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高三数学章节训练题39:立体几何与空间向量1

时间:2011-12-26


高三数学章节训练题 39《立体几何与空间向量 1》 39《
时量:60 分钟 满分:80 分 班级: 姓名: 计分: 个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’) 选择题( 小题, 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1、 (2009 山东卷理)已知α, β表示两个不同的平面, 为平面α内的一条直线

, “ α ⊥ β ” m 则 ) B.必要不充分条件 C.充要条件
0

是“ m ⊥ β ”的( A.充分不必要条件 条件

D.既不充分也不必要

2、在△ABC 中, AB = 2, BC = 1.5, ∠ABC = 120 ,若使绕直线 BC 旋转一周,则所形成的 几何体的体积是( )

A.

3 π 2

B.

5 π 2

C.

7 π 2

D.

9 π 2

3.(2009 全国卷Ⅱ文) 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 = 2 AB , E 为 AA1 重点, 则异面直线 BE 与 CD1 所形成角的余弦值为( A. )

1 3 10 3 C. D. 5 10 5 4、某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的
B. 投影是长为 6 的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的 投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( ) A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 中学学科 5、某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ). A. 6 B. 3 3 C. 3 2 D. 3 6、一个水平放置的正方形的面积是 4, 按斜二测画法所得的直观图 是一个四边形, 这个四边形的面积是( ). A. 2 2 B. 4 2 C. 6 2 D. 12 填空题( 小题, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 1、把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,则过 A,B,C,D 四点的球的 体 积为 。 2、关于直线与平面,有下列四个命题: 1)若 m ∥ α , n ∥ β ,且 α ∥ β ,则 m ∥ n ; 3)若 m ⊥ α , n ∥ β 且 α ∥ β ,则 m ⊥ n ; 2)若 m ⊥ α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m ⊥ n ;

10 10

4)若 m ∥ α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m ∥ n ; 其中不正确的命题为 3、已知某个几何体的三视图如下, D 根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 4、 在矩形 ABCD 中, AB=3, AD=4, 在 AD 上运动, ∠ABP = θ , ?ABP P 设 将 沿 BP 折起,使得面 ABP 垂直于面 BPDC, AC 长最小时 θ 的值为 . 5、 如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封),其轴截面是边长为 2 的正方形,P 是 BC 中点,现有一只蚂蚁位于外壁 A 处,内壁 P 处有一米 。 粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为

C

P

A

B

小题, 三、解答题:(本大题共 2 小题,满分 25 分) 解答题: 1、(2009 广东东莞)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB = AC = 1 , ∠BAC = 90 ,且
0

异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角等于 60 ,设 AA1 = a .(1)求 a 的值;(2)求平面 A1 BC1
0

与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小.

A B A B

C

C

2. 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , AC = BC = 2 , ∠ACB = 90 AP = BP = AB , PC ⊥ AC .[来源:高.考.资.源.网] 来源: 求证: (Ⅱ 的余弦值; (Ⅲ (Ⅰ)求证:PC ⊥ AB ; Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的余弦值; Ⅲ)求点 C 到平面 APB ( ( 的距离. 的距离.
o

P D C

A

B

一、选择题 1、【答案】:B【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面α内的 一条直线, m ⊥ β ,则 α ⊥ β ,反过来则不一定.所以“ α ⊥ β ”是“ m ⊥ β ”的必要不充 分条件. 2、【答案】.A 【解析】: V = V大圆锥 ? V小圆锥 =

1 2 3 π r (1 + 1.5 ? 1) = π 3 2

3.【答案】:C【解析】:本题考查异面直线夹角求法,方法一:利用平移,CD’∥BA' , : ’∥BA' :本题考查异面直线夹角求法,方法一:利用平移,CD’∥ 因此求 △ EBA' 中 ∠ A'BE 即可 , 易知 EB=

2 ,A'E=1,A'B= 5 , 故由余弦定理求 cos ∠

A'BE=

3 10 ,或由向量法可求。 或由向量法可求。 10

4、【答案】C【解析】:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的 高 宽 高 分 别 为

m, n, k





题 ,





m2 + n2 + k 2 = 7
, 所

, 以

m2 + k 2 = 6

? n =1

1+ k 2 = a
? a2 + b2 = 8

1 + m2 = b


(a 2 ? 1) + (b 2 ? 1) = 6

∴ (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 = 8 + 2ab ≤ 8 + a 2 + b 2 = 16
? a + b ≤ 4 当且仅当 a = b = 2 时取等号
5、【答案】D 【解析】从三视图可以观察发现几何体是正三棱柱,底面边长 为 2cm,高为 1cm,所以体积为

3 × 2 2 × 1 = (cm 3) 3 . 4

6、【答案】B 二、填空题 1、【解析】本题不告知翻折的角度,意在提醒学生找不变量。不难发现正方形对角线交点 到四个顶点的距离相等,故交点即为球心,半径为 1。 【答案】 π 2、【答案】1),4); 【解析】 传统空间位置关系的判断依然是高考小题考查的重点,解决此 类问题,可多参考教室空间,或手中的笔与桌子这些具体模型。 3、【解析】 三视图是新增考点,根据三张图的关系,可知几何体是正方 体的一部分,是一个四棱锥。本题也可改编为求该几何体的外接球的表面

4 3

积,则必须补全为正方体,增加了难度。 【答案】

8000 3 cm 3

4、【解析】本题是立体几何中的最值问题,建立数学模型,用函数解决是一种重要方法。 过 A 作 AH ⊥ BP 于 H,连 CH, ∴ AH ⊥ 面BCP . ∴ 在Rt?ABH中,AH = 3sinθ,BH = 3cosθ .

2 ( ,[来源:学*科*网] 在 ?BHC中,CH 2 = 3cosθ) + 4 2 ? 2 × 4 × 3cosθ × cos(90° ? θ)

∴在 Rt?ACH中 , AC 2 = 25 ? 12 sin 2θ ,∴ θ = 45° 时,AC 长最小; 【答案】 θ = 45° 5、 【解析】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。侧面展开后得矩形 ABCD , 其中 AB = π , AD = 2 问题转化为在 CD 上找一点 Q, 使 AQ + PQ 最短作 P 关于 CD 的对称 点 E ,连接 AE ,令 AE 与 CD 交于点 Q, 则得 AQ + PQ 的最小值为 【答案】

π 2 +9

π 2 +9

三、填空题

∴ ∠A1 BC 就是异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角,
即 ∠A1 BC = 60 ,……(2 分)
0

解法一:(1)Q BC // B1C1 , :

∴ ?A1 BC 为等边三角形,……………………………4 分 ∴ A1 B = 2 ? 1 + a 2 = 2 ? a = 1 ;………6 分
(2)取 A1 B 的中点 E ,连接 B1 E ,过 E 作 EF ⊥ BC1 于 F ,连接 B1 F , 由 AB = AC = 1 , ∠BAC = 90 ? BC =
0

连接 A1C ,又 AB = AC ,则 A1 B = A1C

2,

B1 E ⊥ A1 B , A1C1 ⊥ B1 E ? B1 E ⊥ 平面 A1 BC1 ? B1 E ⊥ BC1 ………………8 分 又 EF ⊥ BC1 ,所以 BC1 ⊥ 平面 B1 EF ,即 B1 F ⊥ BC1 , 所以 ∠B1 FE 就是平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的平面角。…………10 分
在 ?B1 EF 中, ∠B1 EF = 90 , B1 E =
0

2 1× 2 , B1 F = , 2 3

∴ sin ∠B1 FE = B1 E = 3 ? ∠B1 FE = 60 0 ,…………………………13 分
B1 F 2
因此平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小为 60 。…………14 分 说明: …………同样给分 同样给分( 说明:取 B1C1 的中点 D ,连接 A1 D ,…………同样给分(也给 10 分) 解法二: (1)建立如图坐标系,于是 B (1,0,0) , B1 (1,0,1) ,C1 (0,1,1) , A1 (0,0, a )( a > 0 ) 解法二:
0

B1C1 = (?1,1,0) , A1 B = (1,0,? a ) ,∴ B1C1 ? A1 B = ?1 …………3 分

?→

?→

?→

?→

z

A B

C

由于异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角 60 , 所以 B1C1 与 A1 B 的夹角为 120
?→ ?→ 0 ?→ ?→ 0

0

即 | B1C1 | ? | A1 B | cos120 = ?1

1 ? 2 ? 1 + a 2 (? ) = ?1 ? a = 1 ………6 分 2
(2)设向量 n = ( x, y , z ) 且 n ⊥ 平面 A1 BC1 于是 n ⊥ A1 B 且 n ⊥ A1C1 ,即 n? A1 B = 0 且 n? A1C1 = 0 , 又 A1 B = (1,0,?1) , A1C1 = (0,1,0) ,所以 ?
→ → ?→ ?→ → ?x ? z = 0 ,不妨设 n = (1,0,1) ……8 分 ?y = 0 → ?? → → ?? → → ?? → → ?? →





同理得 m = (1,1,0) ,使 m ⊥ 平面 BB1C1 ,(10 分) 设 m 与 n 的夹角为 θ ,所以依 m? n =| m | ? | n | ? cos θ ,
→ → → → → →

? 2 ? 2 ? cos θ = 1 ? cos θ =
→ →

1 ? θ = 60 0 ,………………12 分 2
0

m ⊥ 平面 BB1C1 , n ⊥ 平面 A1 BC1 ,
因此平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小为 60 。…………14 分
?→ 1 1 ,0) 显然 AM ⊥ 平面 BB1C1 2 2 2. 解法一: (Ⅰ) AB 中点 D , 取 连结 PD,CD . AP = BP , PD ⊥ AB . AC = BC , Q ∴ Q ∴ CD ⊥ AB . Q PD I CD = D ,∴ AB ⊥ 平面 PCD .Q PC ? 平面 PCD ,∴ PC ⊥ AB . (Ⅱ)Q AC = BC , AP = BP ,∴△ APC ≌△BPC .又 PC ⊥ AC ,∴ PC ⊥ BC .

说明: 或者取 BC 的中点 M , 说明: 连接 AM , 是 AM = ( , 于

?→

又 ∠ACB = 90 , AC ⊥ BC , AC I PC = C , BC ⊥ 平面 PAC . AP 中点 E . 即 且 ∴ 取 连
o

结 BE,CE . Q AB = BP ,∴ BE ⊥ AP .Q EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影,∴ CE ⊥ AP .

P E A C B A

P H D C

B

∴∠BEC 是 二 面 角 B ? AP ? C 的 平 面 角 . 在 △BCE 中 , ∠BCE = 90o , BC = 2 ,

BE =

3 AB = 6 2 EC ? EB BC 6 = = . cos ∠BEC = BE 3 EC EB 2 2× 6 =



∴ sin ∠BEC =

3 中学高.考.资.源. 3

网 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 AB ⊥ 平面 PCD ,∴ 平面 APB ⊥ 平面 PCD .过 C 作 CH ⊥ PD ,垂足 为H . Q 平面 APB I 平面 PCD = PD , CH ⊥ 平面 APB . CH 的长即为点 C 到平面 APB 的 ∴ ∴ 距离. 由(Ⅰ)知 PC ⊥ AB ,又 PC ⊥ AC ,且 AB I AC = A ,∴ PC ⊥ 平面 ABC .Q CD ? 平 面 ABC ,∴ PC ⊥ CD .在 Rt△PCD 中, CD = 学高.考.资.源.网

1 3 AB = 2 , PD = PB = 6 ,中 2 2

∴ PC = PD 2 ? CD 2 = 2 . CH =
2 3 .中学学科 3

PC × CD 2 3 = . ∴ 点 C 到 平 面 APB 的 距 离 为 PD 3

网解法二:(Ⅰ)Q AC = BC , AP = BP ,∴△ APC ≌△BPC .又 PC ⊥ AC , ∴ PC ⊥ BC .Q AC I BC = C ,∴ PC ⊥ 平面 ABC .Q AB ? 平面 ABC ,∴ PC ⊥ AB . (Ⅱ) 如图, C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz . C (0, 0) A(0, 0) B (2, 0) . 以 则 0,, 2,, 0, 设 P (0, t ) . PB = AB = 2 2 , t = 2 ,P (0, 2) .取 AP 中点 E , 0, Q ∴ 0, 连结 BE,CE .

Q AC = PC , AB = BP ,∴ CE ⊥ AP , BE ⊥ AP .∴∠BEC 是二面角 B ? AP ? C
的平面角.

uuu r uuu r Q E (0, , EC = (0, 1, 1) , EB = (2, 1, 1) ,中学高.考.资.源.网 11) , ? ? ? ? cos ∠BEC = EC ? EB EC EB = 2 2× 6 = 3 . 3

z P E y A C H B x

(Ⅲ)Q AC = BC = PC ,∴ C 在平面 APB 内的射影为正 △ APB 的中心 H ,且 CH 的长 为点 C 到平面 APB 的距离. 如 ( Ⅱ ) 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 C ? xyz . Q BH = 2 HE , ∴ 点 H 的 坐 标 为

uuur

uuur

uuur 2 3 2 3 ?2 2 2? .中学学∴ 点 C 到平面 APB 的距离为 . ? , , ? .∴ CH = 3 3 ?3 3 3?


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