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第7讲 立体几何中的向量方法


立体几何中的向量方法 1
1、若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a· b=____________________. 2、共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a∥b(b≠0)?____________?________,__________,________________, a⊥b?_____

___?_________________________________ (a,b 均为非零向量). 3、模、夹角和距离公式 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|= a· a=_____________________________________________________________, a· b cos 〈a, b〉 = =_________________________________________________________ . |a||b| 若 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), → 则|AB|=__________________________________________________________________. 4、空间直角坐标系的建立方法:

5、直线的方向向量求法:

6、平面的法向量求法:

7、直线的平行与垂直证明:

8、直线与平面平行与垂直证明:

9、平面与平面平行与垂直证明:

10、两条异面直线的夹角 11、直线与平面的夹角

12.二面角: 13、点到平面的距离:
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一、选择题 1.直线 l1,l2 相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0) B.s1=(0,1,-1),s2=(2,0,0) C.s1=(1,1,1),s2=(2,2,-2) D.s1=(1,-1,1),s2=(-2,2,-2) 3 5? 15? ? ? 2.已知 a=?1,- , ?,b=?-3,λ ,- ?满足 a∥b,则 λ 等于( 2 2 2? ? ? ? A. 2 3 B. 9 2 C.- 9 2 D.- 2 3 ). )

3.平面 α 经过三点 A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面 α 的法向量不垂直的是 ?1 ? A.?2,-1,-1? ? ? C.(4,2,2) B.(6,-2,-2) D.(-1,1,4) ( ).

4.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点, 则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A.2 B. 3 C. 2 D.1 ( ).

→ 1 → 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM=2MC1,N 为 B1B → 的中点,则|MN|为 21 A. 6 a 6 B. 6 a 15 C. 6 a 15 D. 3 a ( ).

二、填空题 8 7. 若向量 a=(1, λ, 2), b=(2, -1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为9, 则 λ=________. 8.在四面体 PABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,设 PA=PB=PC=a,则点 P 到
2

平面 ABC 的距离为________.

9.平面 α 的一个法向量 n=(0,1,-1),如果直线 l⊥平面 α ,则直线 l 的单 位方向向量是 s=________. 三、解答题 11.已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:

a,b,c.

12.如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2, AF=1,M 是线段 EF 的中点. 求证:(1)AM∥平面 BDE; (2)AM⊥平面 BDF.

13.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD;

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14.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC=90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

立体几何中的向量方法 2
一、选择题 1.两平行平面 α ,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),且两平面的一个法 向量 n=(-1,0,1),则两平面间的距离是( A. 3 2 B. 2 2 C. 3 ) D.3 2

2.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量,若 cos〈m,n〉 1 =-2,则 l 与 α 所成的角为 A.30° B.60° C.120° ( D.150° ).

3.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异 面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 10 A. 10 30 B. 10 2 15 C. 10 3 10 D. 10 ( ).

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4.已知直二面角 α ?l?β ,点 A∈α ,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β ,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 CD=( A.2 B. 3 ). D.1

C. 2

5.如图,在四面体 ABCD 中,AB=1,AD=2 3,BC=3, π CD=2.∠ABC=∠DCB=2,则二面角 A-BC-D 的大小 为 π A.6 π B.3 5π C. 3 ( ). 5π D. 6

6.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角

B1-DC-C1 的大小为 60°,则 AD 的长为(

)

A. 2 C.2 二、填空题

B. 3 D. 2 2

7.若平面 α 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(-2,- 3,3),则 l 与 α 所成角的正弦值为________. 8 8.若向量 a=(1,λ ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ,则 λ 9 =________. 9. 已知点 E、 F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1, CC1 上, 且 B1E=2EB, CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值为________.

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10.在三棱锥 O-ABC 中,三条棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=OB=OC, M 是 AB 边的中点,则 OM 与平面 ABC 所成角的正切值是________. 三、解答题 11.如图,四面体 ABCD 中,AB、BC、BD 两两垂直, AB=BC=BD=4,E、F 分别为棱 BC、AD 的中点. (1)求异面直线 AB 与 EF 所成角的余弦值; (2)求 E 到平面 ACD 的距离; (3)求 EF 与平面 ACD 所成角的正弦值.

12.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° , PA⊥平面 ABCD,PA=3,AD=2,AB=2 3,BC=6. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P-BD-A 的大小.

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1 13.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1 ⊥BD. (1)证明:DC1⊥BC. (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小.

14.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE= 2AB,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE; (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值.

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