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文科立体几何知识点、方法总结高三复习


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立体几何知识点整理(文科)
一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行
l

l m α

方法一:用线线平行实现。

l // m ? ? m ? ? ? ? l // ? l ?? ? ?

/>
方法二:用面面平行实现。
α

符号表示:
α
l A

β

l

2. 线面相交

? // ? ? ? ? l // ? l ? ??
方法三:用平面法向量实

α

符号表示: 3. 线在面内
α
α l

n

l

现。 若 n 为平面 ? 的一个法向 量 , n ? l 且 l ?? , 则

符号表示:

l //? 。
3. 面面平行:
l

二.平行关系: 1. 线线平行: 方法一:用线面平行实现。
l ?
β α l' m' m

方法一:用线线平行实现。

l //? ? ? l?? ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

?

m

l

方法二:用面面平行实现。
l β γ α m

β α

m

? ? ? ? ? ? // ? l , m ? ?且相交 ? l ' , m' ? ?且相交 ? ? l // l ' m // m'
方法二:用线面平行实现。

? // ? ? ? ? ? ? ? l ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

l //? m //?

方法三:用线面垂直实现。 若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m 。

? ? ? ? ? // ? l , m ? ?且相交? ?

三.垂直关系: 方法四:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 共线且 l、 不重合, l // m 。 m 则

l α A C B

1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。

2. 线面平行:
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l ? AC

? ? l ? AB ? ??l ?? AC ? AB ? A? AC, AB ? ? ? ?

(1) 范围: (0?,90 ?] (2)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。
α A P θ O

n

方法二:用面面垂直实现。

β

l m

? ?? ? ? ? ?? ? m ??l ?? l ? m, l ? ? ? ?

步骤 2:解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理:

α
2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。

a2 ? b2 ? c2 cos? ? 2ab
(计算结果可能是其补角)
C

a θ b

c

方法二:向量法。转化为向量
θ A B

β

l

l ??? ??? ? ? l ? ??

的夹角 (计算结果可能是其补角):

α

方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。
l m α

cos? ?

AB ? AC AB ? AC

(二) 线面角 (1)定义:直线 l 上任取一点 P(交点除外) ,作 PO ? ? 于 O,连结 AO, AO 为斜线 PA 在面 ? 内 则 的射影, PAO (图中 ? )为直线 l 与面 ? 所成的角。 ?
P A θ

l ?? ? ??l ?m m ? ??

方法二:三垂线定理及其逆定理。

P A O l

PO ? ? ? ? l ? OA ? ? l ? PA l ?? ? ?

α

O

(2)范围: [0?,90?] 当 ? ? 0? 时, l ? ? 或 l //? 当 ? ? 90? 时, l ? ? (3)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:作出线面角,并证明。
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α

方法三:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 的数量积为 0,则 l ? m 。 三.夹角问题。 (一) 异面直线所成的角:

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步骤 2:解三角形,求出线面角。 步骤二:判断 ? 与 ? n1 ? n2 ? 的关系,可能相等或 (三) 二面角及其平面角 (1)定义:在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作 l 的垂线(射线)m、n,则射线 m 和 n 的夹角 ? 为 二面角 ? —l— ? 的平面角。
? ? ? m P n l
? A O

?? ?? ?

者互补。 四.距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。
P

(2)范围: [0?,180?] (3)求法: 方法一:定义法。 步骤 1: 作出二面角的平面角(三垂线定理), 并证明。 步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。

步骤 1: 过点 P 作 PO ? ? 于 O, 线段 PO 即为所求。 步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等 体积法和等面积法;换点法) 2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。
m

?

n

步骤 1: 如图, 若平面 POA 同时垂直于平面 ?和? , 则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。 步骤 2:解三角形,求出二面角。
β P θ α O A

如图,m 和 n 为两条异面直线, n ? ? 且 则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直 m // ? , 线 m 与平面 ? 之间的距离。 方法二:直接计算公垂线段的长度。 方法三:公式法。
B c a A m

方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

d n ? b D m'

n1 θ

n2

C

如图,AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段,

m //m' ,则异面直线 m 和 n 之间的距离为:

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 步骤一:计算 cos ? n1 ? n2 ?? ?? ?? ? n1 ? n2
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d ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos?

A

A1

C

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五.空间向量 (一)空间向量基本定理 若向量 a, b, c 为空间中不共面的三个向量,则对空间中任意一个向量 p ,都存在唯一的有序实数对

x、y、z ,使得 p ? xa ? yb ? z c 。
(二) 三点共线,四点共面问题 1. A,B,C 三点共线 ?

??? ? ??? ? ???? OA ? xOB ? yOC ,且 x ? y ? 1
当x? y?

1 时,A 是线段 BC 的 2

A,B,C 三点共线 ? AB ? ? AC 2. A,B,C,D 四点共面 ?

??? ? ??? ? ???? ???? OA ? xOB ? yOC ? zOD ,且 x ? y ? z ? 1
当x? y? z ?

1 时,A 是△BCD 的 3

A,B,C,D 四点共面 ? AB ? x AC ? y AD (三)空间向量的坐标运算 1. 已知空间中 A、B 两点的坐标分别为:

A( x1, y1, z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) 则:
??? ? AB ?
; d A, B ? AB ?

??? ?

2. 若空间中的向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z 2 ) 则 a ?b ?

?

? ?

? ? a ?b ? ? ? cos ? a ? b ??

? ? a ?b ?

六.常见几何体的特征及运算 (一) 长方体 1. 长方体的对角线相等且互相平分。 2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为 ?、? 、? ,则 cos2 ? + cos2 ? + cos2 ? ?
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α β

γ

β α γ

若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为 ?、? 、? ,则 cos2 ? + cos2 ? + cos2 ? ? 3.若长方体的长宽高分别为 a、b、c,则体对角线长为 ,表面积为 ,体积为 。

(二) 正棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。 (三) 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。 (四) 正多面体:每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。 (只有五种正多面体) (五) 棱锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。 正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。 (六) 体积: V棱柱 ? (七) 球 1.定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。 2. 设球半径为 R,小圆的半径为 r,小圆圆心为 O1,球心 O 到小圆的距离为 d,则它们三者之间的数量关 系是 。

V棱锥 ?

3. 球面距离:经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。 4.球的表面积公式: 高考题典例 考点 1 点到平面的距离 例 1 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A D ? B 的大小; 1 (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离. 解答过程(Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO .
? ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . △

体积公式:

? 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1 ,
? AO ⊥平面 BCC1B1 .连结 B1O ,在正方形 BBC1C 中,O,D 分 1
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A F C O B D

A1
别 为 B C C 1C ,

C1 B1

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的中点, ?BO⊥BD , ? AB1 ⊥BD . 1 在正方形 ABB1 A1 中, AB1 ⊥ A1B , ? AB1 ⊥平面 A1BD . (Ⅱ)设 AB1 与 A1 B 交于点 G ,在平面 A1BD 中,作 GF ⊥ A1D 于 F ,连结 AF ,由(Ⅰ)得 AB1 ⊥ 平面
A1 BD. ? AF ⊥ A1D , ?∠AFG 为二面角 A ? A D ? B 的平面角. 1

在 △AA1D 中,由等面积法可求得 AF ? 4 5 , 5 又? AG ? 1 AB1 ? 2 , ?sin∠AFG ? AG ? 2 ? 10 . 2 AF 4 5 4 5 所以二面角 A ? A D ? B 的大小为 arcsin 10 . 1
4

(Ⅲ) △A1BD 中, BD ? A1D ? 5,A1B ? 2 2, S△A BD ? 6 , S△BCD ? 1. ? 1 在正三棱柱中, A1 到平面 BCC1B1 的距离为 3 . 设点 C 到平面 A1BD 的距离为 d . 由 VA ? BCD ? VC ? A BD ,得 1 S△BCD ? 3 ? 1 S△ A BD ?d , ? d ? 3S△BCD ? 2 . 3 3 S△ A1BD 2
1 1

1

? 点 C 到平面 A1BD 的距离为 2 .
2

考点 2 异面直线的距离 例 2 已知三棱锥 S ? ABC,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底面. E、D 分别 为 BC、AB的中点,求 CD 与 SE 间的距离. 解答过程: 如图所示,取 BD 的中点 F,连结 EF,SF,CF,

? EF 为 ?BCD的中位线, EF ∥ CD ,? CD ∥面 SEF ,?CD ?
到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又? 线面之间的距 离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF 的距离,设其为 h,由题意知, BC ? 4 2 ,D、E、F 分别是 AB、 BC、BD 的中点,

? CD ? 2 6 , EF ?

1 CD ? 6 , DF ? 2 , SC ? 2 2
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1 1 1 1 2 3 ?VS ?CEF ? ? ? EF ? DF ? SC ? ? ? 6 ? 2 ? 2 ? 3 2 3 2 3
在 Rt ?SCE中, SE ? 在 Rt ?SCF 中, SF ? 又 ? EF ?

SC 2 ? CE 2 ? 2 3 SC 2 ? CF 2 ? 4 ? 24 ? 2 ? 30
由于 VC ? S EF ? VS ?CEF ?

6, ? S ?SEF ? 3

1 2 3 2 3 1 ,解得 h ? ? S ?S EF ? h ,即 ? 3 ? h ? 3 3 3 3

故 CD 与 SE 间的距离为

2 3 . 3

考点 3 直线到平面的距离 例 3. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC1 中,G 是 AA1 的中点,求 BD 到平面 GB1 D1 的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 解答过程:解析一? BD ∥平面 GB1 D1 ,

D1
O1

C1 B1

A1
H G D O A

? BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求,以下求
点 O 平面 GB1 D1 的距离,

C B

? B1 D1 ? A1C1 , B1 D1 ? A1 A ,? B1 D1 ? 平面 A1 ACC 1 ,
又? B1 D1 ? 平面 GB1 D1

? 平面 A1 ACC 1 ? GB1 D1 ,两个平面的交线是 O1G ,

作 OH ? O1G 于 H,则有 OH ? 平面 GB1 D1 ,即 OH 是 O 点到平面 GB1 D1 的距离. 在 ?O1OG 中, S ?O1OG ? 又 S ?O1OG ?

1 1 ? O1O ? AO ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2

1 1 2 6 . ? OH ? O1G ? ? 3 ? OH ? 2 ,? OH ? 2 2 3

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于 解析二 ? BD ∥平面 GB1 D1 ,

2 6 . 3

? BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求,以下求点 B 平面 GB1 D1 的距离.
设点 B 到平面 GB1 D1 的距离为 h,将它视为三棱锥 B ? GB1 D1 的高,则
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VB?GB1D1 ? VD1 ?GBB1 ,由于S ?GB1D1 ?
?h ? 4 6 ? 2 6 , 3

1 ? 2 2 ? 3 ? 6, 2

1 1 4 VD1 ?GBB1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 2 3

,

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于

2 6 . 3

小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是 选准恰当的点, 转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离; 解析二是等体积法求出点面距 离. 考点 4 异面直线所成的角 例 4 如图,在 Rt△AOB 中, ?OAB ? π ,斜边 AB ? 4 . Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转
6

得到,且二面角 B ? AO ? C 的直二面角. D 是 AB 的中点. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. 解答过程: (I)由题意, CO ? AO , BO ? AO ,

A

D

??BOC 是二面角 B ? AO ? C 是直二面角, ?CO ? BO ,又? AO ? BO ? O,?CO ? 平面 AOB ,
又 CO ? 平面 COD .? 平面 COD ? 平面 AOB . (II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图) ,则 DE ∥ AO ,
??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角.

z
A C

O

E

B

D

在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 , OE ? 1 BO ? 1 ,?CE ? CO2 ? OE 2 ? 5 .
2

又 DE ? 1 AO ? 3 .? 在 Rt△CDE 中, tan CDE ? CE ? 5 ? 15 .
2
DE 3 3

O

? 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 15 . 3

x C

B y

小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:①平移法:在异面直线中的一条直 线上选择“特殊点” ,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:把空间 图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常 用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围: ? 0, ? ? . ?
? 2? ?

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考点 5 直线和平面所成的角 例 5. 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD . 已知∠ABC ? 45? ,AB ? 2 ,
BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .
S

(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小. 解答过程: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥
D C A B





A

B,得 SO⊥底面 ABCD . C D

因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO ,
? 又 ∠ABC ? 45 , 故 △A O B为 等 腰 直 角 三 角 形 ,

S

AO ⊥ BO ,由三垂线定理,得 SA⊥ BC .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC , 故 SA ⊥ AD , AD ? BC ? 2 2 ,SA ? 3 ,AO ? 由 得 SO ? 1 , SD ? 11 . 的面积 S ? 1 AB? △S A B 1
2

C D A

O
B

2,
?1 ? SA2 ? ? AB ? ? 2 . ?2 ?
2

连结 DB ,得 △DAB 的面积 S2 ?

1 AB?AD sin135? ? 2 2
3 3

设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 VD?SAB ? VS ? ABD ,得 1 h?S1 ? 1 SO?S2 ,解得 h ? 2 . 设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ? h ?
SD 2 22 . ? 11 11

所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin 22 .
11

小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系; (2)当直线和平 面斜交时,常用以下步骤:①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角, ③计算——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点 6 二面角 例 6.如图,已知直二面角 ? ? PQ ? ? , A ? PQ , B ?? ,C ? ? ,CA ? CB ,

? C
P A B Q

?BAP ? 45? ,直线 CA 和平面 ? 所成的角为 30 ? . (I)证明 BC ⊥ PQ
(II)求二面角 B ? AC ? P 的大小. 过程指引: (I)在平面 ? 内过点 C 作 CO ⊥ PQ 于点 O ,连结 OB . 因为 ? ⊥ ? , ? ? ? ? PQ ,所以 CO ⊥? ,
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?
? C
P O

H A Q

?

B

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又因为 CA ? CB ,所以 OA ? OB . 而 ?BAO ? 45 ,所以 ?ABO ? 45 , ?AOB ? 90 ,
? ? ?

从而 BO ⊥ PQ ,又 CO ⊥ PQ , 所以 PQ ⊥平面 OBC .因为 BC ? 平面 OBC ,故 PQ ⊥ BC . (II)由(I)知, BO ⊥ PQ ,又 ? ⊥ ? , ? ? ? ? PQ ,

BO ? ? ,所以 BO ⊥ ? .过点 O 作 OH ⊥ AC 于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知, BH ⊥ AC .故 ?BHO 是二面角 B ? AC ? P 的平面角.
由(I)知, CO ⊥? ,所以 ?CAO 是 CA 和平面 ? 所成的角,则 ?CAO ? 30 ,
?

不妨设 AC ? 2 ,则 AO ? 3 , OH ? AO sin 30 ?
?

3 . 2

? 在 Rt△OAB 中 , ?ABO ? ?BAO ? 45 , 所 以 B O ?

A ? 3 , 于 是 在 Rt△BOH 中 , O

t a ?BHO ? n

BO ? OH

3 ? .故二面角 B ? AC ? P 的大小为 arctan 2 . 2 3 2

小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面 角棱的确定有以下三种途径:①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条 平行直线找出棱,③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面 角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点 7 利用空间向量求空间距离和角 例 7. 如图,已知 ABCD ? A BC1D1 是棱长为 3 的正方体, 1 1 点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE ? FC1 ? 1 . (1)求证: E,B,F,D1 四点共面;

D1 C1
F M D

A1 B1
E

2 (2)若点 G 在 BC 上, BG ? ,点 M 在 BB1 上, GM ⊥ BF , 3 C
H ,求证: EM ⊥平面 BCC1B1 ;

A

H

垂 足 为

G B

(3)用 ? 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1B1 所成的锐二面角的大小,求 tan ? .
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过程指引: (1)如图,在 DD1 上取点 N ,使 DN ? 1 ,连结 EN , CN , 则 AE ? DN ? 1, CF ? ND ? 2 . 1 因为 AE ∥ DN , ND1 ∥CF ,所以四边形 ADNE , CFD1N 都为平行四

D1 C1
F

A1 B1

N
M D

E
A

AD 边形.从而 EN ∥ , FD1 ∥CN .

H

BC BC 又因为 AD ∥ ,所以 EN ∥ ,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此
推知 CN ∥ BE ,从而 FD ∥BE .因此, E,B,F,D1 四点共面. 1 (2)如图, GM ⊥ BF ,又 BM ⊥ BC ,所以∠BGM ? ∠CFB ,

C

G B

BC 2 3 BM ? BG? ∠BGM ? BG? ∠CFB ? BG? ? ? ? 1 . tan tan CF 3 2
BM ,所以 ABME 为平行四边形,从而 AB ∥ EM . 因为 AE ∥
又 AB ⊥ 平面 BCC1B1 ,所以 EM ⊥平面 BCC1B1 .

EM ⊥ BF , F (3) 如图, 连结 EH . 因为 MH ⊥ BF , 所以 BF ⊥平面 EMH , E ⊥ 得 H B
是所求的二面角的平面角,即∠EHM ? ? . 因为∠MBH ? ∠CFB ,所以 MH ? BM ? ∠MBH ? BM ? ∠CFB sin sin
? BM ? BC BC ? CF
2 2

. 于是∠EHM

? 1?

3 3 ?2
2 2

?

EM 3 , tan ? ? ? 13 . MH 13

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