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2011上海高考文科数学试题及答案


2011 年上海市高考数学试题(文科)
一、填空题(56 分) 1、若全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 1} ,则 CU A ? 2、 lim(1 ?
n ??



3n )? n?3

。 。

3、若函数 f ( x) ? 2 x ? 1 的反函数为 f

?1 ( x) ,则 f ?1 (?2) ? 4、函数 y ? 2sin x ? cos x 的最大值为 。

3

3

5、若直线 l 过点 (3, 4) ,且 (1, 2) 是它的一个法向量,则 l 的方程为 6、不等式


2

1 ? 1 的解为 x



7、若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为 3, 3, 2 的三角形,则该圆锥的侧面积是



8、在相距 2 千米的 A 、 B 两点处测量目标 C ,若 ?CAB ? 750 , ?CBA ? 600 ,则 A 、 C 两点之间的 距离是 千米。

9、若变量 x 、 y 满足条件 ?

? 3x ? y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为 ?x ? 3y ? 5 ? 0



10、课题组进行城市农空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、 乙、 丙三组,对应城市数分别为 4 、

12 、 8 。若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数为
11、行列式

。 。

a b ( a, b, c, d ?{?1,1, 2} )的所有可能值中,最大的是 c d

12、在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点, AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD ? 13、随机抽取 9 个同学中,至少有 2 个同学在同一月出生的概率是 结果精确到 0.001 ) 。

。 (默认每月天数相同,

14、 设 g ( x) 是定义在 R 上、 以 1 为周期的函数, 若 f ( x) ? x ? g ( x) 在 [0,1] 上的值域为 [?2,5] , 则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为 二、选择题(20 分) 15、下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数为( A ) 。

y?x

?2

B

y?x

?1

C

y?x

2

D

y?x

1 3

16、若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是(



A

a 2 ? b2 ? 2ab

B

a ? b ? 2 ab

C

1 1 2 ? ? a b ab
) D

D

b a ? ?2 a b

17、若三角方程 sin x ? 0 与 sin 2 x ? 0 的解集分别为 E 和 F ,则( A

E?F

B

E? F

C

E?F

E

F ??

M的 18、 设 A1 ,A2 ,A3 ,A4 是平面上给定的 4 个不同的点, 则使 MA 1 ? MA 2 ? MA 3 ? MA 4 ? 0 成立的点
个数为( A 0 ) B 1 C 2 D 4

三、解答题(74 分) 19、 (12 分)已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z2 的虚部为 2 , z1 ? z2 是实 数,求 z2 。

20、 (14 分)已知 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA 1 ? 2 。求: ⑴ 异面直线 BD 与 AB1 所成的角的大小(结果用反三角函数表示) ;
B A D

⑵ 四面体 AB1D1C 的体积。

C

A1 B1

D1 C1

21、 (14 分)已知函数 f ( x) ? a ? 2x ? b ? 3x ,其中常数 a , b 满足 ab ? 0 。 ⑴ 若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; ⑵ 若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时 x 折取值范围。

22、 (16 分)已知椭圆 C : 坐标为 (2, 0) 。

x2 ? y 2 ? 1 (常数 m ? 1 ) ,点 P 是 C 上的动点, M 是右顶点,定点 A 的 2 m

⑴ 若 M 与 A 重合,求 C 的焦点坐标; ⑵ 若 m ? 3 ,求 | PA | 的最大值与最小值; ⑶ 若 | PA | 的最小值为 | MA | ,求 m 的取值范围。

23、 (18 分)已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N ) ,将集合
*

{x | x ? an , n ? N *} {x | x ? bn , n ? N *} 中的元素从小到大依次排列,构成数列 c1 , c2 , c3 ,
⑴ 求三个最小的数,使它们既是数列 {an } 中的项,又是数列 {bn } 中的项; ⑵ c1 , c2 , c3 ,

, cn ,



, c40 中有多少项不是数列 {bn } 中的项?说明理由;
*

⑶ 求数列 {cn } 的前 4 n 项和 S 4 n ( n ? N ) 。

2011 年上海高考数学试题(文科)答案
一、填空题

3 ;4、 5 ;5、 x ? 2 y ? 11 ? 0 ;6、 x ? 0 或 x ? 1 ;7、 3? ; 2 5 15 8、 6 ;9、 ;10、 2 ;11、 6 ;12、 ;13、 0.985 ;14、 [?2, 7] 。 2 2
1、 {x | x ? 1} ;2、 ?2 ;3、 ? 二、选择题 15、 A ;16、 D ;17、 A ;18、 B 。 三、解答题 19、解: ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ? z1 ? 2 ? i ………………(4 分) 设 z2 ? a ? 2i, a ? R ,则 z1 z2 ? (2 ? i)(a ? 2i) ? (2a ? 2) ? (4 ? a)i ,………………(12 分) ∵ z1 z2 ? R ,∴ z2 ? 4 ? 2i ………………(12 分)

20、解:⑴ 连 BD, AB1 , B1D1 , AD1 ,∵

B D/ / B ? B 1 D 1 , A1

, A 1D
A D

∴ 异面直线 BD 与 AB1 所成角为 ?AB1D1 ,记 ?AB1D1 ? ? ,
B

AB ? B1D ? AD 10 cos ? ? ? 2 AB1 ? B1D1 10
2 1 2 1 2 1

C



异面直线 BD 与 AB1 所成角为 arccos

10 。 10
B1

A1

D1 C1

⑵ 连 AC, CB1 , CD1 ,则所求四面体的体积

1 2 V ? VABCD ? A1B1C1D1 ? 4 ? VC ? B1C1D1 ? 2 ? 4 ? ? 。 3 3
21、解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 1 ? 2 2 ) ? b(3 1 ? 3 2 )
x x x x

∵ 2 1 ? 2 2 , a ? 0 ? a(2 1 ? 2 2 ) ? 0 , 3 1 ? 3 2 , b ? 0 ? b(3 1 ? 3 2 ) ? 0 ,
x x x x x x x x

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时,同理,函数 f ( x ) 在 R 上是减函数。 ⑵

f (x ? 1 ) ? f x( ?)a ?
3 2
x

x

? 2 b ? 2x ?3

0

当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ?

a a ,则 x ? log1.5 ( ? ) ; 2b 2b

当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ?
x

3 2

a a ,则 x ? log1.5 ( ? ) 。 2b 2b

x2 ? y 2 ? 1, c ? 4 ? 1 ? 3 22、解:⑴ m ? 2 ,椭圆方程为 4
∴ 左、右焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0) 。



m ? 3 ,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1,设 P( x, y) ,则 9 x2 8 9 1 ? ( x ? )2 ? (?3 ? x ? 3) 9 9 4 2

| PA |2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? ( x ? 2)2 ? 1 ?
9 2 时 | PA |min ? ; 4 2



x?

x ? ?3 时 | PA |max ? 5 。

⑶ 设动点 P( x, y) ,则

| PA |2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 1 ?

x 2 m2 ? 1 2m 2 2 4m 2 ? ( x ? ) ? 2 ? 5(?m ? x ? m) m m2 m2 ? 1 m ?1 m2 ? 1 ? 0 ,∴ m2 2m 2 ? m且m ?1 m2 ? 1



当 x ? m 时, | PA | 取最小值,且

解得 1 ? m ? 1 ? 2 。

23、解:⑴ 三项分别为 9,15, 21 。 ⑵ c1 , c2 , c3 ,

, c40 分别为

9,11,12,13,15,17,18,19, 21, 23, 24, 25, 27, 29,30,31,33,35,36,37, 39, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67
⑶ b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2k ?1 , b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7 ∵

6k ? 3 ? 6 k ? 5? 6 k ? 6?k 6 ? 7

? 6k ? 3 (n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 (n ? 4k ? 2) ? ∴ cn ? ? , k ? N * 。 c4k ?3 ? c4k ?2 ? c4k ?1 ? c4k ? 24k ? 21 ? 6k ? 6 (n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k )
S4 n ? (c1 ? c2 ? c3 ? c4 ) ? ? (c4 n ?3 ? c4 n ?2 ? c4 n ?1 ? c4 n ) ? 24 ? n(n ? 1) ? 21n ? 12n 2 ? 33n 。 2


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