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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2章章末复习课


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画一画·知识网络、结构更完善

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题型一

函数的图象作法及其应用

本 课 1.由函数的图象知,点

的集合{(x,y)|y=f(x),x∈A}就是函数 时 的图象.因此,从理论上讲,用列表、描点法就能作出函数 栏 目 的图象, 但是如果不了解函数本身的特点,就无法了解函数 开 关

图象的特点, 如二次函数的图象是抛物线,如果不知道抛物 作图,很难将图象特点描绘出来.

线的顶点坐标和与 x 轴、y 轴的交点,盲目地列表、描点、 2.画函数图象,除了运用描点法外,还常常用到平移、对称变 换,从而简化图象的画法.

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3.函数图象广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题有直
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观、明了、易懂的优点,利用函数图象解决有关函数问题是 一类常见的重要题型和方法, 也是近几年高考中几乎每年必 考的内容之一.

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例 1 设函数 f(x)=x2-2|x|-1 (-3≤x≤3), (1)画出这个函数的图象;

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(2)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)
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是增函数还是减函数; (3)求函数的值域.
解 (1)当 0≤x≤3 时,

f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,
当-3≤x<0 时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,



??x-1?2-2 ?0≤x≤3? ? f(x)=? 2 ??x+1? -2 ?-3≤x<0? ?

.

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根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图

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(2)函数 f(x)的单调区间为[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].
f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上是减函数,在[-1,0),[1,3]上 是增函数.

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(3)当 x≥0 时,函数 f(x)=(x-1)2-2 的最小值为-2,最大值 为 f(3)=2;
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当 x<0 时,函数 f(x)=(x+1)2-2 的最小值为-2,最大值为 f(-3)=2.

故函数 f(x)的值域为[-2,2].

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跟踪训练 1 已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性;

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(2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}.
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??x-2?2-1, ? f(x)=? 2 ?-?x-2? +1, ?

x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, x∈?1,3?,

作出图象如图所示.

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(1)递增区间为[1,2]和[3,+∞),递减区间为(-∞,1]和[2,3].
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(2)由图象可知,y=f(x)与 y=m 图象有四个不同的交点,则 0 <m<1,
∴集合 M={m|0<m<1}.

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题型二
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函数的单调性与奇偶性及其应用

1.函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质,二者相辅相 成, 如果能把二者有效地结合起来使用, 很多问题将变得简 单明了,函数的单调性反映了函数(图象)的增减变化,而函 数的奇偶性反映了函数(图象)的对称性. 2.奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在对 称的两个区间上则有相反的单调性.

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m 例 2 已知函数 f(x)=x+ ,且 f(1)=2. x (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的增减性;
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(3)若 f(a)>2,求 a 的取值范围.
解 (1)∵f(1)=2,
∴f(1)=1+m=2, ∴m=1,
1 则 f(x)=x+ , x

其定义域为{x|x∈R 且 x≠0},

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1 ∵f(-x)=-x+ =-f(x), -x
∴函数 f(x)是奇函数.
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(2)设任意的 x1、x2∈(1,+∞),且 x1<x2,
1 1 则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- x1 x2

x2-x1 =x1-x2+ x1x2
?x2-x1??1-x1x2? = . x1x2 ∵1<x1<x2,

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∴x2-x1>0,x1x2>1,1-x1x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
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即 f(x1)<f(x2).

∴f(x)在区间(1,+∞)上是增加的.

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(3)同理可证,f(x)在(0,1)上是减少的,由于函数 f(x)是奇函数,
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可得简图如图所示.
∵f(a)>2 即 f(a)>f(1),观察图象可得 a>1 或 0<a<1,
∴a 的取值范围是(0,1)∪(1,+∞).

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跟踪训练 2 已知函数 f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. (1)试判断 f(x)的奇偶性; 1 1 (2)若- ≤a≤ ,求 f(x)的最小值. 2 2

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解 (1)当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此 时,f(x)为偶函数.
当 a≠0 时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)≠f(-a), f(a)≠-f(-a),
此时,f(x)为非奇非偶函数.

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2

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12 3 1 (2)当 x≤a 时,f(x)=x -x+a+1=(x- ) +a+ ;∵a≤ , 2 4 2 故函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减,从而函数 f(x)在(-∞,a] 上的最小值为 f(a)=a2+1.
本 课 当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x-a+1=(x+1)2-a+3, 2 4 时 栏 1 目 开 ∵a≥-2,故函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数 f(x) 关

在[a,+∞)上的最小值为 f(a)=a2+1. 1 1 综上得,当- ≤a≤ 时,函数 f(x)的最小值为 a2+1. 2 2

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题型三 求函数的最值(值域)

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求函数的最值(值域)常用方法 (1)直接法:求基本初等函数(正、反比例函数,一次、二次
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函数)的最值(值域)时, 应用基本初等函数最值的结论, 直接 写出其最值; (2)观察法:当函数解析式中仅含有 x2 或|x|或 x时,通常利 用常见的结论 x2≥0,|x|≥0, x≥0 等,直接观察写出函数 的最值; (3)利用函数的单调性求最值; (4)换元法:即利用换元法转化为求二次函数等常见的最值 问题.

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例 3 求函数 f(x)=x2-2ax+4 在[2,+∞)上的最小值.
解 f(x)=x2-2ax+4=(x-a)2-a2+4,对称轴是 x=a.

(1)当 a<2 时,f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数.
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∴f(x)min=f(2)=8-4a. (2)当 a=2 时,f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数. ∴f(x)min=f(2)=0.
(3)当 a>2 时,f(x)在[2,a]上是单调递减函数,

在[a,+∞)上是单调递增函数. ∴f(x)min=f(a)=-a2+4. 综上得:当 a<2 时,f(x)min=8-4a,当 a=2 时,f(x)min=0, 当 a>2 时,f(x)min=-a2+4.

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跟踪训练 3 设 f(x)=x2-4x-4,x∈[t,t+1](t∈R),求函数 f(x)的最小值 g(t)的解析式.

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f(x)=(x-2)2-8, x∈[t, t+1], 2∈[t, 当 t+1], 1≤t≤2 即

时,g(t)=f(2)=-8.

当 t+1<2,即 t<1 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数, ∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7. 当 t>2 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数, ∴g(t)=f(t)=t2-4t-4.

?t2-2t-7 ? 综上可知,g(t)=?-8 ?t2-4t-4 ?

?t<1?, ?1≤t≤2?, ?t>2?.

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题型四
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函数的零点与方程根的关系及应用

确定函数零点的个数有两个基本方法,一是利用图象研究 与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判 断.二是判断区间(a,b)上是否有零点,可应用f(a)· f(b)<0 判断,但还需结合函数的图象和单调性,特别是二重根容 易漏掉.

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例4 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则 (
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)

A.b∈(-∞,0) C.b∈(1,2)

B.b∈(0,1) D.b∈(2,+∞)

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解析 方法一 从图中可以得 f(0)=0,

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∴d=0,由图可知f(x)有三个零点,故可设函数的解析式是
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f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax. 当x>2时,f(x)>0,因此a>0,∵b=-3a,∴b<0.
方法二 由f(0)=0,得d=0,

又∵f(1)=0,∴a+b+c=0① 又∵f(-1)<0,即-a+b-c<0② ①+②得2b<0,∴b<0.

答案 A

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跟踪训练4 若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的 取值范围.

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令f(x)=0,得|4x-x2 |+a=0,即|4x-x2 |=-a.令g(x)=

|4x-x2 |,h(x)=-a.作出g(x)、h(x)的图象.

由图象可知,当0<-a<4,即-4<a<0时,g(x)与h(x)的图象 有4个交点,即f(x)有4个零点.故a的取值范围为(-4,0).

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1.函数性质的研究包括:函数的单调性、奇偶性、对称性, 从命题形式上看:抽象函数、具体函数都有,其中函数单
本 调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数 课 时 的取值范围是高考的重点,利用函数的奇偶性、对称性研 栏 目 究函数的图象是难点. 开 关 2.函数单调性的判定方法

(1)定义法. (2)直接法:运用已知的结论,直接判断函数的单调性,如 一次函数,二次函数,反比例函数;还可以根据f(x),g(x) 1 的单调性判断-f(x), ,f(x)+g(x)的单调性等. f?x?

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(3)图象法:根据函数的图象判断函数的单调性. 3.二次函数在闭区间上的最值

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对于二次函数 f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m, n]上的最值 问题,有以下结论:
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(1)若 h∈[m,n],则 ymin=f(h)=k,ymax=max{f(m),f(n)}; (2)若 h?[m,n],则 ymin=min{f(m),f(n)}, ymax=max{f(m),f(n)}(a<0 时可仿此讨论). 4.函数奇偶性与单调性的差异 函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的, 这一点与研究 函数的单调性不同, 从这个意义上说, 函数的单调性是函数 的“局部”性质, 而奇偶性是函数的“整体”性质, 只有对 函数定义域内的每一个 x 值,都有 f(-x)=-f(x)(或 f(-x) =f(x)),才能说 f(x)是奇函数(或偶函数).


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