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3.4-4函数的零点


3.4函数的基本性质(4) 函数的零点

发 现

引入与发现:
1、函数f(x)=3x-2,当 x= 2 ( ,0) 图象与x轴交点为
4 2、函数f(x)=x- ,当x= 2 x 3

2 3

时, f(x)=0,

或-2 时, f(x)=0,

/>
图象与x轴交点为

(2,0),(-2,0)

发现:

方程f(x)=0的 解就是函数f(x) 的图像与x轴交 点的横坐标。

概 念

函数零点的定义:
一般地,对于函数y=f(x)(x∈D), 如果存在实数c ( c∈D ),当x=c时,f(c)=0,那么就把x=c叫做函数 y=f(x) )(x∈D)的零点。

注意:零点指的是一个实数;
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

探 究

观 察 二 次 函 数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的 图 象,如右图,我们发现函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3在 区间 ? ?2,1? 上有零点。计算 f (?2) 和 f (1) 的乘 积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间

y 5 4
3

2 1
-2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x

? 2, 4? 上是否也具有这种特点呢?

结 论 并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线,

即存在 c ? ? a,b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。


a
b

a

b

a

b

a

b

探 究

例1:有一块边长是13cm的正方形金属薄片,如果先在 它的四个角上都剪去一个边长是xcm的小正方形,然后做 成一个容积是140cm3的无盖长方体盒子,那么x是多少 (结果精确到0.1)?
2 x (13 ? 2 x ) ? 140 由题意得 解:

x

13 求这个三次方程 在 (0, 2 )内 的实数根, 13 3 2 就是求函数 f(x)=4x -52x +169x-140, x∈(0, 2 )

即4x3-52x2+169x-140=0,

13 x∈(0, ) 2

13 x

的零点 x

0

1

2

3

4

5

6

6.5

x
13-2x

f(x) -140 -19

22

7

-40

-95

-134 -140

函数在区间(1,2)、(3,4) 内各有一个零点

探 究

寻求函数f(x)=4x3-52x2+169x-140在区间 (3,4)内的零点的近似值(精确到0.1)
因为区间 思考:如何进一步有效 (3.15625,3.1875)的两 缩小根所在的区间? 个端点值,精确到0.1的近 似值都是3.2,所以f(x)在 4 区间(3,4)内的零点的近似 值为3.2

3

试一试:
3

3.5

4

3

3.25
3.125 3.25

3.5

4

求出函数f(x)在区 间(1,2)内的零点的 近似值

3

3.5

4

答:上述问题中正方 形所剪去的小正方形 的边长约为1.3米或 3.2米。

概 念

二分法:

你能设计计算机 程序来完成吗?

通过每次把函数 y=f(x) 的零点所在的区间收 缩一半的方法,使区间的两端点逐步逼近函 数的零点,以求得零点的近似值,这种方法 叫做二分法.

思考:二分法实质是什么?
实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼 近”思想逐步缩小零点所在的区间。

课堂小结
1. 理解二分法是一种求函数的零点(方程 近似解)的常用方法. 2. 能借助计算机 ( 器 ) 用二分法求函数零点 的近似值,体会程序化的思想即算法思 想. 3. 感悟重要的数学思想:等价转化、函数 与方程、数形结合以及无限逼近的思想.


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