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文科高考空间向量和立体几何习题

时间:2012-12-25


文科高考立体几何专项复习 一、解答题(本大题共 8 小题,共 0 分)
BC 1. 如图, 三棱柱 ABC ?A1B1C1 中, 侧面 BCC1B1 是菱形, ? 4 且 ?CBB1 ? 60? ,

底面 ABC 是等腰三角形, AB ? AC ? 平面 ABC.

13 ,O

是 BC 边上一点, B1O



(Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCC1B1 ; (Ⅱ)求直线 BC1 与平面 ACC1A1 所成角的余弦值. 2. (2008 北京理 16) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? , AP ? BP ? AB ,
PC ? AC .

(Ⅰ )求证: PC ? AB ; (Ⅱ )求二面角 B ? AP ? C 的大小; (Ⅲ )求点 C 到平面 APB 的距离.

3.如图,菱形 ABCD 所在平面与矩形 ACEF 所在平面互相垂直, 已知 BD= 2 3 AF,且点 M 是线段 EF 的中点.

(1)求证:AM∥ 平面 BDE; (2)求平面 DEF 与平面 BEF 所成的角. 4. 如图, 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ∠ABC=90°, BC=2, AB=4, CC1=4,E 在 BB1 上,且 EB1=1,D、F 分别为 CC1、A1C1 的中 点。 (1)求证:B1D⊥平面 ABD; (2)求异面直线 BD 与 EF 所成的角; (3)求点 F 到平面 ABD 的距离。

5.(2007 年辽宁理 18)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90? ,
AC ? BC ? a ,D,E 分别为棱 AB,BC 的中点,M

为棱 AA1 上的点,二面

角 M ? DE ? A 为 30? . (I)证明: A1B1 ? C1D ; (II)求 MA 的长,并求点 C 到平面 MDE 的距离.

6.(2009 年陕西理 18)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB=1,
AC ? AA1 ? 3 ,∠ABC=60 0 .

1 (Ⅰ)证明: AB ? AC ; 1 (Ⅱ)求二面角 A— AC —B 的大小。

7. (2008 四川 (延考) 19) 理 如图, 一张平行四边形的硬纸片 ABC0 D 中, AD ? BD ? 1 , AB ? 2 。沿它的对角线 BD 把△ BDC0 折起,使点 C0 到达平面 ABC0 D 外点 C 的位置。 (Ⅰ)证明:平面 ABC0 D ? 平面 CBC0 ; (Ⅱ)如果△ ABC 为等腰三角形,求二面角 A ? BD ? C 的大小。

8.如图所示,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、H 分 别是棱 BB1、CC1、DD1 的中点。

(1)求证:BH//平面 A1EFD1; (2)求直线 AF 与平面 A1EFD1 所成的角的正弦值。

文科高考 yue 参考答案 一、解答题 1.解:(Ⅰ)∵⊥面 ABC,面 ABC,∴⊥, 又∵∠CB,∴,故 O 是 BC 的中点, 由,得 AO⊥BC ∵⊥面 ABC,面 ABC,∴⊥AO,又, ∴AO⊥面 (Ⅱ)以 O 为原点,OC、O、OA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立

如图空间直角坐标系。在△ABC 中,,∴。故,,,∴, 设为平面的一个法向量, 则,令,得 ∴为平面的一个法向量, 又, 记直线与平面所成角为,,则,故∴直线与平面所成角的余弦值为。 2.解法一:(Ⅰ)取 , . , . , 平面 平面 . . , 中点 ,连结 .

(Ⅱ) 又 又 , .

, .

,

,即 ,且 平面 . 取 中点 .连结 . , . 是 在平面 内的射影,

,

. 是二面角 在 中, . ,

的平面角. , ,

二面角 的大小为 . (Ⅲ)由(Ⅰ)知 平面 , 平面 平面 . 过 作 ,垂足为 . 平面 平面 , 平面 . 的长即为点 到平面 的距离. 由(Ⅰ)知 ,又 ,且 平面 . 平面 , . 在 中, . . 点 到平面 的距离为 . ,

,

,

(Ⅰ)

, .

,



, . ,

平面 . 平面 , . (Ⅱ)如图,以 为原点建立空间直角坐标系 则 . 设 . , 取 , . 中点 ,连结 , , . 是二面角 , , . 二面角 的大小为 . , 的平面角. , .

.

(Ⅲ) , 在平面 内的射影为正 面 的距离. 如(Ⅱ)建立空间直角坐标系 , 点 的坐标为 .

的中心 ,且 .

的长为点 到平

. 点 到平面 的距离为 .

3.

【结束】 4.解:(1)由条件得 , 又 面 BCC1B, 面 ABD (2)取 B1C1 的中点 G,连接 GE、GF,则 EG//BD, 或其补角为 BD、EF 所成 角 面 BCC1B1,GF//A1B1 面 BCC1B1, 在

中, 与 EF 所成角为 (3)设 F 到面 ABD 的距离为 ,作 B 作 BH AC 于 H,则 BH 面 ACC1A1

5.(I)证明:连结 , 三棱柱 是直三棱柱, 平面 , 为 在平面 内的射影. 中, , 为 中点, , . , .

(II)解法一:过点 作 的平行线, 交 的延长线于 ,连结 . 分别为 的中点, . 又 , . . 平面 , 为 在平面 内的射影.

. 为二面角 在 中,

的平面角, , ,

.

. 作 ,垂足为 , , , 平面 , 平面 平面 , 平面 . 在 中, ,即 到平面 , 平面 , , , 的距离为 .

到平面 的距离与 到平面 的距离相等,为 . 过点 作 的平行线,交 的延长线于 ,连接 . 分别为 的中点, . 又 , . 平面 , 是 在平面 内的射影, . 为二面角 的平面角, . 在 中, , ,

. 设 到平面 .

的距离为 ,

,

, , ,

,即 到平面 6.(1)证: 三棱柱

的距离为 . 为直三棱柱,



中, ,又

,由正弦定理

(2)解如图,作 由三垂线定理知



于点 D 点,连结 BD,

为二面角 在

的平面角

解答二(1)证 三棱柱 , 由正弦定理 如图,建立空间直角坐标系, 则 ,

为直三棱柱,

(2) 解,如图可取 设平面 的法向量为

为平面 ,

的法向量



不妨取

7.(Ⅰ)证明:因为 所以 , 。 因为折叠过程中, 所以 ,又 ,故 又 平面 ,所以平面 (Ⅱ)解法一:

, , 平面 。 平面 。

,

如图,延长 到 ,使 ,连结 , 。 因为 , , , ,所以 为正方形, 由于 , 都与平面 垂直,所以 ,可知 。 因此只有 时,△ 为等腰三角形。 在 △ 中, ,又 所以△ 为等边三角形, 。 由(Ⅰ)可知,,所以 为二面角 的大小为 。 , 的平面角,即二面角



以 为坐标原点,射线 , 分别为 轴正半轴和 轴正半轴,建立 如图的空间直角坐标系 ,则 , , 。 由(Ⅰ)可设点 的坐标为 ,其中 ,则有 。 ① 因为△ 为等腰三角形,所以 或 。 若 ,则有 。

则此得 若

, ,不合题意。 ,则有 。



联立①和②得 , 。故点 的坐标为 。 由于 , ,所以 与 夹角的大小等于二面角 的大小。 又 所以 , , 即二面角 的大小为

8.(1)证明:连结 D1 E,

………………6 分 (2)解:过 A 作 AG⊥A1 E,垂足为 G。 ∵A1 D1 ⊥平面 A1 ABB1 , ∴A1 D1 ⊥AG, ∴AG⊥平面 A1 EFD1 。 连结 FG,则∠AFG 为所求的角。

即直线 AF 与平面 A1 EFD1 所成的角的正弦值为


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