常 采用弧度制来度量角,用x表示自变量,用 y表示函数值。于是正弦函数可表示为

y=sinx
很显然,正弦函数的定义域为实数集R。

单位圆与正弦线
在单位圆中,如何作出一个角的正弦线?

y

1

P

o

M

1

x

设角? 的终边与单位圆交于p(x,y),则sin? =

一、正弦函数的图象
利用正弦线作出 y ? sin x,x ? 0, 2π 的图象.
y

?

?

作法: (1) 等分; (2) 作正弦线;
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移; (4) 连线.
π 3
π 2

o1

M -1 1

A

o
-1 -

π 6

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

π 2?

x

-

-

-

-

正弦函数的图象
y 1
? 2
? 2

y=sinx x?[0,2?]

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?R
y 正弦曲线

1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6? x

观察 y = sin x ,x?[ 0,2 ?] 图象的最高点、最低 点和图象与 x 轴的交点?坐标分别是什么?
y
1-

o
-1 -

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7? 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

π 2?

x

π 1); 图象的最高点: ( , 2

0),( π,0),(2 π ,0); 与 x 轴的交点: (0, 3π 图象的最低点: ( ,? 1) . 2

-

五点 作图法

例1 画出函数 y= 1 + sin x, x?[0,2 ?] 的简图. 解: 列表

x
sin x 1 ? sin x
y
21-

0 0

π 2

π
0

3π 2



1 2

?1

0

1

1

0

1

描点
连线

y ? 1 ? sin x,x ?[0, 2 π]

?1 -

o

π 2

π

3π 2



x

y ? sin x,x ?[0, 2 π]

练习:画出函数 y= 2 + sin x, x?[0,2 ?] 的简图.

二、正弦函数的性质
观察正弦曲线,得出正弦函数的性质:
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

定义域

x?R

(1) 值域 [ -1, 1 ]
π x ? ? 2kπ(k ? Z ) 2
时,取最大值1;

π x ? ? ? 2kπ(k ? Z ) 时,取最小值-1; 2

周期的概念
一般地,对于函数 f (x),如果存在一个非零 常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f ( x+T )= f (x),那么函数 f (x) 就叫做周期 函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.

对于一个周期函数,如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期.

(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x+k · 2 ?)=sin x (k?Z) 可知:

正弦函数是一个周期函数,2? ,4? ,… ,-2? ,
-4? ,… , 2k ?(k?Z 且 k≠0)都是正弦函数的周期. 2 ? 是其最小正周期 .

(3) 正弦函数的奇偶性
由公式 sin(-x)=-sin x 正弦函数是奇函数.

图象关于原点成中心对称 .
y
1

-3?

?

5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

x
π 2

?

3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

正弦函数的单调性
观察正弦函数图象

x sinx
在闭区间 在闭区间

?

π 2



0 0



π 2
1



?
0



3π 2
-1

-1

ππ? ? π ?? π , ? ? ? 2 k π, ? 2 k π ? ? ? 2 ? 2 22? ?, k ? Z ? ? 33 π π? ? π ? π, ? ? 2 k π, ? 2 k π ,k ? Z ? ?2 ? ? 2? ? ?2 2 ? y
1

上, 是增函数; 上,是减函数.

-3?

?

5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

π 2

x
?
3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

例 2 求使函数 y=2+sin x 取最大值、最小值 的 x 的集合,并求出这个函数的最大值, 最小值和周期 T .



y
2-

y ? 2 ? sin x,x ? [0,2 π]

1-

? 1-

o

y ? sin x,x ?[0, 2 π]

π 2

π

3π 2



x

π x ? ?x x ? ? 2kπ, k ? Z ?时,y max ? 2 ? (sin x) max ? 2 ? 1 ? 3, 2 π ? x ? x x ? ? ? 2kπ, k ? Z ?时,y min ? 2 ? (sin x) min ? 2 ? 1 ? 1. 2

T ? 2π.

例 3 不通过求值,比较下列各对函数值的大小: π π 3π 2π ? . (1) sin( ) 和sin(? ); (2) sin 和 sin 4 18 3 10 π π π π ? < ? < ? < , 解 (1) 因为 2 10 18 2
π π 且 y =sin x 在[ ? 2 ,2 ] 上是增函数.

所以 sin( ? (2) 因为

π 2π 3π < < <π , 2 3 4

π π )<sin( ? ) . 10 18

且 y =sin x 在 [ 所以 sin
2π 3

π ,π ] 上是减函数, 2
3π 4

> sin



y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

定义域

实数集R [-1,1]

值域 周期性 奇偶性


奇函数

单调性

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ( k ? Z)上是增函数; ? 2 2? ? ? 3? ? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ?(k ? Z )上是减函数; 2 2? ?

最值

当x ? 2k? ?

?

2

时,ymax ? 1

1、教材P32,练习 7-9 2、教材P34,练习 7-10

第 1、3 题; 第 1、2 题.

3、探究余弦函数图象和性质


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