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贵州省六校联盟2014届高三第一次联考试卷(数学理)


秘密★考试结束前【考试时间:2013 年 12 月 13 日 9:00-11:00】

贵州省六校联盟 2014 届高三第一次联考试卷 数学(理)
本试题卷分第 I 卷(选择题)和第 11 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答题时,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号在答题卡上填写清楚, 并请

认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目,在规定的位置贴好条形码。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。在本试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷(选择题 共50分) 1.选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知两个集合 A ? x | y ? ln(? x ? x ? 2) , B ? ? x |
2

?

?

? ?

2x ? 1 ? ? 0? ,则 A ? B e?x ?
(D) ?2, e ?

(A) ?- ,? 2 ? 2 ?

? 1

?

(B) ? - 1, ? 2

? ?

1? ?

(C) ?- 1,e ?

(2)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,且 (a ? i)i ? b ? 2i ,则 a+b= (A)1 (B)-1 (C)-2 (D)-3

(3)在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a11 ? 3, a3 ? a13 ? 4, 则 (B )?

a12 ? a2
( D ) ?3 或 ?

( A) 3

(4)已知 l 、m 是两条不同的直线, ? 是个平面,则下列命题正确的是 ( (A)若 l // ? , m // ? , 则 l / / m (B) 若 l ? m , m // ? , 则 l ? ? (C) 若 l ? m , m ? ? ,则 l // ? (D) 若 l // ? , m ? ? ,,则 l ? m (5)在

1 3

(C ) 3 或

1 3

1 3


中,若 2a2+an﹣5=0,则自然数 n

的值是 (A)10 (B)9 (C) 8 (D)7 (6)右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水, 容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是

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(A)

(B)

(C)

(D)

(7)右图中, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分, p 为该题的最终得 分,当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 9.5 时, x3 等于 (A) (B) (C) (D) 10 9 8 7

(8) 函数 f ( x) ? ?

1 ax e (a>0, b>0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 b
) (C) 2 (D)2

x 2 ? y 2 ? 1 相切,则 a ? b 的最大值是(
(A) 4 (B) 2 2

(9)设 x,y 满足

时,则 z=x+y 既有最大值也有最小值,则实数 a 的取值范

围是 (A) a<1

(B)

﹣ <a<1

(C) 0≤a<1

(D) a<0

(10)函数 f ? x ? ? 3 log 1 x ? 1 的零点个数为(
x 2

) (D)1 的左、右焦点,过点 F2

(A)2

(B)3

(C) 4

(11)已知 F1,F2 分别是双曲线

与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是 (A) (B) (C) (D)(2,+∞) (12)给出定义:若 x ? (m ?

1 1 , m ? ] (其中 m 为整数),则 m 叫做与实数 x “亲密的整数”, 2 2

记作 {x} ? m ,在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题:①函数 y ? f ( x) 在

x ? (0,1) 上是增函数;②函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?
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k (k ? Z ) 对称;③函数 y ? f ( x) 2

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是周期函数,最小正周期为 1;④当 x ? (0, 2] 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x 有两个零点. 其中 正确命题的序号是____________. (A) ②③④ (B) ①③ 第Ⅱ卷

(C) ①②

(D) ②④

本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第22题-第24题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)已知向量 a ? ( 2,3) ,b ? (1,2) ,且 a, b 满足 (a ? ? b) ? (a ? b) ,则实数 ? ? _______. (14)如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲 y=x2 和曲线 y= 围成一个叶形 图(阴影部分) ,向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等 可能的) ,则所投的点落在叶形图内部的概率是 .

(15) 已知角 ? , ? , ? 构成公差为 (16) 已知 f ( x) ? 则 a13 ? a2014 ?

2 ? 的等差数列.若 cos ? ? ? , 则: cos? ? cos? 3 3

=______

1 , 各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? 2 ? f (an ) , a12 ? a14 , 若 1? x
.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分12分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q =( 2a ,1) p =( 2b ? c , cos C ) , 且q ∥ p . (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)求三角函数式

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

(18)(本小题满分 12 分)
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如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,

?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点.
(Ⅰ)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (Ⅱ)点 M 在线段 PC 上, PM ?

1 PC ,若平面 PAD ? 平面 ABCD, 3

且 PA ? PD ? AD ? 2 ,求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

(19)(本小题满分12分) 某校学习小组开展 “学生语文成绩与外语成绩的关系” 的课题研究, 对该校高二年级 800 名学生上学期期末语文和外语成绩,按优秀和不优秀分类得结果:语文和外语都优秀的有 60 人,语文成绩优秀但外语不优秀的有 140 人,外语成绩优秀但语文不优秀的有 100 人。 (Ⅰ) 能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系? (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,从该校高二年纪学生成绩中,有放回地随机抽 取 3 名学生的成绩,记抽取的 3 个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为 X, 求 X 的分布列和期望 E ( X ) 。 附 :

p( K 2 ? k0 )

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

K2 ?

n(ad ? bc ) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d )

(20)(本小题满分12分) 已知点 M 是椭圆 C:

x2 y 2 ? =1(a>b>0)上一点,F1、F2 分别为 C 的左、右焦点,|F1F2|=4, a 2 b2
4 3 (I)求椭圆 C 的方程; ( II)设 N(0,2),过点 3

∠F1MF2 =60o, ? F1 MF2 的面积为

p(-1,-2)作直线 l,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、NB 的斜率分别为 k1、k2, 证明:k1+k2 为定值.

(21) (本小题满分12分)
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已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax ( a ?R ).(Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线
1 方程; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e

(Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1, ,B( x2 , ,且 0 ? x1 ? x2 , 0) 0) 求证: f ?(
x1 ? x2 . ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 2

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答 时请写清题号。 (22) (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲 如图,已知⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E,连结 AD、BD、OC、OD,且 OD=5。 (Ⅰ)若 sin ∠BAD ?

(Ⅱ)若 ∠ADO :∠EDO=4 :1,求扇形 OAC(阴影部分)的面积(结果保留 ? ) 。

3 ,求 CD 的长; 5

(23) (本小题满分10分)选修4——4;坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? ? x ? ?2 ? C : p sin ? ? 2a cos ? (a ? 0) ,过点 P(-2,-4)的直线 l : ? ? ? y ? ?4 ? ? ? 相交于点 M,N 两点.
2

2 t, 2 (t 为参数)与曲线 C 2 t 2

(Ⅰ)求曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数 a 的值 24(本小题满分10分)选修4——5;不等式选讲 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 1 1 (Ⅰ)a+b+ab≥8; 1 1 (Ⅱ) ?1+a??1+b?≥9. ? ?? ?

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理科数学参考答案
一. BDCD CBAC 二. (13) ? BADA (15) -2/3 (16)

5 3

(14) 1/3

13 5 -1 (可不化简) ? 21 2

(17) 解: (I)∵ p // q ,∴ 2a cos C ? 2b ? c ,根据正弦定理,得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C , 又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C , ...........3 分

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2
又? 0 ? A ? ? ? A ?

?
3

;sinA=

3 2

。。。。。。。。。。。。。6 分 。。。。。。。。。。。。

(II)原式 ?

? 2 cos 2C 2(cos 2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos 2 C ? 2 sin C cos C , sin C 1 ? tan C 1? cos C

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ?
∵0 ? C ?

?
4

。。。。。。。。。。。 ) , 。。。。。。。。。。。。9 分

2 ? ? 13 2 ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ? ,∴ ? ? sin( 2C ? ) ? 1 , 2 4 4 4 12 3
?
4 ) ? 2 ,∴ f (C ) 的值域是 (?1, 2 ] ......。。 。。12 分

∴ ? 1 ? 2 sin( 2C ?

18. 1)证明:由题 (

PQ ? AD ? BQ ? AD ? ? AD ? 平面 PQB, ? PQ ? BQ ? Q? ? 又 ? AD ? 平面 PAD, 平面 PQB ? 平面 PAD. ?????? (6分) ?

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(2) ? PA ? BD, Q为AD的中点, ? ? 平面PAD ? 平面ABCD ? ? PQ ? 平面ABCD. 8分) ( 平面PAD ? 平面ABCD ? AD? ? ?以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP为x, y, z轴建立如图所示空间直角坐标系o ? xyz. 2 1 2 3 2 3 QP ? QC ? (? , , ). 3 3 3 3 3 ? 2 3 2 3 ?QM ? n1 ? 0 ? ?- x ? y? z?0 设n1 ? ( x, y, z )是平面MBQ的一个法向量,则? ,即? 3 , 3 3 ? QB ? n1 ? 0 ? ? ,3 y ? 0 ? 则Q(0,0,0),A( ,0,0),P(0,0,,3),B(0,,3, .QM ? 1 0) ? x ? 3z 即? .令z ? 1得n1 ? ( 3 ,0,1( 分) ). 10 y?0 ? 1 又n2 ? (0,0,1)是平面BQC的一个法向量, cos ? n1 , n2 ?? .故二面角M - BQ - C的大 ? 2 小为 ( 分) . 12 3
(19) (Ⅰ)由题意得列联表: 语文优秀 语文不优秀 总计 60 100 160 外语优秀 140 500 640 外语不优秀 200 600 800 总计 2 800(60×500-100×140) 因为 K2= ≈16.667>10.828, 160×640×200×600 所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语 有关系. ?5 分 3 (Ⅱ)由已知数据,语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 8 . 3 3 k 5 8-k 则 X~B (3, 8 ),P (X=k)=Ck( 8 ) ( 8 ) ,k=0,1,2,3. 8 X 的分布列为 X 0 1 2 3 125 225 135 27 p ?10 分 512 512 512 512 3 9 E (X)=3× 8 = 8 . ?12 分

? PQ ? AD

?

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2 , ? 2 x ? 2 ,切点坐标为 (11) , x 切线的斜率 k ? f ?(1) ? 2 ,则切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 . · · · · · · · · · · · · · 2 分 ·············

(21) (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x2 ? 2 x , f ?( x) ?

(Ⅱ) g ( x) ? 2ln x ? x2 ? m ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,
x x

1 1 ∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 . e e 故 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? m ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · ·· · · 1 1 1 1 1 又 g ( ) ? m ? 2 ? 2 , g (e) ? m ? 2 ? e2 , g (e) ? g ( ) ? 4 ? e2 ? 2 ? 0 ,则 g (e) ? g ( ) , e e e e e 1 ∴ g ( x) 在 [ ,e] 上的最小值是 g (e) . · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · e ? g (1) ? m ? 1 ? 0, 1 1 解得 1 ? m ? 2 ? 2 , g ( x) 在 [ ,e] 上有两个零点的条件是 ? 1 1 ? e e ? g ( ) ? m ? 2 ? 2 ? 0,
? e e

∴实数 m 的取值范围是 (1,? 2

1 · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ] .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 e2

(Ⅲ)∵ f ( x) 的图象与 x 轴交于两个不同的点 A( x1,,B( x2, , 0) 0)
?2ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0, ? ∴方程 2ln x ? x2 ? ax ? 0 的两个根为 x1,x2 ,则 ? 两式相减得 2 ?2ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0, ? 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 .又 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax , f ?( x) ? ? 2 x ? a ,则 a ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 x
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f ?(

x1 ? x2 2(ln x1 ? ln x2 ) 4 4 . )? ? ( x1 ? x2 ) ? a ? ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

x 2(ln x1 ? ln x2 ) 4 ,即证明 2( x2 ? x1 ) ? ln x1 ? 0 , t ? 1 , ? ? 0 (*) x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2 x1 ? x2 2(1 ? t ) ∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ 0 ? t ? 1 ,即证明 u (t ) ? ········ ? ln t ? 0 在 0 ? t ? 1 上恒成立. · · · · · · · · 10 分 t ?1 2 ∵ u ?(t ) ? ?2(t ? 1) ? 2(1 ? t ) ? 1 ? 1 ? 4 2 ? (t ? 1) 2 ,又 0 ? t ? 1 ,∴ u ?(t ) ? 0 , (t ? 1)2 t t (t ? 1) t (t ? 1) ∴ u(t ) 在 (0,1) 上是增函数,则 u(t ) ? u(1) ? 0 ,从而知 2( x2 ? x1 ) ? ln x1 ? 0 , x1 ? x2 x2 故(*)式<0,即 f ?( x1 ? x2 ) ? 0 成立………….12 分 2

下证

22. (1)因为 AB 是⊙O 的直径,OD=5 所以∠ADB=90°,AB=10

BD AB 3 BD 3 又 sin ∠BAD ? ,所以 ? , 5 10 5 所以 BD ? 6 。。。。。。。。。。。。。2 分 。。。。。。。。。。。。
在 Rt△ABD 中, sin∠BAD ?

AD ?

AB 2 ? BD 2 ? 10 2 ? 6 2 ? 8

因为∠ADB=90°,AB⊥CD 所以 DE·AB ? AD·BD,CE ? DE 所以 DE ? 10 ? 8 ? 6 所以 DE ?

24 48 , 所以 CD ? 2 DE ? 5 5

。。。。。5 分 。。。。

(2)因为 AB 是⊙O 的直径,AB⊥CD, 所以 CB ? BD , AC ? AD , 所 以 ∠ BAD = ∠ CDB,∠AOC=∠AOD. 因为 AO=DO,所以∠BAD=∠ADO, 所以∠CDB=∠ADO。。。 2 分 。。。 设∠ADO=4x,则∠CDB=4x. 由∠ADO :∠EDO=4 :1,则∠EDO=x. 因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°,所以 4 x ? 4 x ? x ? 90? , 所以 x=10° 所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100° 所以∠AOC=∠AOD=100°,故 S 扇形OAC ?









100 125 。。。。 ? ? ? 52 ? ? 。。。。。5 分 360 18

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23

24【答案】证明 (1)∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 1 1 1 a+b ?1 1? ∴ + + = + + =2?a+b?。。。。。。。。。2 分 。。。。。。。。 a b ab a b ab a+b a+b? ?b a? + =2? ? a + b ?=2?a b?+4 b a ≥4 a×b+4=8. 1 1 1 ∴ + + ≥8. 。。。。。。。。。。。。。。。。5 分 。。。。。。。。。。。。。。。 a b ab 1 1 1 1 1 (2)∵?1+a??1+b?=a+b+ab+1, ? ?? ? 1 1 1 由(1)知a+b+ab≥8. 。。。。。。。。。。。。。8 分 。。。。。。。。。。。。 1 1 ∴?1+a??1+b?≥9.。。。。。。。。。。。。。。。10 分 。。。。。。。。。。。。。。 ? ?? ?

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