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2011年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线


解析几何
安徽理(2) 双曲线 ? x? ? y ? ? ? 的实轴长是 (A)2 (B) ? ? (C) 4 (D) 4 ?

C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质.属容易题. 【解析】 ? x? ? y ? ? ? 可变形为 (5) 在极坐标系中,点 (?,

?
?

x2

y 2 ? ? 1 ,则 a 2 ? 4 , a ? 2 , 2a ? 4 .故选 C. 4 8
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) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为

(A) 2

(B)

4?

?2
9

(C)

1?

?2
9

(D)

3

(5)D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化,考查两点间距 离. 【 解 析 】 极 坐 标 (?,

, 2sin ) , 即 (1, 3 ) . 圆 的 极 坐 标 方 程 ? ? 2cos ? 可 化 为 3 3 ? ,则由两点间距离公 ? 2 ? 2? cos? ,化为直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ,即 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,所以圆心坐标为(1,0)

?

) 化 为 直 角 坐 标 为 (2 cos

?

?

式d ?

(1 ? 1) 2 ? ( 3 ? 0) 2 ? 3 .故选 D.

(15)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,下列命题中正确的是_____________(写出 所有正确命题 的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 (15)①③④⑤【命题意图】本题考查直线方程,考查逻辑推理能力.难度较大.

1 满足①,故①正确;若 k ? 2, b ? 2 , y ? 2 x ? 2 过整点(-1,0) ,所以②错误;设 y ? kx 2 是过原点的直线,若此直线过两个整点 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,两式相减得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) , 则点 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 也在直线 y ? kx 上, 通过这种方法可以得到直线 l 经过无穷多个整点, 通过上下平移 y ? kx 得对
【解析】令 y ? x ? 于 y ? kx ? b 也成立,所以③正确;④正确;直线 y ? 2 x 恰过一个整点,⑤正确. (21) (本小题满分 13 分)
? 设 ? ? ? ,点 A 的坐标为(1,1) ,点 B 在抛物线 y ? x

uuur uur , 经过 Q 点与 M x 轴垂直的直线交抛物线 B Q? ? Q A uuur uuu r ,求点 P 的轨迹方程。 QM ? ? MP

上运动,点 Q 满足 于点 M ,点 P 满足 程,平面向量的概念,

(21) (本小题满分 13 分) 本题考查直线和抛物线的方

性质与运算,动点的轨迹方程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养. 解:由 QM ? ? MP 知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上,故可设

P( x, y),Q( x, y0 ), M ( x, x 2 ),则x 2 ? y0 ? ?( y ? x 2 ),则y0 ? (1 ? ?) x 2 ? ?y.
再设 B ( x1 , y1 ),由BQ ? ? QA, 即( x ? x1 . y 0 ? y1 ) ? ? (1 ? x,1 ? y 0 ), 解得 ?



? x1 ? (1 ? ? ) x ? ? , ? 2 2 ? y1 ? (1 ? ? ) x ? ? (1 ? ? ) y ? ?.
再 将 ③ 式 代

? x1 ? (1 ? ? ) x ? ? , ? y1 ? (1 ? ? ) y 0 ? ?.

② ,将① 式代入② 式,消去 y0 ,得
2 ③ ,又点 B 在抛物线 y ? x 2 上,所以 y1 ? x1 ,

, y1 ? x12 2 2 2 2 2 (1 ? ? ) x ? ? (1 ? ? ) y ? ? ? (1 ? ? ) x ? 2? (1 ? ? ) x ? ? , 因? ? 0,同除以? (1 ? ? ), 得2 x ? y ? 1 ? 0 故所求点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1. 入 安徽文(3) 双曲线 ? x ? y ? ? 的实轴长是 (A)2 (B) ? ? (C) 4 (D) 4 ?
? ?



2 ( ? ?12 x ) ?? ? y? ( 1 ?? ) ? x 2? (1 ? ? ) x ? ? (1 ? ? ) y ? ? (1 ? ? ) ? 0.

(3)C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质.属容易题. 【解析】 ? x ? y ? ? 可变形为
? ?

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 ? 4 , a ? 2 , 2a ? 4 .故选 C. 4 8

(4) 若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x? ? y ? ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为 (A) ? 1 (B) 1 (C) 3 (D) ? 3
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(4)B【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系,属容易题. 【解析】 圆的方程 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 可变形为 ( x ??) ? ( y ? ?) ? ? , 所以圆心为 (-1,2) , 代入直线 ?x ? y ? a ? ? 得 a ? 1. (17) (本小题满分 13 分) 设直线 l1 : y ? k1x+1 ,l2 : y=k 2 x ?1,其中实数k1 ? k 2满足k1k 2 +2 ? 0, (I)证明 l1 与 l2 相交; (II)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x +y =1上. (17) (本小题满分 13 分)本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在曲线上的判断与证明,椭 圆方程等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力. 证明: (I)反证法,假设是 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平行,有 k1=k2,代入 k1k2+2=0,得 k1 ? 2 ? 0. 此与 k1 为实数
2
2 2 ? ? ? ?

的事实相矛盾. 从而 k1 ? k 2 ,即l1与l 2 相交.

2 ? x? , ? k 2 ? k1 ? y ? k1 x ? 1 ? (II) (方法一)由方程组 ? ,解得交点 P 的坐标 ( x, y ) 为 ? ,而 ? y ? k2 x ?1 ? y ? k 2 ? k1 . ? k 2 ? k1 ? 2 2 k ? k1 2 8 ? k 2 ? k12 ? 2k1k 2 k12 ? k 2 ?4 2 2 x 2 ? y 2 ? 2( )2 ? ( 2 ) ? ? ? 1. 2 2 2 2 k 2 ? k1 k 2 ? k1 k 2 ? k1 ? 2k1k 2 k1 ? k 2 ? 4
此即表明交点 P( x, y)在椭圆2 x ? y ? 1上.
2 2

( 方 法

二 ) 交



P







( x, y ) 满 足

? y ?1 ? ? ? y ?1 ?

1k 2

k

y ?1 ? k1 ? , ? ? x , 故知x ? 0,有? x ?k ? y ? 1 . 2 ? x ?

x

y ?1 y ?1 ? ? 2 ? 0 ,整理后,得 2x 2 ? y 2 ? 1, x x 2 2 所以交点 P 在椭圆 2 x ? y ? 1上. 代入k1k2 ? 2 ? 0, 得
北京理 3.在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是 A. (1, )

? 2

B. (1, ? )

? 2

C. (1, 0)

D. (1, ?)

【解析】 : ? ? ?2sin ? ? x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,圆心直角坐标为(0,-1) ,极坐标为 (1, ?

? ) ,选 B。 2

8. 设 A(0,0) ,B(4,0) ,C( t ? 4 ,4) ,D(t,4) (t ? R ) ,记 N(t)为平行四边形 ABCD 内部(不含边界)的 整点的个数,其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N(t)的值域为 C A.{ 9,10,11 } C.{ 9,11,12 } B.{ 9,10,12 } D.{ 10,11,12 }

14.曲线 C 是平面内与两个定点 F1 (?1,0) 和 F2 (1, 0) 的距离的积等于常数 a 2 (a ? 1) 的点的轨迹,给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则

1 F1PF2 的面积不大于 a 2 . 2

其中,所有正确结论的序号是____________.② ③ 19.已知椭圆 G:

x2 ? y 2 ? 1,过点(m,0)作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点。 4

(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值。 (19)解: (Ⅰ )由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ?

a 2 ? b 2 ? 3.

所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) ,离心率为 e ?

(Ⅱ )由题意知, | m |? 1 .当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 , 点 A、B 的坐标分别为 (1,

c 3 ? . a 2

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3 3 ), (1,? ), 此时 | AB |? 3 2 2 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3 当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m), ? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 ;设 A 、 B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) ,则 2 ? ? y ? 1. ?4 8k 2 m 4k 2 m 2 ? 4 ; x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得
2 2

| km | k ?1
2

? 1, 即m 2 k 2 ? k 2 ? 1. 64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[

?

4 3|m| 4 3|m| . m 2 ? 3 由于当 m ? ?3 时, | AB |? 3, 因为 | AB |? m 2 ? 3 ?

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. 北京文 8.已知点 A(0,2) ,B(2,0) .若点 C 在函数 y = x 的图像上,则使得 ΔABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 A A.4 B.3 C. 2 D.1 19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 2 ,0) ,斜率为 I 的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点, 2 a b 3

以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积. (19)解: (Ⅰ )由已知得 c ? 2 2, 所以椭圆 G 的方程为

c 6 ? . 解得 a ? 2 3. ,又 b2 ? a2 ? c2 ? 4. a 3

x2 y 2 ? ? 1. 12 4 (Ⅱ )设直线 l 的方程为 y ? x ? m. ?y ? x ? m ? 由 ? x2 得 4x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 12 ? 0. y2 ?1 ? ? ? 12 4 设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ), AB 中点为 E ( x0 , y0 ) ,
x1 ? x 2 m 3m ?? , y 0 ? x0 ? m ? ;因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 4 2 4 m 2? 4 ? ?1. 解得 m=2。 所以 PE⊥ AB.所以 PE 的斜率 k ? 3m ?3? 4 2 此时方程① 为 4x ? 12x ? 0. 解得 x1 ? ?3, x2 ? 0. 所以 y1 ? ?1, y 2 ? 2.
则 x0 ? 所以|AB|= 3 2 .此时,点 P(—3,2)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离

d?

| ?3 ? 2 ? 2 | 2

?

1 9 3 2 , 所以△PAB 的面积 S= | AB | ?d ? . 2 2 2

福建理 7.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足 PF 1 : F 1F 2 : PF 2 =4:3:2,则曲线 r 的离 心率等于 A. 或

1 2

3 2

B.

2 或2 3

C. 或 2

1 2

D. 或

2 3

3 2

17. (本小题满分 13 分) 已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明理由。 17.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归

与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。 解法一: (I)依题意,点 P 的坐标为(0,m) 因为 MP ? l ,所以

0?m ?1 ? ?1 , 2?0

解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2) 从而圆的半径

r ?| MP |? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2,
故所求圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8. (II)因为直线 l 的方程为 y ? x ? m, 所以直线 l ' 的方程为 y ? ? x ? m. 由?

? y ' ? ? x ? m,
2

?x ? 4 y (1)当 m ? 1,即? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切 (2)当 m ? 1 ,那 ? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。 综上,当 m=1 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切;当 m ? 1 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。 解法二: (I)设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为 ( x ? 2)2 ? y ? ? r 2 . 依题意,所求圆与直线 l : x ? y ? m ? 0 相切于点 P(0,m) ,
?4 ? m2 ? r 2 , ? ? m ? 2, ? 则 ?| 2 ? 0 ? m | 解得 ? 所以所求圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8. ? r , r ? 2 2. ? ? ? 2 ?
(II)同解法一。 21.(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

得x 2 ? 4 x ? 4m ? 0 , ? ? 42 ? 4 ? 4m ? 16(1 ? m)

? x ? 3cos? ? (? 为参数) . ? ? ? y ? sin?
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

π ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

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(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. (2)选修 4—4:坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思 想。满分 7 分。 解: (I)把极坐标系下的点 P (4, 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

?

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 ,

2

) 化为直角坐标,得 P(0,4) 。

2 cos(? ? ) ? 4 | 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? 6 d? ? ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 , 6 2 2
由此得,当 cos(? ?

?

?
6

) ? ?1 时,d 取得最小值,且最小值为 2.

福建文 11.设圆锥曲线 G 的两个焦点分别为 F1、F2,若曲线 G 上存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则曲

线 G 的离心率等于 1 3 A. 2或2 18.(本小题满分 12 分) 如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A。 (Ⅰ)求实数 b 的值; 2 B.3或 2 1 C.2或 2

A 2 3 D.3或2

(Ⅱ)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程。 18.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想,满分 12 分。 解: (I)由 ?

? y ? x ? b, ?x ? 4 y
2

(*) 得x 2 ? 4 x ? 4b ? 0 ,

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4)2 ? 4 ? (?4b) ? 0, 解得 b=-1。 (II)由(I)可知 b ? ?1, 故方程(*)即为x2 ? 4 x ? 4 ? 0 , 解得 x=2,代入 x2 ? 4 y, 得y ? 1. 故点 A(2,1) ,因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离,即 r ?|1 ? (?1) |? 2, 所以圆 A 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 4.
2 2

5 2 ? ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? 广东理 14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ? (0≤?<? ) 和 ? 4 (t ? R ) , ? ? y ? sin ? ? ?y ? t
它们的交点坐标为 .
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? x ? 5 cos ? x2 ? 解析:将 ? (0≤?<? )化为普通方程得 : ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1, x ? ? 5), 5 ? ? y ? sin ? 5 5 4 2 5 将x ? t 2 , y ? t 代入得: t 4 ? t 2 ? 1 ? 0, 解得t 2 ? ,? t ? ( y ? t ? 0), 4 16 5 5 5 5 4 2 5 x ? t 2 ? ? ? 1,? 交点坐标为(1, ). 4 4 5 5
19. (本小题满分 14 分)
2 2 设圆 C 与两圆 (x+ 5) ? y2 ? 4, (x ? 5) ? y2 ? 4 中 的一个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程.

(2)已知点 M (

3 5 4 5 且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及 , ),F ( 5,0), 5 5
题设条件知 简得 L 的方程为

此时点 P 的坐标. 19. (1)解:设 C 的圆心的坐标为 ( x, y ) ,由

| ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 |? 4, 化

x2 ? y 2 ? 1. 4
(2)解:过 M,F 的直线 l 方程为 其代入 L 的方程得 15x ? 32 5x ? 84 ? 0. 解 得
2

y ? ?2( x ? 5) ,将

6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5 , x2 ? , 故l与L交点为T1 ( ,? ), T2 ( , ). 5 15 5 5 15 15 因 T1 在线段 MF 外,T2 在线段 MF 内,故 | MT1 | ? | FT1 | ?| MF |? 2, x1 ?

| MT2 | ? | FT2 | ?| MF |? 2. ,若 P 不在直线 MF 上,在 ?MFP 中有 | MP | ? | FP | ?| MF |? 2. 故 | MP | ? | FP | 只在 T1 点取得最大值 2。
21.(本小题满分 14分) 在平面直角坐标系 xOy上, 给定抛物线L : y ? 1 2 x .实数p, q满足p 2 ? 4q ? 0, x1 , x 2 是方程 4 (2) 设M( ab , ) 是定点, x 2 ? px ? q ? 0的两根, 记? ( p, q ) ? max{| x1 |, | x 2 |}. 1 2 p 0 )( p 0 ? 0)作L的切线交y轴于点B.证明 : 对线段AB上的作一点Q( p, q), 4 |p | 有? ( p , q ) ? 0 ; 2

(1)过点A( p 0 ,

其中 a , b 满足 a 2 ? 4b>0,a≠0 .过 M (a, b) 作 L 的两条切线 l1 , l2 ,切点分别为 E ( p1 ,

1 2 1 p1 ), E '( P2 , P2 2 ) , l1 , l2 与 y 4 4

分别交于 F , F ' .线段 EF 上异于两端点的点集记为 X .证明: M (a, b) ? X ? P 1 ? P 2 ? ? ( a, b) ?

|P 1| ; 2

? 1 5? (3)设D ? ?( x, y ) y ? x ? 1, y ? ( x ? 1) 2 ? ? , 当点(p, q)取遍D时,求 4 4? ? ? (p, q)的最小值(记为?min )和最大值(记为?max ). 1 1 21.解: (1) k AB ? y ' |x ? p0 ? ( x) |x ? p0 ? p0 , 2 2
直线 AB 的方程为 y ?

1 2 1 1 1 p0 ? p0 ( x ? p0 ) ,即 y ? p0 x ? p0 2 , 4 2 2 4

?q ?

1 1 p0 p ? p0 2 ,方程 x2 ? px ? q ? 0 的判别式 ? ? p2 ? 4q ? ( p ? p0 )2 , 2 4

两根 x1,2 ?

p ? | p0 ? p | p0 p ? 或p? 0 , 2 2 2 p0 p |?|| p | ? | 0 || ,又 0 ? | p | ?| p0 | , 2 2

p ? p0 ? 0 ,?| p ?
?? |

p0 p p p p p |? | p | ? | 0 |? | 0 | ,得?| p ? 0 |?|| p | ? | 0 ||?| 0 | , 2 2 2 2 2 2 p0 |. 2

?? ( p, q) ?|
2

(2)由 a ? 4b ? 0 知点 M (a, b) 在抛物线 L 的下方, ①当 a ? 0, b ? 0 时,作图可知,若 M (a, b) ? X ,则 p1 ? p2 ? 0 ,得 | p1 | ? | p2 | ; 若 | p1 | ? | p2 | ,显然有点 M (a, b) ? X ; ? M (a, b) ? X ?| p1 | ? | p2 | . ②当 a ? 0, b ? 0 时,点 M (a, b) 在第二象限, 作图可知,若 M (a, b) ? X ,则 p1 ? 0 ? p2 ,且 | p1 | ? | p2 | ;

若 | p1 | ? | p2 | ,显然有点 M (a, b) ? X ;

? M (a, b) ? X ?| p1 | ? | p2 | .
根据曲线的对称性可知,当 a ? 0 时, M (a, b) ? X ?| p1 | ? | p2 | , 综上所述, M (a, b) ? X ?| p1 | ? | p2 | (*) ; 由(1)知点 M 在直线 EF 上,方程 x ? ax ? b ? 0 的两根 x1,2 ?
2

p1 p 或a ? 1 , 2 2

同理点 M 在直线 E ' F ' 上,方程 x ? ax ? b ? 0 的两根 x1,2 ?
2

p2 p 或a ? 2 , 2 2

若 ? ( a, b) ?|

p1 p p p p | ,则 | 1 | 不比 | a ? 1 | 、 | 2 | 、 | a ? 2 | 小, 2 2 2 2 2
p1 p |? M (a, b) ? X ;又由(1)知, M (a, b) ? X ? ? (a, b) ?| 1 | ; 2 2 p1 |? M (a, b) ? X ,综合(*)式,得证. 2
1 5 ( x ? 1) 2 ? 得交点 (0, ?1), (2,1) ,可知 0 ? p ? 2 , 4 4

? | p1 |?| p2 | ,又 | p1 | ? | p2 | ? M (a, b) ? X ,
? ? (a, b) ?| ? ? (a, b) ?|

(3)联立 y ? x ? 1 , y ?

1 2 x0 ? q 1 1 2 4 ? x0 , 过点 ( p, q) 作抛物线 L 的切线,设切点为 ( x0 , x0 ) ,则 4 x0 ? p 2
得 x02 ? 2 px0 ? 4q ? 0 ,解得 x0 ? p ? 又q ?

p 2 ? 4q ,

1 5 ( p ? 1) 2 ? ,即 p2 ? 4q ? 4 ? 2 p , 4 4

1 1 5 ? x0 ? p ? 4 ? 2 p ,设 4 ? 2 p ? t ,? x0 ? ? t 2 ? t ? 2 ? ? (t ? 1) 2 ? , 2 2 2

?max ?|

x0 5 5 |max ,又 x0 ? ,? ? max ? ; 2 4 2
p 2 ? 4 p ? 4 ? p ? | p ? 2 |? 2 ,?? min ?|

q ? p ? 1,? x0 ? p ?

x0 |min ? 1 . 2

广东文 8.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y =0 相切,则 C 的圆心轨迹为 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 D 21. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP 的垂直平分线上一点, 且满足 ∠ MPO=∠ AOP (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T(1,-1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T(1,-1)且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线 l1 的斜率 k 的取值范围。 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图 1,设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线,交 OP 于点 Q,

?MPQ ? ?AOP,? MP ? l , 且 | MO |?| MP | .
2 2 因此 x ? y ?| x ? 2 |, 即 y 2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1).



另一种情况,见图 2(即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧) 。

MQ 为线段 OP 的垂直平分线,??MPQ ? ?MOQ.

?MPQ ? ?AOP,??MOQ ? ?AOP. 因此 M 在 x 轴上,此时,记 M 的坐标为 ( x,0). 为分析 M ( x,0)中x 的变化范围,设 P(?2, a) 为 l 上任意点 (a ? R). 1 2 2 2 由 | MO |?| MP | (即 | x |? ( x ? 2) ? a )得, x ? ?1 ? a ? ?1. 4 故 M ( x,0) 的轨迹方程为 y ? 0, x ? ?1 ② ?4( x ? 1), x ? ?1, 综合①和②得,点 M 轨迹 E 的方程为 y 2 ? ? x ? ?1. ?0,
又 (2)由(1)知,轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成(见图 3) :

E1 : y2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1) ; E2 : y ? 0, x ? ?1. 当 H ? E1 时,过T作垂直于 l 的直线,垂足
? 3 ? D ? ? , ?1? 。 ? 4 ?

为 T ? , 交 E1 于

再过 H 作垂直于 l 的直线,交 l于H ?. 因此, | HO |?| HH ? | (抛物线的性质) 。

? | HO | ? | HT |?| HH ? | ? | HT |?| TT ? |? 3 H ?与T ? 重合(或 H 与 D 重合)时取得) 。 当 时 , 则 H ? E2

( 该 等 号 仅 当

| HO | ? | HT |?| BO | ? | BT |? 1 ? 5 ? 3.
综合可得,|HO|+|HT|的最小值为 3,且此时 点 H 的 坐 标 为

? 3 ?? ,? ? 4

? 1 ? . ?

(3)由图 3 知,直线 l1 的斜率 k 不可能为零。 设 l1 : y ? 1 ? k ( x ? 1)(k ? 0). 故x ?

1 4 ?4 ? ( y ? 1) ? 1, 代入E1 的方程得: y 2 ? y ? ? ? 8 ? ? 0. k k ?k ?

因判别式 ? ?

16 ?4 ? ?4 ? ? 4 ? ? 8 ? ? ? ? 2 ? ? 28 ? 0. 2 k ?k ? ?k ?

2

所以 l1 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点。 又由 E2 和 l1 的方程可知,若 l1 与 E2 有交点,

则此交点的坐标为 ? 的交点。

k ?1 1 ? k ?1 ? ? k ?1 ? 从而 l1 表三个不同 ,0 ? , 且 ? ?1.即当 ? ? k ? 0时, l1与E2 有唯一交点 ? ,0? , k 2 ? k ? ? k ?

1 2 2 湖北理 4.将两个顶点在抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为 n ,则 A. n ? 0 B. n ? 1 C. n ? 2 D. n ? 3
因此,直线 l1斜率k 的取值范围是 ( ??, ? ] ? (0, ?? ). 【答案】C 解析:根据抛物线的对称性,正三角形的两个 顶点一定关于 x 轴对称,且过焦点的两条直线 倾斜角分别为 30 和 150 ,这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点,如图所以正三角形 的个数记为 n , n ? 2 ,所以选 C.
0 0

y

B

C O D F x

14. 如图,直角坐标系 xOy 所在的平面为 ? ,直角坐标系 x / Oy / (其中 y / 轴与 y 轴重合)所在的平面为 ? , A ?xOx/ ? 450 . (Ⅰ)已知平面 ? 内有一点 P / 2 2 ,2 , 则点 P 在平面 ? 内的射影 P 的坐标为
/

?

?

; y

(Ⅱ)已知平面 ? 内的曲线 C 的方程是
/

(y )

/

? x / / C/ P

?

? 2 ? 2 y / 2 ? 2 ? 0 ,则曲线 C / 在平面 ? 内的 射影 C 的方程是 . 2 2 【答案】 ?2,2? , ?x ? 1? ? y ? 1 / 解析: (Ⅰ)设点 P 在平面 ? 内的射影 P 的坐标为 ? x, y ? ,
/

?x

?

2

O (y ) H O
/

x ? CP x
/ / /

?
?

则点 P 的纵坐标和 P / 2 2 ,2 纵坐标相同,
/ 所以 y ? 2 ,过点 P 作 P H ? Oy ,垂足为 H ,
/

?

?

y

P x

连结 PH ,则 ?P HP ? 45 , P 横坐标
/ 0

x ? PH ? P / H cos 450 ? x / cos450 ? 2 2 ?
/

所以点 P 在平面 ? 内的射影 P 的坐标为 ?2,2? ;
/ 0 /

2 ? 2, 2

?

/ ? 2 ?x ? 2x / / / (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得 x ? x cos 45 ? x ? ,y ? y , 所以 ? 代入曲线 C 的方程 x ? 2 / 2 ? ?y ? y

?

?

2

? 2y/2 ? 2 ? 0,



所以射影 C 的方程填 ?x ? 1? ? y 2 ? 1.
2

?

2x ? 2

?

2

? 2 y 2 ? 2 ? 0 ? ?x ? 1?2 ? y 2 ? 1,

20. (本小题满分 14 分) 平面内与两定点 A1(?a, 0) , A2(a,0) (a ? 0) 连续的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹,加上 A1 、 A 2 两点所成的 曲线 C 可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值得关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (?1,0)U (0, ??) ,对应的曲线为 C2 ,设 F1 、 F2 是 C2 的两个焦
2 点。试问:在 C1 撒谎个,是否存在点 N ,使得△ F1 N F2 的面积 S ?| m | a 。若存在,求 tan F1 N F2 的值;若不存

在,请说明理由。 20.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思 想。 (满分 14 分) 解: (I)设动点为 M,其坐标为 ( x, y ) ,

y y y2 ? ? 2 ? m, x ? a x ? a x ? a2 2 2 2 即 mx2 ? y 2 ? ma2 ( x ? ?a) ,又 A 1 (?a,0), A 2 ( A,0) 的坐标满足 mx ? y ? ma ,
当 x ? ? a 时,由条件可得 kMA1 ? kMA2 ? 故依题意,曲线 C 的方程为 mx 2 ? y 2 ? ma 2 .

x2 y2 ? ? 1, C 是焦点在 y 轴上的椭圆; a 2 ?ma 2 当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? a2 ,C 是圆心在原点的圆;
当 m ? ?1 时, 曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1,C 是焦点在 x 轴上的椭圆; a 2 ? ma 2 x2 y2 ? 1, C 是焦点在 x 轴上的双曲线。 当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为 2 ? a ma 2 (II)由(I)知,当 m=-1 时,C1 的方程为 x2 ? y 2 ? a2 ;
当 ?1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为 当 m ? (?1,0) 充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , y0 ? 0, ① |m|a ? . 由①得 0 ?| y0 |? a, 由②得 | y0 |? ?1 2 1? m ? ? 2a 1 ? m | y0 |?| m | a . ② ?2 1? 5 | m| a 1? 5 当0? 时,存在点 N,使 S=|m|a2; ? a,即 ? m ? 0, 或 0 ? m ? 2 2 1? m 1? 5 |m| a 1? 5 当 时,不存在满足条件的点 N, ? a,即-1<m< ,或m ? 2 2 1? m

(0, ??) 时,C2 的两个焦点分别为 F1 (?a 1 ? m,0), F2 (a 1 ? m,0).
(0, ??) ,C1 上存在点 N ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 使得 S ?| m | a2 的

对于给定的 m ? (?1,0)

当 m??

?1 ? 5 ? ,0? ? ? 2 ?

? 1? 5 ? ? ? 0, 2 ? 时, ? ?

由 NF 1 ? (?a 1 ? m ? x0 ? y0 ), NF 2 ? (a 1 ? m ? x0 , ? y0 ) ,
2 2 2 2 可得 NF 1 ? NF 2 ? x0 ? (1 ? m)a ? y0 ? ?ma , 令 | NF 1 |? r 1 ,| NF 2 |? r 2 , ?F 1 NF 2 ?? ,

ma 2 则由 NF1 ? NF2 ? r1r2 cos ? ? ?ma , 可得r1r2 ? ? , cos ? 1 ma 2 sin ? 1 ? ? ma 2 tan ? , 从而 S ? r1r2 sin ? ? ? 2 2cos ? 2 1 2|m| 2 2 2 . 于是由 S ?| m | a ,可得 ? ma tan ? ?| m | a , 即 tan ? ? ? 2 m
2

综上可得: 当m??

?1 ? 5 ? 2 ,0? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a , 且 tan F 1 NF 2 ? 2; ? ? 2 ?

当 m ? ? 0,

? 1? 5 ? 2 ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a , 且 tan F1NF2 ? ?2; ? 2 ? ?

当 m(?1, 湖北文

1? 5 1? 5 ) ( , ??) 时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N。 2 2
2

4 . 将 两 个 顶 点 在 抛 物 线 y ?2 p x (p?0 )上 , 另 一 个 顶 点 是 此 抛 物 线 焦 点 的 正 三 角 形 个 数 记 为 n , 则 C A. n ? 0 B. n ? 1 C. n ? 2 D. n ? 3 14.过点(—1,—2)的直线 l 被圆 x? 截得的弦长为 2 ,则直线 l 的斜率为__________。1 或 y? 2 x ? 2 y ?? 10
2 2

17 7

湖南理 9.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取 ? y ? 1 ? sin ?

相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为 ? ? cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 ,则 C1 与

C2 的交点个数为
答案:2



解析:曲线 C1 : x2 ? ( y ?1)2 ? 1,C2 : x ? y ? 1 ? 0 ,由圆心到直线的距离 d ? 数为 2.

| 0 ? 1 ? 1| ? 0 ? 1 ,故 C1 与 C2 的交点个 2

A.(本小题满分 13 分)
如图 7,椭圆 C1 : 长。 (Ⅰ)求 C1 , C2 的方程; (Ⅱ)设 C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D,E. (i)证明: MD ? ME ; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S2 .问:是否存在直线 l ,使得 解析: (I)由题意知 e ?

x2 y 2 3 x 2 , 轴被曲线 C2 : y ? x ? b 截得的线段长等于 C1 的长半轴 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

S1 17 = ?请说明理由。 S 2 32


c 3 ? ,从而 a ? 2b ,又 2 b ? a ,解 a 2

a ? 2, b ? 1 。

x2 ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1 。 故 C1,C2 的方程分别为 4
(II) (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程 为

y ? kx .

由?

? y ? kx ? y ? x ?1
2

得 x ? kx ? 1 ? 0 ,
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 。 又点 M 的坐标为 (0, ?1) ,所以

kMA ? kMB ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ?k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ?1

故 MA ? MB ,即 MD ? ME 。 ( ii)设直线的斜率为 k1 ,则直线的方程为 y ? k1 x ? 1 ,由 ?

? y ? k1 x ? 1
2 ? y ? x ?1

解得 ?

? x ? k1 ?x ? 0 或? ,则点的坐标为 2 ? y ? ?1 ? y ? k1 ? 1
的 坐 标 为 (?

(k1 , k12 ?1) , 又 直 线 MB 的 斜 率 为 ?
1 1 | M A |? | M B ? | 2 2

1 k1

, 同 理 可 得 点

B

1 1 , ? 1) . 于 是 k1 k12

S1 ?

2 1 ? 1

1 11 ? k12 k ?1 | k ?| 2 1 ? ? |? |? k1 k1 2 k |1 |

.

8k1 ? x? 2 ? ? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 ? 1 ? 4k1 2 2 由? 2 得 (1 ? 4k1 ) x ? 8k1 x ? 0 ,解得 ? 或? , 2 2 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? 1 ? 4k12 ?
则点 D 的坐标为 (

1 8k1 4k12 ? 1 , ) ;又直线的斜率为 ? ,同理可得点 E 的坐标为 2 2 k1 1 ? 4k1 1 ? 4k1

(

?8k1 4 ? k12 32(1 ? k12 )? | k1 | 1 于是 , ) S ? | MD | ? | ME | ? 2 4 ? k12 4 ? k12 2 (1 ? 4k12 )(4 ? k12 )
S1 1 1 ? (4k12 ? 2 ? 17) S2 64 k1
1 1 1 17 (4k12 ? 2 ? 17) ? 解得 k12 ? 4 或 k12 ? 。 4 64 k1 32

因此

由题意知,

1 k12 3 1 ? k1 ? ,所以 k ? ? . 又由点 A, B 的坐标可知, k ? 1 2 k1 k1 ? k1 k12 ?
故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y ?

3 3 x和 y ? ? x。 2 2

x2 y 2 ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, 则 a 的值为( 湖南文 6.设双曲线 2 ? a 9
A.4 B.3 答案:C C.2 D.1



3 x ,故可知 a ? 2 。 a ? x ? 2 cos ? ? (? 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同 9.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? ? y ? 3 sin ? 的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? 0, 则 C1 与 C2 的
解析:由双曲线方程可知渐近线方程为 y ? ? 交点个数为
2

.答案:2

x y2 ? ? 1 ,曲线 C2 : x ? y ? 1 ? 0 ,联立方程消 y 得 7 x2 ? 8 y ? 8 ? 0 ,易得 ? ? 0 ,故有 2 个交点。 4 3 2 2 15.已知圆 C : x ? y ? 12, 直线 l : 4 x ? 3 y ? 25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 . (2) 圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 . 1 25 答案:5, 解析: (1)由点到直线的距离公式可得 d ? ?5; 2 6 4 ? 32
解析:曲线 C1 : (2)由(1)可知圆心到直线的距离为 5 ,要使圆上点到直线的距离小于 2,即 l1 : 4 x ? 3 y ? 15 与圆相交所得劣弧上,

? ? 1 由半径为 2 3 ,圆心到直线的距离为 3 可知劣弧所对圆心角为 ,故所求概率为 P ? 3 ? . 3 2? 6
21.已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的等等于 1. (I)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (II)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B , l2 与轨迹 C 相交于点 D, E ,求

AD ? EB 的最小值.
2 2 解析: (I)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意为 ( x ? 1) ? y ? | x |? 1.

化简得 y 2 ? 2 x ? 2 | x |, 当 x ? 0时, y 2 ? 4 x;当x ? 0时,y=0. 、 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 , y 2 ? 4x( x ? 0)和y=0(x ? 0). (II)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由?

? y ? k ( x ? 1) ,得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0. 2 ? y ? 4x

[来源:学科网 ZXXK]

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是 x1 ? x2 ? 2 ? 因为 l1 ? l2 ,所以 l2 的斜率为 ?

4 , x1 x2 ? 1 . k2

1 .设 D( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ), 则同理可得: k

x3 ? x4 ? 2 ? 4k 2 , x3 x4 ? 1

AD ? EB ? ( AF ? FD) ( EF ? FB) ? AF EF ? AF FB ? FD EF ? FD FB ?| AF | | FB | ? | FD | | EF |
故 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ( x3 ? 1)( x4 ? 1)

? 1 ? (2 ?

4 ) ? 1 ? 1 ? (2 ? 4k 2 ) ? 1 k2

1 1 ) ? 8 ? 4 ? 2 k 2 2 ? 16 2 k k 1 2 当且仅当 k ? 2 即 k ? ?1 时, AD ? EB 取最小值 16. k m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 江苏 14.设集合 A ? {( x, y ) | 2 ? 8 ? 4(k 2 ?
B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是________.
答案:

1 ? m ? 2 ?1 . 2

解析:当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以 m 为半径的圆,集合 B 是在两条平行线之间, (2,0)在直线的

上方

2 ? 2m ? 1 2 ? m ? (1 ? 2)m ? ? 0 d ? r ,又因为 A ? B ? ? , 此时无解; 2 2
m 和 m 为半径的圆环,集合 B 是在两条平行线之间,必有当 2

当 m ? 0 时,集合 A 是以( 2 , 0 )为圆心,以

2m ? 1 ? 2, m ?

1 2 ? 2m ? 1 2 1 时,只要, ? m ? 1? ?m? . 2 2 2 2

当 2m ? 2, m ? 1 时, 只要, ? 当 2m ? 2, 2m ? 1 ? 2 ?

2 ? 2m ? m ?1? m ? 2 ? 2 2

1 ? m ? 1 时,一定符合 A ? B ? ? , 2 m 1 2 又因为 A ? ? , ? m ,? ? m ? 2 ? 2 . 2 2
本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、 线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆 的位置关系、含参分类讨论、解不等式,及其综合能力.本题属难题. 18.(本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 y 交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限, 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设 直线 PA 的斜率为 k. M A N C P B x

x2 y2 ? ? 1 的顶点,过坐标原点的直线 4 2

(1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB. 答案: (1)由题意知 M(-2,0),N(0, ? 2 ),M、N 的中点坐标为(-1, ?

2 ), 2 2 . 2

直线 PA 平分线段 MN 时,即直线 PA 经过 M、N 的中点,又直线 PA 经过原点,所以 k ?

(2)直线 PA : y ? 2 x ,由 x2 ? 2 y 2 ? 4 得 P( , ), A( ?

?

y ?2 x

2 4 3 3

2 2 4 , ? ) , C ( , 0) , 3 3 3

2 y 3 即: x ? y ? 2 ? 0 AC 方程: ? 4 2 2 3 ? ? ? 3 3 3 x?
2 4 2 ? ? 3 3 3 2 2 所以点 P 到直线 AB 的距离 d ? ? 3 2
(3)法一:由题意设 P( x0 , y0 ), A(? x0 , ? y0 ), B( x1 , y1 ), 则C( x0 ,0) , A、C、B 三点共线,? k AC ? k AB ,

y0 y ?y ? 1 0, 2 x0 x1 ? x0

又因为点 P、B 在椭圆上,?

x0 2 y0 2 y ?y x ?x x2 y2 ? ? 1, 1 ? 1 ? 1 ,两式相减得: kPB ? 0 1 ? ? 0 1 4 2 4 2 x0 ? x1 2( y0 ? y1 )

? kPAkPB ?

y0 x ?x ( y ? y )( x ? x ) [? 0 1 ] ? ? 1 0 0 1 ? ?1 ? PA ? PB . x0 2( y0 ? y1 ) ( x1 ? x0 )( y0 ? y1 )

法二:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A,B中点N(x 0 ,y0 ),则P(-x1, ? y1 ),C(-x1,0) , A、C、B 三点共线,?

y2 y ?y y ? 2 1 ? 1 ? k AB , 又因为点 A、B 在椭圆上, x2 ? x1 x2 ? x1 2 x1

?

y x2 2 y2 2 x2 y2 1 ? ? 1, 1 ? 1 ? 1 ,两式相减得: 0 ? ? , 4 2 4 2 x0 2k AB y0 y1 1 ?? ? 2k AB ? ?1 , ON // PB,? PA ? PB x0 x1 2k AB

? kON kPA ?

? y ? kx ? 法三:由 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? ?4 2
P( 2 1 ? 2k 2
2k
2 k k 2 k AC ? 1 ? 2k ? ,直线 AC : y ? ( x ? ) 4 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

,

2k 1 ? 2k 2

), A(?

2 1 ? 2k 2

,?

2k 1 ? 2k 2

), C (

2 1 ? 2k 2

,0)

代入

x2 y 2 k2 2k 2 4 ? 6k 2 4 ? 6k 2 ? ? 1 得到 (1 ? ) x2 ? ,解得 , x? ?0 xB ? 2 2 4 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (2 ? k ) 1 ? 2k

k PB

k 2 ( xB ? ) 2 yB ? yP 2 ?4k 1 1 1 ? 2 k ? ? ? 2 ? ? . ? k PA ? k PB ? k ? (? ) ? ?1, PA ? PB 2 k xB ? xP 4k k xB ? 2 1 ? 2k

解析:本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质,直线的斜率及其方程,点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断. 另外还考查了解方程组,共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力, 考查推理论证能力.(1)(2)是容易题; (3) 是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题. C.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? 的直线的普通方程. C.选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识,考查转化问题的能力,满分 10 分。 解:由题设知,椭圆的长半轴长 a ? 5 ,短半轴长 b ? 3 ,从而 c ? 知直线的参数方程化为普通方程: x ? 2 y ? 2 ? 0. 故所求直线的斜率为 ,将已 a2 ? b2 ? 4 ,所以右焦点为(4,0)

? x ? 5cos ? ? x ? 4 ? 2t ( ? 为参数)的右焦点,且与直线 ? ( t 为参数)平行 ? y ? 3sin ? ?y ? 3?t

1 1 ,因此其方 程为 y ? ( x ? 4), 即x ? 2 y ? 4 ? 0 2 2 2 2 江西理 9. 若曲线 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 有 4 个不同的交点,则实数 m 的取值范围是

3 3 , ) 3 3 3 3 , ] C. [? 3 3
A. (? 【答案】B

B. (?

3 ,0) ? (0, 3 3 )?( D. (??,? 3

3 ) 3 3 ,??) 3

2 2 【解析】 曲线 C1 :( x ? 1) ? y ? 1, 图像为圆心为 (1,0) , 半径为 1 的圆; 曲线 C2 : y ? 0 , 或者 y ? mx ? m ? 0 ,

y

直线 y ? mx ? m ? 0 恒过定点 (?1,0) ,即曲线 C2 图像为 x 轴与恒过定点 (?1,0) 的两条直线。作图分析:

l1

3 3 , k 2 ? ? tan30? ? ? , 3 3 又直线 l1 (或直线 l 2 ) 、 x 轴与圆共有四个不同 k1 ? tan30? ?
的交点,结合图形可知 m ? k ? (?

?1

O

1

x

3 3 ,0) ? (0, ) 3 3
M

l2
方向滚动,M 和 N 是小圆 一周,点 M,N 在大圆内所 N

10. 如右图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针 的一条固定直径的两个端点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的 绘出的图形大致是

A B C 【答案】A 【解析】 由运动过程可知,小圆圆心始终在以原点为圆心 0.5 为半径的圆上运动。当小圆运动到两圆相切于 P 点时,则小圆与大圆的切点 P 转过的弧长 PA 长度 A 等于弧 PM,过小圆圆心 B 作 MP 垂线 BF, 设转动角度为∠AOP=β ,则大圆弧长 PA=1×β , 小圆弧长 PM=0.5×∠MBP,所以∠MBP=2β , 则∠MBF=β ,则∠MBF=∠FBP=∠POA,所以 BF∥OA,则 ∠BNO,所以 ON∥MP,所以 ON∥y 轴,则 N 点在 y 轴上, BF∥OM,则 OM∥OA,所以 M 点在 x 轴上。故最终运动轨迹 14. 若椭圆
2

D
1 0.8

0.6

0.4

M
M E

0.2

O
o
-0.2

F P
F

B
B

-0.4

-0.6

N
N

-0.8

-1

-1.2

MP 平行 y 轴。又∠PMB= 又 BF 为△PMO 中位线,∴ 如 A 图所示。

1 x2 y2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点 (1, ) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线,切点分别为 A , B ,直线 AB 恰好经 2 2 a b
.
2

过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 【答案】

x y ? ?1 5 4
1 1 ) 为圆心, 为半 2 2

2 2 【解析】作图可知一个切点为(1,0) ,所以椭圆 c ? 1 .分析可知直线 AB 为圆 x ? y ? 1 与以 (1,

1 2 2 与 x ? y ? 1 相减得直线 AB 方程为: 2 x ? y ? 2 ? 0 . 令 x ? 0 ,解得 4 x2 y2 ? ?1 y ? 2 ,∴ b ? 2 ,又 c ? 1 ,∴ a 2 ? 5 ,故所求椭圆方程为: 5 4 15(1).(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? 4 cos? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半
径的圆的公共弦 . 由 ( x ? 1) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 【答案】 x ? y ? 4x ? 2 y ? 0
2 2

.

? 左右两边同时乘以 ? 得 【 解 析 】 对 方 程 ? ? 2 sin? ? 4 c o s
? cos? ? x , ? sin ? ? y 代入得方程为: x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0
20. (本小题满分 13 分)

? 2 ? 2? sin ? ? 4? cos? , 将 ? 2 ? x 2 ? y 2 ,

P( x0 , y0 )(x0 ? ?a) 是双曲线 E :
直线 PM , PN 的斜率之积为

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上一点, M , N 分别是双曲线 E 的左、右 顶点, a2 b2

1 . 5

(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A 、 B 两点, O 为坐标原点, C 为双曲线上一点,满足

OC ? ? OA ? OB ,求 ? 的值.
【解析】 (1)点 P( x0 , y0 )(x0 ? ?a) 是双曲线 E :
2 2

---?

---?

---?

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上,有 a2 b2

y0 y0 x0 y 1 ? 02 ? 1 ,由题意又有 ? ? ,可得 a 2 ? 5b 2 , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 6b 2 2 x0 ? a x0 ? a 5 a b
c 30 ? a 5 2 ? x ? 5 y 2 ? 5b 2 2 2 (2)联立 ? ,得 4 x ? 10cx ? 35b ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ?y ? x ? c 5c ? x1 ? x 2 ? ? ---? ---? ---? ---? ? x3 ? ?x1 ? x 2 ? 2 则? ,设 OC ? ( x3 , y 3 ) , OC ? ? OA ? OB ,即 ? 2 ? y3 ? ?y1 ? y 2 ? x x ? 35b 1 2 ? 4 ? 2 2 又 C 为双曲线上一点,即 x3 ? 5 y3 ? 5b 2 ,有 (?x1 ? x2 ) 2 ? 5(?y1 ? y 2 ) 2 ? 5b 2
则e ? 化简得: ?2 ( x1 ? 5 y1 ) ? ( x2 ? 5 y2 ) ? 2?( x1x2 ? 5 y1 y2 ) ? 5b2
2 2 2 2

又 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 在双曲线上,所以 x1 ? 5 y1 ? 5b2 , x2 ? 5 y2 ? 5b2 由(1)式又有

2

2

2

2

x1 x2 ? 5 y1 y2 ? x1 x2 ? 5( x1 ? c)(x2 ? c) ? ?4x1 x2 ? 5c( x1 ? x2 ) ? 5c 2 ? 10b 2 2 得: ? ? 4? ? 0 ,解出 ? ? 0 ,或 ? ? ?4
江西文 10.如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系 X 轴上方,其“底端”落在源点 O 处,一顶点及中心 M 在 Y 轴的 正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成

今使“凸轮”沿 X 轴正向滚动有进,在滚动过程中, “凸轮”每时每刻都有一个“最高点” ,其中心也在不断移动 位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置,应大致为

答案:A 根据中心 M 的位置,可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置,而是稍微偏上,随着转动,M 的 位置会先变高,当 C 到底时,M 最高,排除 CD 选项,而对于最高点,当 M 最高时,最高点的高度应该与旋转开始前 相同,因此排除 B ,选 A。 12.若双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的离心率 e=2,则 m=____. 16 m

答案:48. 解析:根据双曲线方程:

y2 x2 ? 2 ? 1 知, a 2 ? 16, b2 ? m ,并在双曲线中有: a 2 ? b 2 ? c 2 , 2 a b

c 16 ? m c2 , ? m=48 ? 离心率 e= =2 ? 2 ? 4 = a 16 a
19.(本小题满分 12 分)
2 已知过抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 的焦点,斜率为 2 2 的直线交抛物线于 A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ? ( x1 ? x2 )两点,

且 AB ? 9 . (1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ?OB ,求 ? 的值.

p y ? 2 2 ( x ? ),与y 2 ? 2px联立,从而有4x 2 ? 5 px ? p 2 ? 0, 解析: (1)直线 AB 的方程是 2
5p ,由抛物线定义得: AB ? x1 ? x2 ? p ? 9 ,所以 p=4, 4 抛物线方程为: y 2 ? 8x
所以: x1 ? x2 ?
2 (2)、 由 p=4 , 4x ? 5 px ? p ? 0, 化 简 得 x ? 5 x ? 4 ? 0 , 从 而 x1 ? 1, x2 ? 4, y1 ? ?2 2 , y2 ? 4 2 , 从 而

2

2

A:(1, ? 2 2 ),B(4, 4 2 ) 设 OC ? ( x3, y3 ) ? (1,?2 2 ) ? ? (4,4 2 ) = (1 ? 4?,?2 2 ? 4 2? ) ,又 y3 ? 8x3 ,即 2 2 ?2? ? 1? ? 8(4 ? ? 1 ) ,即
2
2

?

?

?

(2? ?1)2 ? 4? ? 1 ,解得 ? ? 0, 或? ? 2
辽宁理 3.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AF ? BF =3 ,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离 为 A. C

3 4

B.1

C.

5 4

D.

7 4
.2

13.已知点(2,3)在双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 上,C 的焦距为 4,则它的离心率为 a2 b2

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上, 椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥ MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D. (I)设 e ?

1 ,求 BC 与 AD 的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥ AN,并说明理由. 20.解: (I)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设

x2 y 2 b2 y 2 x 2 C1 : 2 ? 2 ? 1, C2 : 4 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) a b a a 设直线 l : x ? t (| t |? a) ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得 a 2 2 b 2 2 A(t , a ? t ), B(t , a ? t ). ??????4 分 b a 1 3 当 e ? 时, b ? a, 分别用y A , yB 表示 A,B 的纵坐标,可知 2 2 2 | yB | b 2 3 | BC |:| AD |? ? ? . ??????6 分 2 | yA | a2 4 (II)t=0 时的 l 不符合题意. t ? 0 时,BO//AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等,即 b 2 2 a 2 2 a ?t a ?t ab2 1 ? e2 a b ? ? ? a. ? , 解得 t ? ? 2 a ? b2 e2 t t ?a 1 ? e2 2 因为 | t |? a, 又0 ? e ? 1, 所以 2 ? 1, 解得 ? e ? 1. 2 e

所以当 0 ? e ? 当

2 时,不存在直线 l,使得 BO//AN; 2
??????12 分

2 ? e ? 1 时,存在直线 l 使得 BO//AN. 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程

? x ? cos ? ? x ? a cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的参数方程为 ? ? y ? sin ? ? y ? b sin ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数) ,在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ= ? 与 C1,C2 各有一个交
点.当 ? =0 时,这两个交点间的距离为 2,当 ? =

?
2

时,这两个交点重合.

(I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

?

4

时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? = ?

?
4

时,l 与 C1,C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1

的面积. 23.解: (I)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0) , (a,0) ,因为这两点间的距离为 2,所以 a=3. 当? ?

?

2

时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1) , (0,b) ,因为这两点重合,所以 b=1.
2 2

(II)C1,C2 的普通方程分别为 x ? y ? 1和

x2 ? y 2 ? 1. 9 ? 2 3 10 当 ? ? 时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x ? ,与 C2 交点 B1 的横坐标为 x ? ? . 4 2 10 ? 当 ? ? ? 时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此, 4
四边形 A1A2B2B1 为梯形. 故四边形 A1A2B2B1 的面积为

(2 x ? ? 2 x)( x ? ? x) 2 ? . 2 5

????10 分

辽宁文 13.已知圆 C 经过 A(5,1) ,B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为___________.

( x ? 2)2 ? y 2 ? 10
全国Ⅰ理(7)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点, AB 为 C 的实轴 长的 2 倍 ,则 C 的离心率为 (A) 2 (9)曲线 y ? (A) (B) 3 (C)2 (D)3 C B

10 3

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 16 (B)4 (C) (D) 6 3

(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为

2 。过 F 1 的直线 L 交 C 于 2

A, B 两点,且 V ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为
(20) (本小题满分 12 分)



x2 y 2 ? ?1 16 8

在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB / /OA , MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (20)解: (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由题意可知( MA + MB )? AB =0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

uuu r

uur

uuu r uu u r

uuu r uu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r

uuu r

1 2 x -2. 4 1 2 1 ' 1 (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 1 2 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0。 2
所以曲线 C 的方程式为 y= 则 O 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 |

1 2 x0 ? 4 1 2 1 4 2 .又 y0 ? x0 ? 2 ,所以 d ? 2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 2 4 x0 ?4 x0 ?4 2 x0 ?4

2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? 点 P 的轨迹为曲线 C2 . (I)求 C2 的方程;

? x ? 2cos ? , M 为 C1 上的动点, P 点满足 OP ? 2OM , (? 为参数) y ? 2 ? 2sin ? ?

(II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 极点的交点为 B,求|AB|. (23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

?
3

与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? 2cos ? ? ? x ? 4cos? ? x ? 4cos ? ?2 即? 从而 C 2 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ? ? y ? 4 ? 4sin ? ? y ? 2 ? 2sin ? ? ?2
(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ?

?
3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin

?
3



射线 ? ?

?
3

与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

。所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 .

全国Ⅰ文

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 (4)椭圆 16 8 1 1 3 (A ) (B) (C) 3 2 3
(20) (本小题满分 12 分)

D (D)

2 2

在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (I)求圆 C 的方程; (II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值. (20)解: (Ⅰ )曲线 y ? x 2 ? 6x ? 1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为( 3 ? 2 2,0), (3 ? 2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32 ? (t ? 1) 2 ? (2 2 ) 2 ? t 2 , 解得 t=1.
2 2 则圆 C 的半径为 3 ? (t ? 1) ? 3. 所以圆 C 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9.

(Ⅱ )设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),其坐标满足方程组:

? ? x ? y ? a ? 0, 消去 y,得到方程 2x 2 ? (2a ? 8) x ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0. ? 2 2 ? ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9.
由已知可得,判别式 ? ? 56 ? 16a ? 4a ? 0.
2

因此, x1, 2 ?

(8 ? 2a) ? 56 ? 16a ? 4a 2 4

, 从而 x1 ? x2 ? 4 ? a, x1 x2 ?

a 2 0 ? 2a ? 1 2



由于 OA⊥ OB,可得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 又 y1 ? x1 ? a, y 2 ? x2 ? a, 所以

2x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? 0.
山东理 8.已知双曲线

② ;由① ,② 得 a ? ?1 ,满足 ? ? 0, 故 a ? ?1.

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的两条渐近线均和圆 C: x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的 a 2 b2

圆心,则该双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1 (A) 5 4
【答案】A

x2 y 2 ? ?1 (B) 4 5

x2 y 2 ? ?1 (C) 3 6

x2 y 2 ? ?1 (D) 6 3

【解析】由圆 C: x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 得: ( x ? 3) ? y ? 4 ,因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心(3,0),所以 c=3,又双曲线的
2 2 2 2

两条渐近线 bx ? ay ? 0 均和圆 C 相切,所以

3b a ?b
2 2

? 2 ,即

3b ? 2 ,又因为 c=3,所以 b=2,即 a 2 ? 5 ,所以该双曲线的方 c

程为

x2 y 2 ? ? 1 ,故选 A. 5 4

22.(本小题满分 14 分) 已知动直线 l 与椭圆 C: 标原点. (Ⅰ)证明 x12 ? x22 和 y12 ? y22 均为定值; (Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 | OM | ? | PQ | 的最大值 ;

x2 y 2 6 ? ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、Q ? x2 , y2 ? 两不同点,且△OPQ 的面积 S?OPQ = ,其中 O 为坐 3 2 2

(Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 说明理由.

6 ?若存在,判断△DEG 的形状;若不存在,请 2

【解析】22. (I)解: (1)当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称, 所以 x2 ? x1 , y2 ? ? y1. 因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,因此 又因为 S ?OPQ ?

x12 y12 ? ?1 3 2



6 6 6 , 所以 | x1 | ? | y1 |? . ②;由①、②得 | x1 |? ,| y1 |? 1. 2 2 2 2 2 2 此时 x1 ? x2 ? 3, y12 ? y2 ? 2, (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m,
x2 y 2 ? ? 1 ,得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3(m2 ? 2) ? 0 , 3 2 2 2 2 2 2 2 其中 ? ? 36k m ?12(2 ? 3k )(m ? 2) ? 0, 即 3k ? 2 ? m ????(*)
由题意知 m ? 0 ,将其代入

6km 3(m2 ? 2) , x1 x2 ? , 又 x1 ? x2 ? ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
所以 | PQ |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k ?
2 2 2

因为点 O 到直线 l 的距离为 d ?

|m| 1? k 2 ,

所以 S ?OPQ

2 6 3k 2 ? 2 ? m2 , 2 ? 3k 2 1 ? | PQ | ?d 2

1 2 6 3k 2 ? 2 ? m 2 |m| 6 | m | 3k 2 ? 2 ? m2 6 1? k 2 ? ? ,又 S ?OPQ ? , ? 2 2 2 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 1? k 2 2 整理得 3k ? 2 ? 2m , 且符合(*)式, ?

6km 2 3(m2 ? 2) ) ? 2 ? ? 3, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 2 2 2 2 2 2 y12 ? y2 ? (3 ? x12 ) ? (3 ? x2 ) ? 4 ? ( x12 ? x2 ) ? 2. 3 3 3 2 2 2 2 综上所述, x1 ? x2 ? 3; y1 ? y2 ? 2, 结论成立。
此时 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (?
2 2 2

(II)解法一:

(1)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知 | OM |?| x1 |? 因此 | OM | ? | PQ |?

6 ,| PQ |? 2 | y1 |? 2, 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知

x1 ? x2 3k ? , 2 2m y1 ? y2 x ?x 3k 2 ?3k 2 ? 2m2 ? ? k( 1 2 ) ? m ? ? ?m? ? , 2 2 2m 2m m 2 2 x ?x y ? y2 2 9 k 1 6m ? 2 1 1 | OM |2 ? ( 1 2 ) 2 ? ( 1 ) ? ? 2 ? ? (3 ? 2 ), 2 2 2 2 4m m 4m 2 m 2 2 2 24(3k ? 2 ? m ) 2(2m ? 1) 1 | PQ |2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 2(2 ? 2 ), 2 2 2 (2 ? 3k ) m m

6 ? 2 ? 6. 2

所以

1 1 3? 2 ? 2? 2 1 1 1 1 1 m m )2 ? 25 | OM |2 ? | PQ |2 ? ? (3 ? 2 ) ? 2 ? (2 ? 2 ) ? (3 ? 2 )(2 ? 2 ) ? ( 2 m m m m 2 4
5 1 1 ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 , 即m ? ? 2 时,等号成立. 2 m m 5 综合(1) (2)得|OM|·|PQ|的最大值为 . 2
所以 | OM | ? | PQ |? 解法二: 因为 4 | OM |2 ? | PQ |2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
2 2 ? 2[( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 )]

? 10.
所以 2 | OM | ? | PQ |? 即 | OM | ? | PQ |?

4 | OM |2 ? | PQ |2 10 ? ? 5. 2 5

5 , 当且仅当 2 | OM |?| PQ |? 5 时等号成立。 2 5 因此 |OM|·|PQ|的最大值为 . 2
(III)椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 . 2 6 , 2

证明:假设存在 D(u, v), E ( x1 , y1 ), G( x2 , y2 )满足S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 由(I)得
2 2 2 2 u 2 ? x12 ? 3, u 2 ? x2 ? 3, x12 ? x2 ? 3; v 2 ? y12 ? 2, v 2 ? y2 ? 2, y12 ? y2 ? 2,

3 2 2 解得u 2 ? x12 ? x2 ? ; v 2 ? y12 ? y2 ? 1. 2 5 因此u, x1 , x2 只能从 ? 中选取, v, y1 , y2 只能从 ? 1中选取, 2 6 , ?1) 这四点中选取三个不同点, 因此 D,E,G 只能在 ( ? 2

而这三点的两两连线中必有一条过原点,与 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G. 山东文

6 矛盾, 2

(9)设 M( x0 , y0 )为抛物线 C: x2 ? 8 y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、 FM 为半径的圆和抛物线 C 的 准线相交,则 y0 的取值范围是 (A)(0,2) C (15) 已知双曲线 (B)[0,2] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)

x2 y 2 x 2 y2 ? ? 1( a > 0 , b > 0) ? =1 有相同的焦点, 和椭圆 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍, a 2 b2 16 9 x2 y 2 ? ?1 则双曲线的方程为 . 4 3
(22) (本小题满分 14 分)

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示, 斜率为 k (k>0) 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A ,B 3 x ? ?3 于 点 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交直线 D(? 3,m ). (Ⅰ)求 m2 ? k 2 的最小值; 2 (Ⅱ)若 OG ? OD ? OE , (i) 求证:直线 l 过定点;
在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C : (ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ABG 程;若不能,请说明理由. (I)解:设直线 l的方程为y ? kx ? t (k ? 0) , 由题意, t ? 0. 的外接圆方

? y ? kx ? t , ? 2 2 2 由方程组 ? x 2 得 (3k ? 1) x ? 6ktx ? 3t ? 3 ? 0 , 2 ? y ? 1, ? ?3 ? ? 0 ,所以 3k 2 ? 1 ? t 2 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 6kt 2t , 所以 y1 ? y2 ? 2 . 由于 E 为线段 AB 的中点, 由韦达定理得 x1 ? x2 ? ? 2 3k ? 1 3k ? 1 3kt t 1 y 1 , yE ? 2 , 此时 kOE ? E ? ? . 所以 OE 所在直线方程为 y ? ? x, 因此 xE ? 2 3k ? 1 3k ? 1 3k xE 3k 1 又由题设知 D(-3,m) ,令 x=-3,得 m ? ,即 mk=1,所以 m2 ? k 2 ? 2mk ? 2, k 当且仅当 m=k=1 时上式等号成立,此时 由 ? ? 0 得 0 ? t ? 2, 2 2 因此 当 m ? k ? 1且0 ? t ? 2 时, m ? k 取最小值 2。 1 x, 将其代入椭圆 C 的方程,并由 k ? 0, (II) (i)由(I)知 OD 所在直线的方程为 y ? ? 3k 3k t 1 3k 1 , ) ,又 E (? 2 , 2 ), D( ?3, ) ,由距离公式及 t ? 0 得 解得 G (? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 k 3k ? 1 3k ? 1







| OG |2 ? (?

3k 3k 2 ? 1

)2 ? (

1 3k 2 ? 1

)2 ?

9k 2 ? 1 , 3k 2 ? 1

1 9k 2 ? 1 | OD |? (?3) 2 ? ( ) 2 ? , k k 3kt 2 t t 9k 2 ? 1 2 | OE |? (? 2 ) ? ( 2 ) ? , 3k ? 1 3k ? 1 3k 2 ? 1 由 | OG |2 ?| OD | ? | OE | 得t ? k , 因此,直线 l 的方程为 y ? k( x ? 1 )所以,直线 . l恒过定点(?1,0). 3k 1 3k 1 (ii)由(i)得 G (? , ) ,若 B,G 关于 x 轴对称,则 B(? ,? ). 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 1 2 4 2 代入 y ? k ( x ? 1)整理得3k 2 ? 1 ? k 3k 2 ? 1, 即 6k ? 7k ? 1 ? 0 ,解得 k ? (舍去)或 k 2 ? 1, 6 3 1 3 1 所以 k=1,此时 B (? , ? ), G (? , ) 关于 x 轴对称。又由(I)得 x1 ? 0, y1 ? 1, 所以 A(0,1) 。 2 2 2 2 由于 ?ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上,可设 ?ABG 的外接圆的圆心为(d,0) , 3 2 1 1 5 2 2 因此 d ? 1 ? (d ? ) ? , 解得d ? ? , 故 ?ABG 的外接圆的半径为 r ? d ? 1 ? , 2 4 2 2 1 2 5 2 所以 ?ABG 的外接圆方程为 ( x ? ) ? y ? . 2 4 陕西理 2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是 ( ) 2 2 2 2 (A) y ? ?8 x (B) y ? 8x (C) y ? ?4x (D) y ? 4 x
【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键.

p 2 ? ?2 ,且抛物线的开口向右(或焦点在 x 轴的正半轴) ,所以 y ? 2 px ? 8x . 2 C. (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A, ? x ? 3 ? cos? B 分别在曲线 C1 : ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 | AB | 的最小值为 . y ? 4 ? sin ? ?
【解】选 B 由准线方程 x ? ?2 得 ? 【分析】利用化归思想和数形结合法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程. 【解】曲线 C1 的方程是 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 ,曲线 C2 的方程是 x 2 ? y 2 ? 1 ,两圆外离,所以 | AB | 的最小值为

32 ? 42 ?1 ?1 ? 3 .
【答案】3 17. (本小题满分 12 分) 如图,设P是圆 x2 ? y 2 ? 25 上的动点,点D是P在 x 轴上投影, M为 PD 上一点,且 | MD |?

4 | PD | . 5
4 的直线被 C 所截线段的长度. 5

(1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为

【分析】 (1)动点 M 通过点 P 与已知圆相联系,所以把点 P 的坐 标用点 M 的坐标表示, 然 后代入已知圆的方程即可; (2)直线方程和椭圆方程组成方程组,可以求解,也可以利用根与系数关系;结合两点的 距离公式计算. 【解】 (1)设点 M 的坐标是 ( x, y ) ,P 的坐标是 ( x p , y p ) , 因为点D是P在 x 轴上投影, M为 PD 上一点,且 | MD |?

5 4 | PD | ,所以 x p ? x ,且 y p ? y , 4 5

5 2 x2 y 2 ? ?1, ∵P 在圆 x ? y ? 25 上,∴ x ? ( y ) ? 25 ,整理得 4 25 16 x2 y 2 ? ?1. 即 C 的方程是 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程是 y ? ( x ? 3) ,设此直线与 C 的交点为 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , 5 5 2 2 4 x y x 2 ( x ? 3)2 3 ? 41 ? ? 1 得: ? ? 1 ,化简得 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 ,∴ x1 ? 将直线方程 y ? ( x ? 3) 代入 C 的方程 , 5 25 16 25 25 2 3 ? 41 ,所以线段 AB 的长度是: x2 ? 2 41 16 41 41 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? )( x1 ? x2 )2 ? ? 41 ? ,即所截线段的长度是 . 5 25 25 5
2 2
2

陕西文 C. (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A, B 分别在曲线 C1 : ?

? x ? 3 ? cos? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 | AB | 的最小值为 ? y ? sin ?



【分析】利用化归思想和数形结合法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程. 【 解 】 曲 线 C1 的 方 程 是 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 , 曲 线 C2 的 方 程 是 x 2 ? y 2 ? 1 , 两 圆 外 离 , 所 以 | AB | 的 最 小 值 为

32 ? 02 ?1?1 ? 1 .
【答案】1 17.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,4) ,离心率为 . 2 5 a b

(1)求 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

【分析】 (1)由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组,解方程组即可,也可以分步求解; (2)直线方程和椭圆 方程组成方程组,可以求解,也可以利用根与系数关系;然后利用中点坐标公式求解. 【解】 (1)将点(0,4)代入 C 的方程得 又e ?

16 ? 1, b2

∴b=4,

c 3 16 9 a 2 ? b2 9 x2 y 2 a ? 5 C ? 1 ? ? ? ? ?1 得 ,即 , ∴ ,∴ 的方程为 a 5 a 2 25 a2 25 25 16
4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3 ? , 5 5

(2)过点 ? 3,0 ? 且斜率为

设直线与C的交点为A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? ,将直线方程 y ?
2

4 ? x ? 3? 代入C的方程,得 5

3 ? 41 3 ? 41 x2 ? x ? 3? , x2 ? , ? ? 1 ,即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 ,解得 x1 ? 2 2 25 25

?

AB 的中点坐标 x ?

x1 ? x2 3 y ? y2 2 6 ? ,y? 1 ? ? x1 ? x2 ? 6 ? ? ? , 2 2 2 5 5

即所截线段的中点坐标为 ?

?3 6? , ? ? .注:用韦达定理正确求得结果,同样给分. ?2 5?

上海理

[来源:Z.xx.k.Com]

3.设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的一个焦点,则 m= m 9

. 16 . arccos

5.在极坐标系中,直线 ? (2cos ? ? sin ? ) ? 2 与直线 ? cos ? ? 1 的夹角大小为 (结果用反三角函数值表示) 23.(本大题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第二小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)

2 5 5

已知平面上的线段 l 及点 P ,任取 l 上一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离,记作 d ( P, l ) (1)求点 P(1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0 (3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; (2)设 l 是长为 2 的线段,求点的集合 D ? {P d ( P, l ) ? 1} 所表示的图形面积; (3)写出到两条线段 l1 , l2 距离相等的点的集合 ? ? {P d (P, l1 ) ? d (P, l2 )} ,其中 l1 ? AB, l2 ? CD , A, B, C , D 是下 列三组点中的一组. 对于下列三种情形,只需选做一种,满分分别是①2 分,②6 分,③8 分;若选择了多于一种情形,则按照序号较小的 解答计分. ① A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) . ② A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) . ③ A(0,1), B(0,0), C (0,0), D(2,0) . 23、解:⑴ 设 Q( x, x ? 3) 是线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上一点,则
A -1 y 1 B 1

O -1

x

5 9 | PQ |? ( x ? 1)2 ? ( x ? 4)2 ? 2( x ? )2 ? (3 ? x ? 5) ,当 x ? 3 时, d (P, l ) ?| PQ |min ? 5 。 2 2
⑵ 设线段 l 的端点分别为 A, B ,以直线 AB 为 x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系, 则 A(?1,0), B(1,0) ,点集 D 由如下曲线围成

l1 : y ? 1(| x |? 1), l2 : y ? ?1(| x |? 1) , C1 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? ?1), C2 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? 1)
其面积为 S ? 4 ? ? 。

1,0) , ? ? {( x, y) | x ? 0} ⑶ ① 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ? 1, ? 2) 。 ② 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ?

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} {( x, y) | y 2 ? 4 x, ?2 ? y ? 0} {( x, y) | x ? y ?1 ? 0, x ? 1}

③ 选择 A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0) 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} {( x, y) | y ? x,0 ? x ? 1}

{( x, y) | x2 ? 2 y ?1,1 ? x ? 2} {( x, y) | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2}
y C 3 A
y 2.5

y C 3 A
B -1 O 1 x
A D

D -1 O

B 1 x
D -2

B=C 1

2

x

上海文 5.若直线 l 过点(3,4) ,且(1,2)是它的一个法向量,则直线 l 得方程为 22.(本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已知椭圆 C :

x ? 2 y ? 11 ? 0

x2 ? y 2 ? 1 (常数 m ? 1 ) , P 是曲线 C 上的动点, M 是曲线 C 上的右顶点,定点 A 的坐标为 (2, 0) 2 m (1)若 M 与 A 重合,求曲线 C 的 焦点坐标; (2)若 m ? 3 ,求 PA 的最大值与最小值;
(3)若 PA 的最小值为 MA ,求实数 m 的取值范围. 22、解:⑴ m ? 2 ,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1, c ? 4 ? 1 ? 3 4

∴ 左、右焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0) 。



x2 m ? 3 ,椭圆方程为 ? y 2 ? 1,设 P ( x, y ) ,则 9 x2 8 9 1 ? ( x ? )2 ? (?3 ? x ? 3) 9 9 4 2

| PA |2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? ( x ? 2)2 ? 1 ?
9 2 时 | PA |min ? ; 4 2



x?

x ? ?3 时 | PA |max ? 5 。

⑶ 设动点 P ( x, y ) ,则

x 2 m2 ? 1 2m 2 2 4m 2 | PA | ? ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? 1 ? ? (x ? 2 ) ? 2 ? 5(?m ? x ? m) m m2 m ?1 m ?1
2 2 2 2

∵ 当 x ? m 时, | PA | 取最小值,且

m2 ? 1 ? 0 ,∴ m2

2m 2 ? m且m ?1 m2 ? 1

解得 1 ? m ? 1 ? 2 。 四川理 10.在抛物线 y ? x2 ? ax ? 5(a ? 0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 、 x2 ? 2 的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条 直线同时与抛物线和圆 5x2 ? 5 y 2 ? 36 相切,则抛物线顶点的坐标为 (A) (?2, ?9) (B) (0, ?5) (C) (2, ?9) (D) (1, ?6) 答案:A 解析: 令抛物线上横坐标为 x1 ? ?4 、x2 ? 2 的点为 A(?4,11 ? 4a) 、B(2, 2a ? 1) , 则 k AB ? a ? 2 , 由 y? ? 2 x ? a ? a ? 2 , 6 6 ? 故切点为 (?1, ?4 ? a) , 切线方程为 (a ? 2) x ? y ? 6 ? 0 , 该直线又和圆相切, 则d ? , 解得 a ? 4 或 a ? 0 2 5 (a ? 2) ? 1 (舍去) ,则抛物线为 y ? x2 ? 4x ? 5 ? ( x ? 2)2 ? 9 ,定点坐标为 (?2, ?9) ,选 A. 14.双曲线 答案:16

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到双 曲线右焦点的距离是 4,那么 P 到左准线的距离是_____. 64 36

5 4 5 16 2 ? 64 16 ,设 P 到右准线的距离是 d,则 ? ,则 d ? ,则 P 到左准线的距离等于 ? ? 16 . 4 d 4 5 10 5 21. (本小题共 l2 分) 椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. 3 (Ⅰ)当 | CD |? 2 时,求直线 l 的方程; 2 (Ⅱ)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: OP ? OQ 为定值. 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考查平面 解析几何的 思想方法及推理运算能力. 解: (Ⅰ)因椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为 y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2 y2 由已知得 b ? 1 , c ? 1 ,所以 a 2 ? 2 ,则椭圆方程为 x2 ? ?1. 2 直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符. ? 2 y2 ? 1, ?x ? 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,联立 ? 得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kx ? 1 ? 0 , 2 ? y ? kx ? 1, ?
解析:离心率 e ? 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 ? ? 4k 2 ? 4(k 2 ? 2) ? 8(k 2 ? 1) , x1 ? x2 ? ?
| CD |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 2 2(k 2 ? 1) . k2 ? 2

2k 1 , x1 x2 ? ? 2 , k2 ? 2 k ?2

由已知得

2 2( k 2 ? 1) 3 ? 2 ,解得 k ? ? 2 , k2 ? 2 2

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 1 或 y ? ? 2x ? 1 . (Ⅱ)直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符.

1 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ( k ? 0 且 k ? ?1 ) ,所以 P 点的坐标为 (? ,0) . k 2k 1 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,由(Ⅰ)知 x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? ? 2 , k ?2 k ?2 y y 直线 AC 的方程为: y ? 1 ( x ? 1) ,直线 BD 的方程为: y ? 2 ( x ? 1) , x1 ? 1 x2 ? 1 方法一:

? ?y ? ? 联立方程 ? ?y ? ? ?

y1 ( x2 ? 1) y2 ( x1 ? 1) y2 ( x1 ? 1) ? y1 ( x2 ? 1) 设 Q( x0 , y0 ) ,解得 x0 ? , ? y1 ( x2 ? 1) y2 ( x1 ? 1) ? y1 ( x2 ? 1) y2 1 ? ( x ? 1), y2 ( x1 ? 1) x2 ? 1

y1 ( x ? 1), x1 ? 1

1?

不妨设 x1 ? x2 ,则 x0 ?

(kx2 ? 1)( x1 ? 1) ? (kx1 ? 1)( x2 ? 1) 2kx1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? k ( x2 ? x1 ) ? (kx2 ? 1)( x1 ? 1) ? (kx1 ? 1)( x2 ? 1) k ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 2

k 8(k 2 ? 1) ?2k 2k ? ? 2 2 ?4k ? 2k 2(k 2 ? 1) k2 ? 2 ? k ?2 k ?2 ? ? ?k , 8(k 2 ? 1) 2 2(k 2 ? 1) ? 4 2k 2 ? 2 ? ?2 k ?2 k2 ? 2 1 1 因此 Q 点的坐标为 (?k , y0 ) ,又 P(? ,0) ,∴ OP ? OQ ? (?k ) ? (? ) ? 0 ? 1 . k k 故 OP ? OQ 为定值. 方法二: y1 ? ? y ? x ? 1 ( x ? 1), x ? 1 y2 ( x1 ? 1) ? 1 ? 联立方程 ? 消去 y 得 , x ? 1 y1 ( x2 ? 1) ? y ? y2 ( x ? 1), ? x2 ? 1 ?

因为 ?1 ? x1 , x2 ? 1 ,所以

x ? 1 y2 与 异号. y1 x ?1
1?

?2k ?1 ? k 2 ? 2 k 2 ? 2 ? ( k ? 1)2 ?2k ?1 k ?1 1? 2 ? 2 k ?2 k ?2 2 2(1 ? k )(1 ? k ) 2(1 ? k ) k ? 1 又 y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? , ?? 2 ? 2 k ?2 k ? 2 k ?1 k ?1 x ?1 k ?1 x ?1 k ?1 ∴ 与 y1 y2 异号, 与 同号,∴ ,解得 x ? ?k . ? k ?1 x ?1 k ?1 x ?1 k ?1 1 1 因此 Q 点的坐标为 (?k , y0 ) ,又 P(? ,0) ,∴ OP ? OQ ? (?k ) ? (? ) ? 0 ? 1 . k k 故 OP ? OQ 为定值. 四川文
2 2 ( x ? 1)2 2 ? 2 x2 ( x1 ? 1) 2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) x ? 1 2 y2 ( ) ? 2 1 ? ? ? ? x ?1 y1 ( x2 ? 1)2 2 ? 2 x12 ( x2 ? 1) 2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

3.圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 的圆心坐标是 (A)(2,3) (B)(-2,3) (C)(-2,-3) (D)(2,-3) 答案:D 解析:圆方程化为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 ,圆心(2,-3),选 D. 21. (本小题共 l2 分) 3 x2 y 2 过点 C(0,1)的椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0) 、 A(?a,0) ,过点 C 的直线 2 a b l 与椭圆交于另一点 D, 并与 x 轴交于点 P, 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: OP ? OQ 为定值. 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考 的思想方法及推理运算能力. c 3 解: (Ⅰ)由已知得 b ? 1, ? ,解得 a ? 2 ,所以椭圆方程为 a 2 查平面解析几何

x2 ? y2 ? 1 . 4

椭圆的右焦点为 ( 3,0) ,此时直线 l 的方程为 y ? ?
7 x2 ? 8 3x ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ?

3 x ? 1 ,代入椭圆方程得 3

8 3 8 3 1 1 ,? ) , ,代入直线 l 的方程得 y1 ? 1, y2 ? ? ,所以 D ( 7 7 7 7

8 3 1 16 . ? 0)2 ? (? ? 1)2 ? 7 7 7 (Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 1 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1(k ? 0且k ? ) .代入椭圆方程得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kx ? 0 . 2 1 ? 4k 2 ?8k 解得 x1 ? 0, x2 ? 2 ,代入直线 l 的方程得 y1 ? 1, y2 ? 2 , 4k ? 1 4k ? 1 ?8k 1 ? 4k 2 所以 D 点的坐标为 ( 2 , ). 4k ? 1 4k 2 ? 1 ? x ? ?4k , x 1 ? 2k 又直线 AC 的方程为 ? y ? 1 ,又直线 BD 的方程为 y ? ( x ? 2) ,联立得 ? 2 2 ? 4k ? y ? 2k ? 1.

故 | CD |? (

1 因此 Q(?4k , 2k ? 1) ,又 P(? ,0) . k 1 所以 OP ? OQ ? (? ,0)(?4k ,2k ? 1) ? 4 . k 故 OP ? OQ 为定值. 天津理
5.已知双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线 a 2 b2
) .
2

上,则双曲线的方程为(

x y ? ?1 36 108 x2 y 2 ? ?1 C. 108 36
A.

x2 y 2 ? ?1 9 27 x2 y 2 ? ?1 D. 27 9
B.
2 2

【解】解法 1.由题设可得双曲线方程满足 3x ? y ? ? ,即

x2

?

?

y2

?

?1.

4? . 3 3 又抛物线 y 2 ? 24 x 的准线方程为 x ? ?6 ,因为双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线上,则 4? c2 ? ? 36 ,于是 ? ? 27 . 3 x2 y 2 ? ? 1 .故选B. 所以双曲线的方程 9 27 2 2 2 解法 2. 因为抛物线 y ? 24 x 的准线方程为 x ? ?6 , 双曲线的一个焦点在抛物线 y ? 24 x 的准线上, 则 c ? 36 . 由
于是 c ?
2

?

3

?? ?

此排除A,C.

b x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线方程是 y ? x ? 3 x ,则 b ? a ,由此又排除D,故选B. 2 a a b ? x ? t, 13.已知圆 C 的圆心是直线 ? ( t 为参数)与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切,则圆 C 的方 ? y ? 1? t
又双曲线 程为 .

2 【解】 ? x ? 1? ? y ? 2 . 2

把直线 ?

于是圆心的坐标为 ? ?1,0? ;

? x ? t, ( t 为参数)化为普通方程为 y ? x ? 1 ,与 x 轴的交点为 ? ?1,0? . ? y ? 1? t

因为圆 C 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切,所以圆心到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离即为半径 r , 因此 r ?

?1 ? 0 ? 3 12 ? 12

? 2.
2

2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 .

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 为4 . (Ⅰ)求椭圆的方程;

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率 e ? .连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 2 a b 2

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B .已知点 A 的坐标为 ? ?a,0 ? ,点 Q ? 0, y0 ? 在线段 AB 的垂直平分线

上,且 QA ? QB ? 4 .求 y0 的值.

uur uu u r

c 3 2 2 2 2 2 得 3a ? 4c ,再由 a ? b ? c 得 a ? 2b . ? a 2 因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 , 1 所以 ? 2a ? 2b ? 4 ,则 ab ? 2 , 2 ?a ? 2b, x2 ? y 2 ? 1. 解方程组 ? 得 a ? 2, b ? 1 .所以椭圆的方程 4 ?ab ? 2,
【解】 (Ⅰ)由 e ? (Ⅱ)解法 1.由(Ⅰ)得 A ? ?2,0? .设点 B 的坐标为 ? x1 , y1 ? , 由题意直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? 。

? y ? k ? x ? 2? , ? 于是 A, B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 ? y 2 ? 1, ? ? 4 2 2 2 2 由方程组消去 y 并整理得 ?1 ? 4k ? x ? 16k x ? ?16k ? 4 ? ? 0 ,
16k 2 ? 4 因为 x ? ?2 是方程的一个根,则由韦达定理有: ?2 x1 ? , 1 ? 4k 2 4k 2 ? 8k 2 所以 x1 ? ,从而 y1 ? k ? x1 ? 2 ? ? 。 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k ? 8k 2 2k ? AB M M 设线段 的中点为 ,则 的坐标为 ? ? . , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?
下面分情况讨论: (1) 当 k ? 0 时,点 B 的坐标为 ? 2, 0 ? ,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴. 于是 QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? 2, ? y0 ? ,由 QA ? QB ? 4 得 y0 ? ?2 2 . (2) 当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为

uur

uuu r

uur uu u r

y?

2k 1? 8k 2 ? ? ? x ? ? ?. 1 ? 4k 2 k ? 1 ? 4k 2 ?

令 x ? 0 得 y0 ? ?

uur uuu r 6k QA ? ? 2, ? y QB ? ? x1 , y1 ? y0 ? , ,由 , ? ? 0 1 ? 4k 2 uur uu u r ?2 ? 2 ? 8k 2 ? 6k ? 4k 6k ? QA ? QB ? ?2 x1 ? y0 ? y1 ? y0 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k ? 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? 4 16k 4 ? 15k 2 ? 1 14 6k 2 14 .所以 y0 ? ? . ?? ? ? 4 .整理得 7k 2 ? 2 . k ? ? 2 2 2 7 1 ? 4k 5 1 ? 4k

?

?

?

?

2 14 . 5 2 解法 2.若 AB ? x 轴,则 B(2, 0) , QA ? QB ? (2, y0 )(?2, y0 ) ? ?4 ? y0 ? 4, y0 ? ?2 2 ; 若直线 AB 的中垂线斜率存在,设 B( x1 , y1 ) ,
综上, y0 ? ?2 2 或 y0 ? ? 则直线 AB 中垂线方程: y ? 令 x ? 0 ,则 y0 ?

y1 x ?2? x1 ? 2 ? ?? 1 ?x? ?. 2 y1 ? 2 ?

x1 ? 2 x1 ? 2 y1 x12 ? 4 ? y12 , ? ? ? y1 2 2 2 y1

2 x2 4 ? x1 2 ? y 2 ? 1上,则 y1 , ? 4 4 x2 ? 4 ? y12 ?4 y12 ? y12 3 因此 y0 ? 1 ? ? ? y1 . 2 y1 2 y1 2

因为 B( x1 , y1 ) 在椭圆

1 5 2 14 5? x12 y ? 2 ? x ? y ? 2 ? x? 1 1 1 1 4 4 4 2 2 整理得 15x1 . ? 32x1 ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? ? , x1 ? ?2 (舍) 15 Q A ? Q ? B y ? 2 , 0 ?? y ?1 , x0 ? ?

?. 4

?

? 2? 4??? ? 2 4 ? x1 4 14 ? 1 4 ? 15 ? ? 1 6 2 ,所以 y1 ? ? . y1 ? ? 2 15 4 4 15 3 2 14 2 14 于是 y0 ? ? y1 ? ? .综上, y0 ? ?2 2 或 y0 ? ? . 2 5 5
天津文 13.已知双曲线
2 2

2

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦 2 a b


点相同,则双曲线的方程为 【解】

x y ? ?1. 4 12
2 2

由题设可得双曲线方程满足 3x ? y ? ? ,即

x2

?

?

y2

?

?1.

3 4 ? 2 2 于是 c ? ? ? ? .又抛物线 y ? 16 x 的焦点为 ? 4, 0 ? ,则 c ? 4 .与 3 3 4? x2 y 2 2 c ? ? 16 ,于是 ? ? 12 .所以双曲线的方程 ? ?1. 3 4 12 14 . .已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切,则圆 C 的方程

?





2 【解】 ? x ? 1? ? y ? 2 . 2

直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 轴的交点为 ? ?1,0? . 于是圆心的坐标为 ? ?1,0? ; 因为圆 C 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切,所以圆心到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离即为半径 r , 因此 r ?

?1 ? 0 ? 3 12 ? 12

? 2.
2

2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 .

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率 e ? .连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B .已知点 A 的坐标为 ? ?a,0 ? .

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5 uur uu u r (ⅱ)点 Q ? 0, y0 ? 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 .求 y0 的值.
(ⅰ) 若 AB ?

c 3 2 2 2 2 2 得 3a ? 4c ,再由 a ? b ? c 得 a ? 2b . ? a 2 因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 , 1 所以 ? 2a ? 2b ? 4 ,则 ab ? 2 , 2 ?a ? 2b, x2 ? y 2 ? 1. 解方程组 ? 得 a ? 2, b ? 1 .所以椭圆的方程 4 ?ab ? 2,
【解】 (Ⅰ)由 e ? (Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)得 A ? ?2,0? .设点 B 的坐标为 ? x1 , y1 ? , 由题意直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? 。

? y ? k ? x ? 2? , ? 于是 A, B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 由方程组消去 y 并整理得 ? y 2 ? 1, ? ? 4 2 2 2 2 ?1 ? 4k ? x ? 16k x ? ?16k ? 4 ? ? 0 ,因为 x ? ?2 是方程的一个根,则由韦达定理有
?2 x1 ?
4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 x ? ,所以 ,从而 y1 ? k ? x1 ? 2 ? ? . 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k
2

2 ? 4 2 4 1? k 2 4 2 2 ? 8k 2 ? ? 4k ? 4 1? k 2 AB ? ,由 ,得 , ? AB ? ? ?2 ? ?? ? 2 2 ? 2? 2 5 5 1 ? 4 k 1 ? 4 k 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? ? ? ?

整理得

32k 4 ? 9k 2 ? 23 ? 0 , k 2 ? 1 32k 2 ? 23 ? 0 ,所以 k ? ?1 .

?

??

?

所以直线 l 的倾斜角为

? 3? 或 . 4 4
? 8k 2 2k ? . , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?

(ⅱ)线段 AB 的中点为 M ,则 M 的坐标为 ? ? 下面分情况讨论:

(1) 当 k ? 0 时,点 B 的坐标为 ? 2, 0 ? ,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴.

于是 QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? 2, ? y0 ? ,由 QA ? QB ? 4 得 y0 ? ?2 2 . (2) 当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为

uur

uuu r

uur uu u r

6k 2k 1? 8k 2 ? .令 x ? 0 得 y0 ? ? ? ? x ? ? 2 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k k ? 1 ? 4k ? uur uuu r 由 QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? x1 , y1 ? y0 ? ,

y?

uur uu u r ?2 ? 2 ? 8k 2 ? 6k ? 4k 6k ? QA ? QB ? ?2 x1 ? y0 ? y1 ? y0 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k ? 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ?

?

4 ?16k 4 ? 15k 2 ? 1?

?1 ? 4k ?

2 2

? 4 .整理得 7k 2 ? 2 . k ? ?
2 14 . 5

14 6k 2 14 .所以 y0 ? ? . ?? 2 7 1 ? 4k 5

综上, y0 ? ?2 2 或 y0 ? ?

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2, 浙江理 5.已知双曲线 6 3
的距离为 A. C.

点 M 在双曲线上且 M F1 ? x 轴,则 F1 到直线 F2M C

3 6 5
6 5

B. D.

5 6 6

5 6 2 2 7.已知圆 C: x ? y ? 2mx ? 4 y ? 2m 2 ? 3m ? 0 ,若过点(1, ? 2 )可作圆的切线有两条,则实数 m 的取值范围
是 A. ?? ?,?1? ? ? ,?? ? C

?3 ?2

? ?

B. ( ? 1 ,4)

C. ? ,4 ?

?3 ?2

? ?

D. ? ? 1, ?

? ?

3? 2?

10. P, Q 是两个定点,点 M 为平面内的动点,且

MP MQ

,点 M 的轨迹 ? ? (? ? 0且? ?1)

围成的平面区域的面积为 S ,设 S ? f (? ) ( ? ? 0 且 ? ? 1 )则以下判断正确的是

( 1, ? ?) A. f (? ) 在 (0,1) 上是增函数,在 上是减函数 ( 1, ? ?) B. f (? ) 在 (0,1) 上是减函数,在 上是减函数 ( 1, ? ?) C. f (? ) 在 (0,1) 上是增函数,在 上是增函数 ( 1, ? ?) D. f (? ) 在 (0,1) 上是减函数,在 上是增函数
A 21. (本小题满分 15 分) 如图,P 是抛物线 C:y=

1 2 x 上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q. 2

(Ⅰ)若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程;

(Ⅱ)若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T,试求 取值范围.

| ST | | ST | 的 ? | SP | | SQ |

解: (Ⅰ)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意 x1≠0,y1>0,y2>0. 由 y=

1 2 x, 2



得 y'=x.

∴过点 P 的切线的斜率 k 切= x1, ∴直线 l 的斜率 kl=-

1 1 =- , k 切 x1
1 2 1 x1 =- (x-x1),??????????4 分 2 x1
(第 21 题图)

∴直线 l 的方程为 y- 方法一:

联立①②消去 y,得 x2+

2 x-x12-2=0. x1

∵M 是 PQ 的中点

x1 ? x 2 1 1 1 1 =- , y0= x12- (x0-x1). ∴y0=x02+ +1(x0≠0), 2 2 2 x1 x1 2 x0 1 ∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 2 +1(x≠0). ??????????7 分 2x
∴ x0= 方法二: 由 y1=

x ? x2 1 2 1 1 1 1 x1 ,y2= x22,x0= 1 ,得 y1-y2= x12- x22= (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2), 2 2 2 2 2 2

则 x0=

y1 ? y 2 1 1 1 =kl=- ,∴x1=- ,将上式代入②并整理,得 y0=x02+ +1(x0≠0), 2 x0 x1 x1 ? x2 2 x0
1 +1(x≠0). ??????????7 分 2x 2

∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+

(Ⅱ)设直线 l:y=kx+b,依题意 k≠0,b≠0,则 T(0,b). 分别过 P、Q 作 PP'⊥x 轴,QQ'⊥y 轴,垂足分别为 P' 、Q' ,则

| ST | | ST | | OT | | OT | |b| |b| ? ? . ? ? ? | SP | | SQ | | P?P | | Q?Q | | y1 | | y 2 |
y= 由 y=kx+b 则 y1+y2=2(k2+b), y1y2=b2. ??????????12 分

1 2 x 2
消去 x,得 y2-2(k2+b)y +b2=0. ③

方法一: ∴

| ST | | ST | 1 1 )≥2|b| ? ? |b|( ? | SP | | SQ | y1 y 2

1 1 =2|b| =2. b2 y1 y 2

∵y1、y2 可取一切不相等的正数, ∴

| ST | | ST | 的取值范围是(2,+ ? ). ??????????15 分 ? | SP | | SQ |

方法二: ∴

y ? y2 2(k 2 ? b) | ST | | ST | =|b| 1 =|b| . ? | SP | | SQ | y1 y 2 b2

| ST | | ST | 2(k 2 ? b) 2(k 2 ? b) 2k 2 ? 当 b>0 时, =b = = +2>2; b b | SP | | SQ | b2
当 b<0 时,

2(k 2 ? b) 2(k 2 ? b) | ST | | ST | ? =-b = . ?b | SP | | SQ | b2

又由方程 ③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0, 于是 k2+2b>0,即 k2>-2b. 所以

2k 2 | ST | | ST | 2(?2b ? b) ? > =2.∵当 b>0 时, 可取一切正数, ?b b | SP | | SQ |



| ST | | ST | ? 的取值范围是(2,+ ? ). ??????????15 分 | SP | | SQ |

方法三: 由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=KTP, 即

y 2 ? b y1 ? b = .则 x1y2-bx1=x2y1-bx2,即 b(x2 - x1)=(x2y1-x1y2). x2 x1
x2 ? 1 2 1 2 x1 ? x1 ? x 2 1 2 2 =- x1x2. 2 x 2 ? x1

于是 b=

1 1 | ? x1 x 2 | | ? x1 x 2 | x x | ST | | ST | | b | |b| 2 2 ? ∴ = = + = | 2 | + | 1 | ≥2. ? | SP | | SQ | | y1 | | y 2 | x1 x2 1 1
∵|

x2 | 可取一切不等于 1 的正数, x1



| ST | | ST | 的取值范围是(2,+ ? ). ??????????15 分 ? | SP | | SQ |

浙江文(9)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 y2 2 ? ? 1 C : x ? ? 1 有公共的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 ( a > b > 0 )与双曲线 2 a 2 b2 4 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 13 1 A.a2 = B.a2=13 C.b2= D.b2=2 2 2

C (12)若直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2 x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数 m =_____________________1 (22) (本小题满分 15 分)如图,设 P 是抛物线 C1 : x 2 ? y 上的动点。 过 点 P 做 圆

C2 : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的两条切线,交直线 l : y ? ?3 于 A, B 两点。
(Ⅰ )求 C2 的圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离。 (Ⅱ )是否存在点 P ,使线段 AB 被抛物线 C1 在点 P 处得切线平分, 的坐标;若不存在,请说明理由。 (22)本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、直线与圆的位置关 几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ)解:因为抛物线 C1 的准线方程为: y ? ? 所以圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离为: | ? 若存在, 求出点 P 系, 同时考查解析

1 4

1 11 ? (?3) |? . 4 4
线 l 于点 D。

2 (Ⅱ)解:设点 P 的坐标为 ( x0 , x0 ) ,抛物线 C1 在点 P 处的切线交直

再设 A,B,D 的横坐标分别为 xA , xB , xC
2 过点 P( x0 , x0 ) 的抛物线 C1 的切线方程为: 2 y ? x0 ? 2x0 ( x ? x0 )

(1)

当 x0 ? 1 时,过点 P(1,1)与圆 C2 的切线 PA 为: y ? 1 ? 可得 x A ? ?

15 ( x ? 1) 8

17 , xB ? 1, xD ? ?1, x A ? xB ? 2 xD 15 15 ( x ? 1) 8

当 x0 ? ?1 时,过点 P(—1,1)与圆 C2 的切线 PA 为: y ? 1 ? 可得 x A ? ?1, x B ?

17 , x D ? 1, x A ? x B ? 2 x D 15

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17 2 , xB ? 1, xD ? ?1, x A ? xB ? 2 xD ,所以 x0 ?1 ? 0 15 设切线 PA,PB 的斜率为 k1 , k2 ,则 xA ? ?
2 PA : y ? x0 ? k1 ( x ? x0 ) 2 0

(2)

(3) PB : y ? x ? k2 ( x ? x0 ) 将 y ? ?3 分别代入(1) , (2 ) , (3)得 2 x ?3 x2 ? 3 x2 ? 3 xD ? 0 ( x0 ? 0); xA ? x0 ? 0 ; xB ? x0 ? ? 0 (k1 , k2 ? 0) 2 x0 k1 k1 1 1 2 从而 xA ? xB ? 2 x0 ? ( x0 ? 3)( ? ). k1 k2



2 | ? x0 k1 ? x0 ?3|

k ?1
2 1

2 2 2 ? 1 ,即 ( x0 ? 1)k12 ? 2( x0 ? 3) x0 k1 ? ( x0 ? 3)2 ? 1 ? 0

2 2 2 2 同理, ( x0 ? 1)k2 ? 2( x0 ? 3) x0 k2 ? ( x0 ? 3)2 ? 1 ? 0 2 所 以 k1 , k2 是 方 程 ( x0 ? 1k )2 ?

2 x2( ? 0

0

x 3 ) k ?

2 0

x? (

2

的) ? 两 个 ? 3 1 不 0相 等 的 根 , 从 而

k1 ? k2 ?

2 2 2 2(3 ? x0 ) x0 (3 ? x0 ) ?1 , k ? k ? . 1 2 2 2 x0 ? 1 x0 ? 1

2 因为 x A ? x B ? 2 x0 ,所以 2 x0 ? (3 ? x0 )(

x2 ? 3 1 1 1 1 1 ? )? 0 ,即 ? ? . k1 k2 x0 k1 k2 x0

从而

2 2(3 ? x0 ) x0 1 4 ? ,进而得 x0 ? 8, x0 ? ? 4 8 2 2 x ( x0 ? 3) ? 1 0

综上所述,存在点 P 满足题意,点 P 的坐标为 (? 4 8, 2 2). 重庆理(8)在圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面 积为 B (A) 5 2 (B) 10 2
2

(C) 15 2

(D) 20 2

(15)设圆 C 位于抛物线 y ? 2 x 与直线 x ? 3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 C 的半径能取到的最大值为 __________ 6 ? 1 (20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 如题(20)图,椭圆的中心为原点 O ,离心率 e ? (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;

? ,一条准线的方程为 x ? ? ? . ?
? ,问: ?

(Ⅱ) 设动点 P 满足: OP ? OM ? ?ON ,其中 M , N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? 是否存在两个定点 F? , F? ,使得 PF ? , F? 的坐标;若不存在,说明理由. ? ? PF ? 为定值?若存在,求 F 20. (本题 12 分)
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uu u r

uuur

uuu r

c 2 a2 ? , ? 2 2, a 2 c 解得 a ? 2, c ? 2, b2 ? a2 ? c2 ? 2 ,故椭圆的
解: (I)由 e ?

x2 y2 ? ? 1. 标准方程为 4 2 (II)设 P( x, y), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由 OP ? OM ? 2ON 得 ( x, y) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ),

即x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
因为点 M,N 在椭圆 x ? 2 y ? 4 上,所以 x1 ? 2 y1 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4 ,
2 2

2

2

2

2

2 2 2 故 x2 ? 2 y2 ? ( x1 ? 4x2 ? 4x1 x2 ) ? 2( y12 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 )

? 20 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ). 设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知 yy 1 kOM ? kON ? 1 2 ? ? , 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, 所以 x2 ? 2 y2 ? 20. x1 x2 2
所以 P 点是椭圆

x2 (2 5)2

?

y2 ( 10)2

? 1上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2,则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定

值,又因 c ?

(2 5) 2 ? ( 10) 2 ? 10 ,因此两焦点的坐标为

F1 (? 10,0), F2 ( 10,0).
重庆文 9.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A, B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取 值范围为 B A. (0, 2) B. (1, 2) C. (

2 ,1) 2

D. ( 2 , ??)

13.过原点的直线与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 相交所得弦的长为 2,则该直线的方程为

2x ? y ? 0
21.如题(21)图,椭圆的中心为原点 0,离心率 e= (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足: OP ? OM ? 2ON ,其中 M、N 是椭圆上的 存在定点 F, 为定值; 若存

2 ,一条准线的方程是 x ? 2 2 2

1 点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? ,问:是否 2 使得 PF 与点 P 到直线 l: x ? 2 10 的距离之比
在,求 F 的坐标,若不存在,说明理由。

题(21)图

c 2 a ? , ? 2 2, a 2 c 解得 a ? 2, c ? 2, b2 ? a2 ? c2 ? 2 ,故椭圆的标准方程为
解: (I)由 e ?

2

x2 y2 ? ? 1. 4 2 (II)设 P( x, y), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由

OP ? OM ? 2ON 得 ( x, y) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ),

即x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
因为点 M,N 在椭圆 x ? 2 y ? 4 上,所以
2 2

2 2 x12 ? 2 y12 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4, 2 2 2 故 x2 ? 2 y2 ? ( x1 ? 4x2 ? 4x1 x2 ) ? 2( y12 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 )

? 20 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).
设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知

kOM ? kON ?

y1 y2 1 ? ? , 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, 所以 x2 ? 2 y2 ? 20. x1 x2 2

所以 P 点是椭圆

x2 (2 5)2

?

y2 ( 10)2

? 1上的点,该椭圆的右焦点为 F ( 10,0) ,离心率 e ?

2 , 直线l : x ? 2 10 2

是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点 F ( 10,0) ,使得|PF|与 P 点到直线 l 的距离之比为定值。


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