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浅谈高中教材中的周期函数

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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 浅谈高中教材中的周期函数 作者:张玉梅 来源:《新课程学习· 下》2013 年第 10 期 成语“周而复始”是指每增加一定的量(或时间)之后所出现的结果相同。数学中的周期性 函数用这一成语来诠释,既通俗易懂,又耐人寻味。为什么人们能够根据今天星期几,从而推 算出几年、几十年后,甚至几百年后的今天是星期几,这就是同余问题,与每周七天的周期性 相关。 在学习周期函数和周期性的过程中,因为没有铺垫,学生对概念的理解有些困难。因此, 教师只有深入挖掘概念的本质内涵,讲细讲透,才能帮助学生更好地理解和掌握,从而为以后 学习抽象函数的周期性打下坚实的基础。 教材中对周期性的定义为:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定 义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 就叫做这个函数的周期。函数的这一性质称为周期性。 根据定义,我们可以得到以下结论: 结论 1:周期 T 必须是非零常数。 这是因为如果 T=0,那么对任意函数 f(x)来说,均满足 f(x+T)=f(x)恒成立,函数 值当然不变,所有的函数都满足,没有研究价值;如果 T 为变数,就失去了“周期”的意义了。 结论 2:(1)若 T≠0 为 y=f(x)的一个周期,则周期 T 的任意正整数倍即 nT(n∈N*) 也是 y=f(x)的周期。证明如下: f(x+T)=f(x),且 x∈D,x+T∈D,因此 f(x+T+T)=f(x+T)=f(x), 因此,2T 为 f(x)的周期,依此类推:3T,4T,……均为 y=f(x)的周期。 所以,nT(n∈N*)是 y=f(x)的周期。 (2)若 T≠0 为 y=f(x),x∈R 的一个周期,则周期 T 的任意非零整数倍,即 nT (n∈Z,且 n≠0)也是 y=f(x),x∈R 的周期。证明如下: f(x-T)=f(x-T+T)=f(x),且 x∈D,x-T∈D 因此,-T 为 y=f(x)的周期,则-nT(n∈N*)是 y=f(x),x∈R 的周期 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 所以,nT(n∈Z,且 n≠0)是 y=f(x),x∈R 的周期。 如 y=sinx 的一个周期为 2π,则 4π,6π,8π,……或-2π,-4π,-6π,……都是 y=sinx 的周 期。 结论 3:周期函数的定义域应是无界的。且周期 T>0,则周期函数必无上界,周期 T 这是因为:若 T>0,假设 y=f(x)的定义域为 D 为上界的数集,由确界存在公理可知,D 必有上确界 a。?坌 ε>0,?埚 x1∈D,使 a-ε0,由 ε 的任意性可知?埚 x1∈D,x1+T>a,即 (x1+T)?埸 D,这和题设相矛盾,故 T>0 时,定义域为 D 必无上界。 同理,周期 T 如:y=sinx,当 x∈R,或 x∈[0,+∞),或 x∈[-∞,0)都可成为周期函数,而若当 x∈[0,10π]时,取 9π∈[0,10π],而 9π+2π∈[0,10π],则无法满足任取 x∈[0,10π],使 f (x+T)=f(x)恒成立。 y=f(x)的一个周期为 2A。 (作者单位 吉林省松原市长岭县第三中学) ?誗编辑 杨兆东

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