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一元一次方程及解法

时间:2016-12-24


一元一次方程及解法
撰稿:占德杰 责编:赵炜

一、目标认知 学习目标:
经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程,体会方程是刻画现实世界的一种有效的数 学模型,了解一元一次方程及其相关概念,认识从算式到方程是数学的进步。通过观察、归 纳得出等式的性质,能利用它们探究一元一次方程的解法。了解解方程的基本目标(使方程 逐步转化为 x=a 的形式) ,熟悉解一元一次方程的一般步骤,掌握一元一次方程的解法,体 会解法中蕴涵的化归思想。

重点:
一元一次方程的解法

难点:
一元一次方程的解法

二、知识要点梳理 知识点一:方程的概念
1、含有未知数的等式叫做方程. 2、使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3、求方程的解的过程叫做解方程。 4、方程的两个特征: (1)方程是等式; (2)方程中必须含有字母(未知数) 。

知识点二:一元一次方程的概念
1、概念:只含有一个未知数(元) ,并且未知数的次数都是 1,这样的方程叫做一元一 次方程。 一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中 x 是未知数,a,b 是已知数,且 a≠0), “元”是指未知数, “次”是指未知数的次数,应从以下几点理解此概念: (1)方程中的未知数的个数是 1。例如 2x+3y=2 就不是一元一次方程,因为未知数的 个数是两个,而不 是一个。 (2)一元一次方程等号的两边都是整式,并且至少有一边是含有未知数的整式。例如 方程 ,

其中 不是整式,所以它不是一元一次方程。 (3)未知数的次数是 1,如 x2+2x-2=0, 在 x2 项中,未知数的次数是 2,所以它不是一 元一次方程。 2、判定:判断一个方程是不是一元一次方程应看它的最终形式,而不是看原始形式。 (1)如果一个方程经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形能化为 ax=b(a≠0), 或 ax b=0(a≠0),那么它就是一元一次方程;否则就不是一元一次方程。 (2)方程 ax=b 或 ax b=0,只有当 a≠0 时才是一元一次方程;反之,如果明确指出 方程 ax=b 或 ax+b=0 是一元一次方程,则隐含条件 a≠0.

例如方程 3x2+5=8x+3x2,化简成 8x-5=0 是一元一次方程;而方程 4x-7=3x-7+x 表面上看 有一个未知数 x,且 x 的次数是一次,但化简后为 0x=0,不是一元一次方程。

知识点三:等式的性质
1、等式的概念:用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式。 2、等式的性质: 等式的性质 1:等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,结果仍相等。即: 如果 ,那么 ;(c 为一个数或一个式子)。

等式的性质 2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为 0 的数,结果仍相等。即:

如果

,那么

;如果

,那么

在对等式变形时,应注意如下几个方面: (1)根据等式的两条性质,对等式进行变形,等式两边必须同时进行,同时加或减、同 时乘或除以, 不能漏掉某一边,并且两边加或减、乘或除以的数必须相同 (2)等式性质 1 中,强调的是整式,如果在等式两边同加的不是整式,那么变形后的等 式不一定成立,

如 x=0 中,两边加上

得 x+

,这个等式不成立。

(3)等式的性质 2 是等式两边乘同一个数,或除以同一个不为 0 的数,结果仍相等,因 忽略除数不为 0 这 一条件而导致出错,特别是等式的两边除以一个式子时,更应注意这一条件。

知识点四:合并同类项与移项
1、合并同类项:将方程中含有相同字母(字母的指数也相同)的项进行合并,把一元 一次方程变形为: 的形式,然后利用等式的性质 2,方程两边同时

除以 a,从而得到: 2、移项:将方程中的某项改变符号后从一边移到另一边,叫做移项. 移项实际上是在 方程的两边都加上(或减去)同一个数(或同一个整式). 要点诠释: (1)移项的目的:将含有未知数的项都移到方程的一边,常数项都移到方程的另一边。 这样我们就能够合并同类项,而使方程变形为 再将方程两边同 时除以 a,使 x 的系数化为 1,得到 ,即为方程的解。具体过程如下: 的形式,

(2)移项的理论依据是等式的性质 1:等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,结果 仍相等; (3)移项法则“移项必变号” ,即移项要变号,不变号不能移项。

知识点五:去括号与去分母
1、去括号:方程中含有括号时,解方程过程中把括号去掉的过程叫做去括号。 去括号时注意以下两点: (1)不要漏乘括号内的项; (2)注意“+” “-”的改变,即去掉括号后要注意各项(原括号内)的符号变化情况。 2、去分母:含分数系数的方程两边都乘同一个数(各分母的最小公倍数) ,使方程中的 分母为 1,这 样的变化过程叫做去分母。去分母时注意以下两点: (1)不要漏乘不含分母的项; (2)分子是一个整体,去分母后应加上括号。

知识点六:解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程的一般步骤: (1)去分母——方程两边都乘各系数分母的最小公倍数;具体做法为:在方程的两边 都乘以各分母的

最小公倍数。要注意不要漏掉不含分母的项,如方程

x+

=3 ,去分母得

10x+3=3 就错了, 因为方程右边忘记乘以 6,造成错误。 (2)去括号——利用乘法对加法的分配律去掉括号;按照去括号法则先去小括号,再 去中括号,最后 去大括号。特别注意括号前是负号时,去掉负号和括号,括号里的各项都要变号。 括号前有数字 因数时要注意使用分配律。 (3)移项——把含未知数的项移到方程的一边,常数项移到另一边,移项要变号。 (4)合并同类项——把方程化为 ax=b(a≠0)的形式.

(5)系数化为 1——在方程两边同除以未知数的系数 a,得到方程的解 x=

..

注: (1)解方程时,上述步骤中有些变形可能用不到,并且也不一定按照自上而下的顺序, 要根据方程形式 灵活安排求解步骤。熟练后,步骤及检验还可以合并简化。 (2)去分母是为了简化运算,若不使用,也可进行分数的运算。 (3)去括号时,若括号前为“-”号,括号内各项要改变符号。 (4)方程是含有未知数的等式,所以方程也具有等式的性质,可以应用等式的性质解较 简单的一元一次 方程,步骤一般有两步: ①方程两边同时加(或减)同一个数。 ②方程两边同时乘(或除以)同一个不为 0 的数。 例如,解方程:3x+5=2 解:两边都减 5,得 3x= -3 两边同时除以 3,得 x= -1

三、规律方法指导
从数学学科内部来看, 整式及其加减运算是一元一次方程的预备知识; 而从应用的角度 来看,一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接. 通过本章学习, 不仅可以复习有理数运算和合并同类项、 去括号等整式加减运算的内容, 而且可以进一步体会看似抽象的整式运算在解决实际问题中的用处, 从而加深对相关内容的 理解.并且结合方程的解法复习已学过的整式的知识,深刻认识数、式与方程间的联系与区 别.

经典例题透析 类型一:一元一次方程的概念
1.判断下列各式是不是方程?如果是方程,指出已知数和未知数,并指出是不是 一元一次方程;如果不是,说明为什么? (1)2x-1=5; (2)4+8=12; (3)5y-8; (4)2a+3b=0; (5)6a2-5x+4; (6) 2 2x +x=1; (7)x-2≠1; (8)ax+2a=3. 思路点拨:方程是含有未知数的等式,只含有一个未知数(元) ,并且未知数的次数都 是 1,这样的方程叫做一元一次方程;方程是等式,两个代数式用等号连接起来就是等式, 但等式不一定是方程;方程、等式都含有等号,而代数式不含等号. 解: (1)是方程. 2、-1、5 是已知数,x 是未知数,且是一元一次方程; (2)不是方程. 因为等式中不含未知数; (3)不是方程. 因为它是代数式,而不是等式; (4)是方程. 2、3、0 是已知数,a、b 是未知数,因为含有两个未知数,所以不是 一元一次方程; (5)不是方程. 因为它是代数式,而不是等式; (6)是方程. 2、1 是已知数,x 是未知数,因为未知数的最高次数是 2,所以不是 一元一次方程; (7)不是方程. 因为它不是等式; (8)是方程. 当 a 是未知数时,x、2、3 是已知数,且当 程; 当 x 是未知数时,a、2a、3 是已知数且当 时,是一元一次方程; 时,是一元一次方

当 a、x 是未知数时,2、3 是已知数,不是一元一次方程。. 总结升华: (1)化简后未知数系数为零时,则此含有未知数的等式不是方程,如 2x+1 =3+2x 就不是方程; (2)方程的已知数包括它前面的符号,当未知数的系数是 1 时,省略 的 1 可看作已知数,但是一般不写出,如本例中的(6) ,x 的系数为 1,在写已知数时,也 可以不写. 举一反三: [变式]下列四个方程中,一元一次方程是 ( ) A. x2-1=0 B. x+y=1 C. 12-7=5 D. x=0 答案:D

类型二:方程的解
2.检验题后面括号里的数是不是前面方程的解。 3y-1=2y+1(y=2,y=4) 思路点拨:判断一个数是否是方程的解,把这个数代入方程的两边,若方程两边相等, 则该数是方程的解;若方程两边不相等,则不是方程的解。 解:把 y=2 代入方程 3y-1=2y+1 的两边, 左边=3×2-1=5,右边=2×2+1=5,左边=右边, 所以 y=2 是方程 3y-1=2y+1 的解。

把 y=4 代入方程 3y-1=2y+1 的两边, 左边=3×4-1=11,右边=2×4+1=9,左边≠右边, 所以 y=4 不是方程 3y-1=2y+1 的解。 举一反三: [变式 1](2011 广东湛江)若 __________. 答案:-1 [变式 2]关于 x 的方程 ax+3= 4x+1 的解为正整数,则 a 的值是( ) A. 2 B.3 C.2 或 3 D.1 或 2 答案:C 是关于 的方程 的解,则 的值为

类型三:解一元一次方程
3.解方程:9-3x=5x+5 思路点拨:可将右边的 5x 变号后移到左边,将左边的 9 变号后移到右边,然后合并化 成左边是含有未知数的项,右边是常数项的方程. 解:9-3x=5x+5 移项,得-3x-5x=5-9 合并,得-8x=-4

系数化为 1,得 x= 总结升华:解方程时经常要“合并”和“移项” ,目的是将方程逐步变成 ax=b(a≠0) 的形式,然后利用等式的性质②,化系数为 1,最终求得未知数 x 的值;应该特别注意移项 要变号,合并则是将所有含相同字母的项的系数相加. 举一反三: [变式]解方程:4x=18-2x 分析:利用等式的性质 1,等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,结果仍相等。 等式的性质 2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为 0 的数,结果仍相等。 解:根据等式的性质 1,在方程两边同时加上 2x 4x+2x=18-2x+2x 6x=18 根据等式的性质 2,在方程两边同时除以 6,得 x=3

4.解方程 思路点拨:本题考查去分母的过程,注意不要漏乘方程中的每一项。 解:去分母,得 4(2x-1)-4(2x+5)=3(6x-7)-12

去括号,得 8x-4-8x-20=18x-21-12 移项,得 8x-8x-18x=-21-12+4+20 合并同类项,得-18x=-9 系数化为 1,得 x= 。 总结升华: 解一元一次方程的基本思路是把未知数移到等号的一边, 把常数项移到等号 的另一边,最后把系数化成 1. 这一过程中注意三点:去括号要依据符号法则,特别是括号 前是负号的情况;移项要变号;去分母时,方程各项都要乘分母的最小公倍数. 举一反三:

[变式]解方程: 解:去分母,得 去括号,得 移项,得 合并同类项,得

系数化 1,得

5.解方程 x-2[x-3(x+4)-6]=1 思路点拨:方程特点是含有多重括号,去括号时从小括号开始由里向外一层一层去。 解:去括号,得 x-2[x-3x-12-6]=1 x-2[-2x-18]=1 x+4x+36=1 移项,得 x+4x=1-36 化简,得 5x=-35 系数化为 1,得 x=-7 举一反三: [变式] 答案:x=5

类型四:一元一次方程的综合应用
6.已知方程 (1)求 m 的值。 是关于 x 的一元一次方程;

(2)写出关于 x 的一元一次方程 (3)并解(2)中的方程。 解析: (1)根据一元一次方程的定义,可知

∴m=-2。 (2)把 m=-2 代入原方程得,-4x+3=7 (3)-4x+3=7, 两边同减3,得:-4x=7-3=4 两边同除以-4,得:x=-1

7.对于有理数 a,b,c,d,规定一种运算

=ad-bc,如

=1

×(-2)-0×2=-2。那么

=25 时,写出关于 x 的一元一次方程,并解此方程。

分 析 : 由 题 中 可 看出

的运算方式是对角线位置的数的乘积的差,所以

=25 变形为 2×5-(-4)×(3-x)=25。

解析:

=25 可以化为 2×5-(-4)×(3-x)=25,即 4x+3=0。

移项,化简得:x=-3/4

8.关于 x 的方程 3x-4= a-bx 有无穷多个解,则 a=_____ ,b=______. 解析:由 3x-4= a-bx,得: (3+b)x=a+4

要使此方程有无穷多个解,则有: 所以 a= -4, b= -3

学习成果测评 基础达标:
一、选择题: 1.下列各式中,是方程的一共有( ) ; (A)2 个 (B)3 个 ; (C)4 个 ; ; (D)5 个 ;

2.下列方程中,一元一次方程一共有( )

; (A)1 个

; (B)2 个

; (C)3 个

; (D)4 个



3.如果 (A)

是方程 (B)5

的解,那么 的值( ) (C) 1 (D)

4.关于 x 的方程 (A) 二、填空题 1. (2011 遵义)方程 (B)

的解为( ) (C) (D)

的解为_________

2.若

,则

___________。

3.若方程

与方程

的解相同,则

___________。

4.若

和方程

的解相同,那么

___________。

三、解方程 (1)0.48x-6 = 4-0.02x

(2)5x-3(2x+1)+7x=6x-4(5-3x)

(3)

(4)

(5) 答案与解析: 一、 1.C 2、B 3、 A 4、 D 解析:

(6)

第 1 题: 考查方程的概念, 含有未知数的等式叫做方程。 其中 是不等式, 其余都是方程。注意方程中的未知数不必都用 x 表示。 第 2 题:考查一元一次方程的定义。其中 程。

是一般等式,

经过化简可知是一元一次方

是二元一次方程, 第 3 题:考查方程的解的概念。把

是一元二次方程, 代入方程就可求出。

是分式方程。

第 4 题:这是关于未知数x的方程,其中字母a,b应看成已知数。通过移项,合并即 可。

二、 1、

2、

3、-3 4、6

解析: 第 1 题:考查解方程,直接求解即可。 第 2 题:考查平方和绝对值的非负性,由题意得: 第 3 题: 考查方程的解的概念。 由题意得出 即 可求出a的值。 第 4 题:考查方程的解得概念。同第3题。 三、 (1)解:移项得:0.48x+0.02x = 4+6 合并同类项得: 0.5x = 10 系数化为 1 得: x = 20 (2)解:去括号,得 5x-6x-3+7x=6x-20+12x, 移项,得 5x-6x+7x-6x-12x=-20+3 合并同类项,得 -12x=-17, 的解为 , ,即可求出。 , 把它代入

系数化为 1,得 x=

启发: 方程中带有括号,先设法去掉括号。对于有多重括号的方程,应先去小括号,再去中括 号,最后去大括号,运用分配律去括号时,注意符号不要标错,并且不要漏乘括号中的项。 移项时,要注意变号,最好别跳过移项这一步,因为将移项和合并同类项同步完成,很容易 产生错误。 (3)解:去分母得:5y-1 = 14 移项得:5y = 14+1 合并同类项得:5y = 15 系数化成 1 得:y = 3 (4)解:去分母得:4(2x-1)-3(5x+1) = 24 去括号得:8x-4-15x-3 = 24 移项得:8x-15x = 24+4+3 合并同类项得:-7x = 31

系数化成 1 得: (5)解:原方程可化为:

去分母得: 去括号,移项与合并同类项得:

系数化成 1 得: 启发: 分数线除了可以代替除号“÷”(表示“分子÷分母” ;也可以说代替“: ” ,表示“分子: 分母”)以外,还起着括号的作用,分子如果是一个代数式,应该看作一个整体,在去分母 时,不要忘了将分子作为一个整体加上括号。

(6)解:方程两边同乘以 5,得

移项,得

方程两边同乘以 4,得

移项,得

方程两边同乘以 3,得

移项,得

x=-2

启发: 解这种方程,如果从内向外采用乘法对加法的分配律去括号,非常麻烦,这里根据方程 的结构特点,利用等式的性质 2,在去掉一个分母的同时,即去掉一个括号,如此进行,并 不费力。

能力提升:
一、选择题:

1、 (2011 湖北荆州) 对于非零的两个实数 、 , 规定 则 的值为

, 若



A.

B.

C.

D.

2、一元一次方程 2(3x―4) =5(x―2)的解是 ( ) A. x = 3 B. x = 2 C. x = 4 D. x =-2 3、单项式 2ab2m+3 与 4ab4m 1 是同类项则 m 等于 ( ) A. 4 B. 3 C. 1 D. 2


4、方程(1)

(2) 2(x +1) = 4

(3) 解相同的是 ( ) A. (1) (2) (3) B. (2) (3) (4)

(4) 3x-4+2x = 4x-3 中, C. (1) (2) (4) D. (1)(3)(4)

5、若

的值相等,则 a 为: ( )

A. 6

B.

C. 3

D. 2

二、填空题: 1、一元一次方程的标准形式是 ___________ (其中 x 是未知数,a、b 是已知数,且 a ≠0).

2 、将方程 ______.

的两边同乘以 ______ 得到 3(x+2) =2(2x - 3) 这种变形叫

3、当 x _____ 时,x-

的值等于 2.

4、已知

= 4,代数式 x2-2x+5 的值是 _________.

5、已知 x =-2 是方程 2kx-3 =17+k 的解,则 k = ______. 6、若关于 x 的方程 ax+3=4x+1 的解为正整数,则整数 a 的值是___________。 三、解方程: 1、5(y+8)―5 = 4(2y―7)

2、



3、



答案与解析: 一、1、D 2、 D 3、D 4、B 5、B 解析: 第 1 题:考查一元一次方程的解法。 第 2 题:考查一元一次方程的解法。 第 3 题:考查同类项的概念,由题意得:2m+3=4m-1,求出 m 即可。 第 4 题:考查一元一次方程的解法。

第 5 题:考查列方程再解方程。由题意得:

二、1、ax + b = 0 (a≠0)

2、 12, 去分母; 3、

4、53

5、k =-4 6、2 或 3. 解析: 第 1 题:考查一元一次方程的标准形式。 第 2 题:考查解方程中去分母的步骤。 第 3 题:考查方程解法。

第 4 题:考查代数式求值。由

= 4 得 x=8,代入 x2-2x+5 即可。

第 5 题:考查方程的解的概念。把 x =-2 代入方程 2kx-3 =17+k 即可。 第 6 题:考查含有字母系数的方程的解法。由题意,求出方程的解为:

,因为解为正整数,所以

三、1、 y = 21 解析: 第 1 题:解: 移项

2、x=



3、x= -8

解得

第 2 题:解: 去分母,整理得

解得

第 3 题:解:

整理 解得


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