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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】3.1.3两个向量的数量积

时间:2013-11-11


3.1.3
一、基础过关

两个向量的数量积
( )

1.若 a,b 均为非零向量,则 a· b=|a||b|是 a 与 b 共线的 A.充分不必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

→ → 2. 在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中, F 分别是 BC, 的中点,

E, AD 则AE· 等于( CF A.0 1 B. 2 3 C.- 4 1 D.- 2 ( )

)

3.已知|a|=2,|b|=3, 〈a,b〉=60° ,则|2a-3b|等于 A. 97 B.97 C. 61 D.61

4.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)· b=0,则 a 与 b 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150°

(

)

π 5.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 ,则|a+b|=________. 3 二、能力提升 6.已知 a、b 是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且 AB=2,CD=1, 则 a 与 b 所成的角是 A.30° B.45° C.60° D.90° ( )

7.正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都为 2,E、F 分别是 AB、A1C1 的中点,则 EF 的 长是 A.2 B. 3 C. 5 D. 7 ( )

8.如果 e1,e2 是两个夹角为 60° 的单位向量,则 a=e1+e2 与 b=e1-2e2 的夹角为 ________. 9.向量(a+3b)⊥(7a-5b),(a-4b)⊥(7a-2b),则 a 与 b 的夹角是________. 三、解答题 10.如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB⊥BC, 1 AB⊥AD, PA=AB=BC= AD=1, PB 与 CD 所成的角. 且 求 2

11.在平行四边形 ABCD 中,AD=4,CD=3,∠D=60° ,PA⊥平面 ABCD,PA=6, 求 PC 的长.

12.已知在空间四边形 OACB 中,OB=OC,AB=AC,求证:OA⊥BC. 三、探究与拓展 13.如图所示,如果直线 AB 与平面 α 交于点 B,且与平面 α 内的 经过点 B 的三条直线 BC、BD、BE 所成的角相等.求证:AB⊥ 平面 α.

答案
1.A 5. 7 6.C 7.C 8.120° 9.60° → 10.解 由题意知|PB|= 2, → → → → → → → → |CD|= 2,PB=PA+AB,DC=DA+AB+BC, ∵PA⊥平面 ABCD, → → → → → → ∴PA· =PA· =PA· =0, DA AB BC → → ∵AB⊥AD,∴AB· =0, DA → → ∵AB⊥BC,∴AB· =0, BC → → → → → → → ∴PB· =(PA+AB)· +AB+BC) DC (DA → → =AB2=|AB|2=1, → → 又∵|PB|= 2,|CD|= 2, → → PB· DC 1 1 → → ∴cos〈PB,DC〉= = = , → → 2× 2 2 |PB||DC| → → ∴〈PB,DC〉=60° ,∴PB 与 CD 所成的角为 60° . 11.解 → → → → ∵PC=PA+AD+DC, → → → → → ∴|PC|2=PC2=(PA+AD+DC)2 → → → → → → → → → =|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PA· +2PA· +2AD· AD DC DC → → =62+42+32+2|AD||DC|cos 120° =61-12=49, → ∴|PC|=7,即 PC=7. 12.证明 ∵OB=OC,AB=AC,OA=OA, → → → → → ∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC=∠AOB.∵OA· =OA· -OB) BC (OC → → → → =OA· -OA· OC OB → → → → =|OA||OC|cos∠AOC-|OA||OB|cos∠AOB=0, 2.D 3.C 4.C

→ → ∴OA⊥BC,∴OA⊥BC. → → → 13.证明 如图所示,在直线 BC、BD、BE 上取|BC|=|BD|=|BE|. → → → → ∵AB与BC、BD、BE所成的角相等, → → → → → → ∴AB· =AB· =AB· , BC BD BE → → ?AB·→ -BD?=0, ? ?BC ∴? → → ?AB·→ -BD?=0, ? ?BE → → ?AB· =0, ? DC 即? → → ?AB· =0, ? DE ∴AB⊥DC,AB⊥DE. 又 DC∩DE=D,∴AB⊥平面 α.


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