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导数培优高考题及解答

时间:2012-10-26


导数高考题
1. 已知函数 f ( x ) ? 解: f ? ( x ) ?
2x ? b ( x ? 1)
2
2

,求导函数 f ? ( x ) ,并确定 f ( x ) 的单调区间.
? ?2 x ? 2b ? 2 ( x ? 1)
3

2 ( x ? 1) ? ( 2

x ? b ) ?2 ( x ? 1) ( x ? 1)
4

? ?

2[ x ? ( b ? 1)] ( x ? 1)
3



令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? b ? 1 . 当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ( x ) ?
2 x ?1

,所以函数 f ( x ) 在 ( ? ? , 和 (1, ? ) 上单调递减. 1) ?

当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ? ( x ) 的变化情况如下表:
x
f ?( x ) ( ? ? , b ? 1)

b ?1

( b ? 1, 1)

(1, ? ) ?

?
(?? , 1)

0
(1, b ? 1)

?

?
( b ? 1, ? ) ?

当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ? ( x ) 的变化情况如下表:
x
f ?( x )

b ?1

?

?

0

?

所以, b ? 2 时,函数 f ( x ) 在 ( ? ? , b ? 1) 和 (1, ? ) 上单调递减,在 ( b ? 1, 上单调递增, ? 1)
b ? 2 时,函数 f ( x ) 在 ( ? ? , 和 (1, ? ) 上单调递减. 1) ? b ? 2 时,函数 f ( x ) 在 ( ? ? , 和 ( b ? 1, ? ) 上单调递减,在 (1, b ? 1) 上单调递增. 1) ?

点评:本组题旨在强化对函数定义域的关注,以及求导运算 和分类讨论的能力与技巧。
2 2 x 2. 已知函数 f ( x ) ? ( x ? a x ? 2 a ? 3 a ) e ( x ? R ), 其中 a ? R .

当a ?

2 3

时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

解: f ' ( x ) ? x ? ( a ? 2 ) x ? 2 a
2

?

2

? 4a e .
x

?

令 f ' ( x ) ? 0,解得 x ? ? 2 a ,或 x ? a ? 2 .由 a ?

2 3

知,? 2 a ? a ? 2 .

以下分两种情况讨论. (1) 若 a >
x
2 3

,则 ? 2 a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
? 2a

?? ? , 2 a ? ?
+ ↗

? ? 2 a, a ? 2 ?
— ↘

a?2

? a ? 2, ? ? ?
+ ↗

f '(x) f (x)

0 极 大值

0 极 小值

所以 f ( x ) 在 ( ?? , 2 a ),a ? 2, ? )内是增函数,在 ? ( ?
函数 f ( x ) 在 x ? ? 2 a 处取得极大值

( ? 2 a , a ? 2 )内是减函数
?2 a

.

f ( ? 2 a ),且 f ( ? 2 a ) ? 3 ae

.

函数 f ( x ) 在 x ? a ? 2 处取得极小值

f ( a ? 2 ),且 f ( a ? 2 ) ? ( 4 ? 3 a ) e

a?2

.

(2) 若 a <
x

2 3

,则 ? 2 a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
a?2

?? ? , a ? 2 ?
+ ↗

? a ? 2, 2 a ? ?
— ↘

? 2a

?? 2 a , ? ? ?
+ ↗

f '(x) f (x)

0 极 大值

0 极 小值

所以 f ( x ) 在 ( ?? , a ? 2 ),? 2 a , ? )内是增函数,在 ( ?
函数 f ( x ) 在 x ? a ? 2 处取得极大值 函数 f ( x ) 在 x ? ? 2 a 处取得极小值

( a ? 2, 2 a )内是减函数。 ?
a?2

f ( a ? 2 ),且 f ( a ? 2 ) ? ( 4 ? 3 a ) e f ( ? 2 a ),且 f ( ? 2 a ) ? 3 ae
?2 a

.

.

点评:此题计算量略增,旨在帮助学生进一步提升对此类问 题的认识和处理能力.
3 2 3. 已知函数 f ( x ) ? x ? m x ? n x ? 2 的图象过点 ( ? 1, ? 6 ) ,且函数 g ( x ) ? f ?( x ) ? 6 x 的图

象关于 y 轴对称.(Ⅰ)求 m、 n 的值及函数 y ? f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 0 ,求函数
y ? f ( x ) 在区间 ( a ? 1, a ? 1) 内的极值.

解: (Ⅰ)由函数 f ( x ) 图象过点 ( ? 1, ? 6 ) ,得 m ? n ? ? 3 ,……… ① 由
f ( x ) ? x ? m x ? nx ? 2
3 2 2





2 f ?( x ) ? 3 x ? 2 m x ? n





g ( x ) ? f ?( x ) ? 6 x ? 3 x ? (2 m ? 6) x ? n ;

而 g ( x ) 图象关于 y 轴对称,所以-

2m ? 6 2?3

? 0 ,所以 m ? ? 3 ,

2 代入①得 n ? 0 .于是 f ? ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 3 x ( x ? 2) .

由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 2 或 x ? 0 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , 0 ) , (2, ? ? ) ; 由 f ?( x ) ? 0 得 0 ? x ? 2 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, 2 ) . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ?( x ) ? 3 x ( x ? 2) ,令 f ?( x ) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2 . 当 x 变化时, f ? ( x ) 、 f ( x ) 的变化情况如下表:

x

(?? , 0)

0

(0, 2 )

2

(2, ? ? )

f'(x) f(x)

+ 增

0 极大值

- 减

0 极小值

+ 增

由此可得:当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 ( a ? 1, a ? 1) 内有极大值 f (0) ? ? 2 ,无极小值; 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 ( a ? 1, a ? 1) 内无极值; 当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 ( a ? 1, a ? 1) 内有极小值 f (2) ? ? 6 ,无极大值; 当 a ? 3 时, f ( x ) 在 ( a ? 1, a ? 1) 内无极值. 综上所述,当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 有极大值 ? 2 ,无极小值;当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 有极小值
? 6 ,无极大值;当 a ? 1 或 a ? 3 时, f ( x ) 无极值.

点评:本题考查了对导函数零点的分类讨论,但讨论的直接 对象变为了函数自变量的研究范围,故此题思路不难,旨在 帮助学生加深对此类问题本质的认识,并提升其详尽分类, 正确计算的水平.
4. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 bx ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5 x ? 10 .
3 2

(I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II) 设函数 g ( x ) ? f ( x ) ?
1 3 m x ,.g ( x ) 的极值存在, 若 ..... 求实数 m 的取值范围以及函数 g ( x )

取得极值时对应的自变量 x 的值. 解: (I)由已知,切点为(2,0),故有 f ( 2 ) ? 0 ,即 4 b ? c ? 3 ? 0 ……①

2 又 f ? ( x ) ? 3 x ? 4 b x ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8 b ? c ? 5 得 8 b ? c ? 7 ? 0 ……②

联立①②,解得 b ? ? 1, c ? 1 .所以函数的解析式为 f ( x ) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2
3 2 (II)因为 g ( x ) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?

1 3

mx

2 令 g ?( x ) ? 3 x ? 4 x ? 1 ?

1 3

m ?0

2 当函数有极值时,方程 3 x ? 4 x ? 1 ? m ? 0 有实数解.则 ? ? 4(1 ? m ) ? 0 ,得 m ? 1 . .......... .... 3

1

①当 m ? 1 时, g ?( x ) ? 0 有实数 x ?

2 3

,在 x ?

2 3

左右两侧均有 g ?( x ) ? 0 ,故 g ( x ) 无极值

②当 m ? 1 时,g ?( x ) ? 0 有两个实数根 x1 ? 情况如下表:
x
g ?( x )

1 3

(2 ?

1 ? m ), x 2 ?

1 3

(2 ?

1 ? m ), g ? ( x ), g ( x )

( ? ? , x1 )

x1

( x1 , x 2 )

x2

( x2 ? ? )

+ ↗

0 极大值



0 极小值

+ ↗

g ( x)

所以在 m ? ( ? ? ,1) 时,函数 g ( x ) 有极值; 当x ?
1 3 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x ) 有极大值;当 x ? 1 3 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x ) 有极小值;

点评: (1)本题第一问是求曲线切线的逆向设问,解题过程 进一步强化了对切点的需求. (2)本题第二问是函数求极值的逆向设问,解题方法 本质仍然是求含参数的函数的极值,难度不大.
5. 已知函数 f ( x ) ? ln ( a x ? 1) ? (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围.
ax ? a ? 2
2

1? x 1? x

, x ? 0 ,其中 a ? 0

解:(Ⅱ)∵ x ? 0, a ? 0, ∴ ax ? 1 ? 0.

f '( x ) ?

( a x ? 1)(1 ? x )

2

,

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ? ? ) 上 , f '( x ) ? 0, ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (0, ? ? ).
2?a a 2-a a 2-a a 2?a a

②当 0 ? a ? 2 时,由 f '( x ) ? 0 解 得 x ?

,由 f '( x ) ? 0 解 得 x ?

,

∴ f ( x )的 单 调 减 区 间 为 ( 0 ,

), 单 调 增 区 间 为 (

, ?) . ?

(Ⅲ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x )的 最 小 值 为 f (0) ? 1; 所以 a ? 2 .
2?a a

当 0 ? a ? 2 时 , 由 ( Ⅱ ) ② 知 , f (x) 在 x ?

处取得最小值

f(

2?a a

) ? f (0 ) ? 1,

所以, 0 ? a ? 2 不成立. 综上可知,若 f ( x ) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ? ? ).

点评: (1) 本题第三问是求函数最值的逆向问题,解题时根据单 调性研究的分类标准,将验证参数取值范围是否成立, 是计算量较小,但不容易发现的方法. (2) 本题若用一般方法, 则可将问题转化为 f(x)≥1 的恒成 立问题,此种解法的计算量将有所加大.
2 6. 已知 a 是实数,函数 f ? x ? ? 2 ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点, ... ....

求 a 的取值范围. 解:若 a ? 0 , f ( x ) ? 2 x ? 3 ,显然函数在 ?? 1,1? 上没有零点. 若 a ? 0 ,令 ? ? 4 ? 8 a ? 3 ? a ? ? 8 a ? 24 a ? 4 ? 0 ,
2

解得 a ?

?3 ? 2

7

①当 a ?

?3 ? 2

7

时,

y ? f

? x ? 恰有一个零点在 ? ? 1,1 ? 上;

②当 f ? ? 1 ? ? f ?1 ? ? ? a ? 1 ?? a ? 5 ? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, y ? f ? x ? 在 ? ? 1,1 ? 上也恰 有一个零点. ③当 y ? f ? x ? 在 ? ? 1,1 ? 上有两个零点时, 则
a ?0 ? ? 2 ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 或 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1 ? ? 0 ? ? f ? ? 1? ? 0 ?
a ?0 ? ? 2 ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1 ? ? 0 ? ? f ? ? 1? ? 0 ?

解得 a ? 5 或 a ?

?3 ? 2

5

,综上,所求实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 a ?

?3 ? 2

5

.

点评:本题以二次函数为载体,设定在区间范围上的零点存 在性问题,解答时依零点个数进行分类讨论,涉及到 含参二次方程根的分布研究、 零点存在性定理. 是原型 问题和重点题.
7. 已知二次函数 y ? g ( x ) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x ) 在 x =-1 处取 得最小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?
g (x) x

(1)若曲线 y ? f ( x ) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k ( k ? R ) 如何取值时,函数 y ? f ( x ) ? kx 存在零点,并求出零点. .... 解: (1)设 g ? x ? ? a x ? b x ? c ,则 g ? ? x ? ? 2 a x ? b ;
2

又 g ? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ? 1 取极小值,∴ ?
b 2

? 2 a ? 2 ,解得 a ? 1
? ? 1 ,解得 b ? 2

?g

?

?1 ? ? a ?b ? c 1 ?

2 ?

? c

? ,? m 1 解得 c ? m ; 所以 f

?x? ?

g ?x? x

? x?

m x

?2,



P ? xo , yo ?
2





PQ

2

? x0 ? ? y0 ? 2 ?
2

2

2 ? m m ? 2 2 ? x0 ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2 m ? 2 x0 x0 ? ?
2

? 2 2 m ? 2 ? 4 ,解得 m ? ?
2

2 2



w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ? 1 ? k ? x ? 当 k ? 1 时,方程 ? * ? 有一解 x ? ?

m x m 2

? 2 ? 0 ,得 ? 1 ? k ? x ? 2 x ? m ? 0 ? * ?
2

,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ?

m 2



当 k ? 1 时,方程 ? * ? 有二解 ? ? ? 4 ? 4 m ? 1 ? k ? ? 0 , 若 m ? 0 ,k ? 1 ?
1 m 1 m

,y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?

?2 ?

4 ? 4 m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? 4 ? 4 m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ?

?

1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1



若 m ? 0 ,k ? 1 ?

,y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?

?2 ?

?



当 k ? 1 时,方程 ? * ? 有一解 ? ? ? 4 ? 4 m ?1 ? k ? ? 0 ,即 k ? 1 ?
x? 1 k ?1

1 m

, y ? f ? x ? ? kx 有一零点

点评: (1) 本题第一问是涉及均值定理的最值问题,题目计算量 中等,思维难度不大; (2) 第二问涉及到的函数为二次函数,故而用含参二次方 程的根系关系研究根的分布问题, 是本部分的原型问题 和重点问题.


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