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2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第十五讲 导数的应用

时间:2014-10-06


第十五讲
括号内.)

导数的应用

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的

1.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 =- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 3 A.13 万件 C.9 万件 B.11 万件 D.7 万件 )

解析:因为 y′=-x2+81,所以当 x>9 时,y′<0;当 x∈(0,9)时,y′>0,所以函数 y 1 =- x3+81x-234 在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以 x=9 是函数的极大值 3 点,又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在 x=9 处取得最大值. 答案:C 2. (2011· 荆州质检题)函数 f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立, 则 a 的取 值为( ) B.[4,+∞) D.[2,4]

A.[2,+∞) C.{4}

解析:f′(x)=3ax2-3,当 a≤0 时,f(x)min=f(1)=a-2≥0,a≥2,不合题意; 当 0<a≤1 时,f′(x)=3ax2-3=3a?x+

?

1 ?? 1 x- ?,f(x)在[-1,1]上为减函数,f(x)min a? ? a? 1? 2 =- +1≥0, ? a? a

=f(1)=a-2≥0,a≥2,不合题意;当 a>1 时,f(-1)=-a+4≥0 且 f? 解得 a=4.综上所述,a=4,故选 C. 答案:C

3. 设 f(x)、 g(x)是 R 上的可导函数, f′(x), g′(x)分别为 f(x)、 g(x)的导函数, 且满足 f′(x)g(x) +f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时,有( A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a) 解析:令 y=f(x)· g(x), 则 y′=f′(x)· g(x)+f(x)· g′(x), 由于 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0, 所以 y 在 R 上单调递减, 又 x<b,故 f(x)g(x)>f(b)g(b). )

答案:C π? 1 4.函数 f(x)= ex(sinx+cosx)在区间? ?0,2?上的值域为( 2 1 1 π? A.? ?2,2e2? π? C.? ?1,e2? 1 1 π? B.? ?2,2e2? π? D.? ?1,e2? )

1 1 解析:f′(x)= ex(sinx+cosx)+ ex(cosx-sinx)=excosx, 2 2 π π 当 0≤x≤ 时,f′(x)≥0,且只有在 x= 时 f′(x)=0, 2 2 π? ∴f(x)是? ?0,2?上的增函数, π? 1 π ∴f(x)的最大值为 f? ?2?=2e2, 1 f(x)的最小值为 f(0)= . 2 π? ?1 1 π? ∴f(x)在? ?0,2?上的值域为?2,2e2?.故应选 A. 答案:A 5. 已知函数 f(x)=x2+2x+alnx, 若函数 f(x)在(0,1)上单调, 则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0 或 a≤-4 D.a>0 或 a<-4 a 解析:∵f′(x)=2x+2+ ,f(x)在(0,1)上单调, x ∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(0,1)上恒成立, 即 2x2+2x+a≥0 或 2x2+2x+a≤0 在(0,1)上恒成立, 所以 a≥-(2x2+2x)或 a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立. 记 g(x)=-(2x2+2x),0<x<1,可知-4<g(x)<0, ∴a≥0 或 a≤-4,故选 C. 答案:C 6.(2010· 江西)如图,一个正五角星薄片 (其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S(t)(S(0) = 0) ,则导函数 y = S′(t) 的图象大致为 ( ) )

解析:由导数的定义知,S′(t0)表示面积函数 S(t0)在 t0 时刻的瞬时变化率.

如图,正五角星薄片中首先露出水面的区域 I,此时其面积 S(t)在逐渐增大,且增长速 度越来越快,故其瞬时变化率 S′(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的 S(t)应突 然增大,然后增大速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率 S′(t)也随之突然变大,再逐 渐变小,但 S′(t)>0(故可排除 B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其 导数值 S′(t)最终应等于 0,符合上述特征的只有选项 A. 答案:A 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上. ) 9 7.函数 f(x)=x+ 的单调区间为________. x
2 9 x -9 解析:f′(x)=1- 2= 2 , x x

令 f′(x)<0, 解得-3<x<0 或 0<x<3, 故单调减区间为(-3,0)和(0,3). 答案:(-3,0),(0,3)

8.若函数 f(x)=x3-3x+a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1. ∴f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上递增,在(-1,1)上递减,
?f(-1)>0 ? ∴? ,∴-2<a<2. ?f(1)<0 ?

答案:-2<a<2 9.函数 f(x)=x3-px2+2m2-m+1 在区间(-2,0)内单调递减,且在区间(-∞,-2)及 (0,+∞)内单调递增,则实数 p 的取值集合是________. 解析:由已知条件可知,f(x)在 x=0 和 x=-2 处分别取得极小值和极大值.∵f′(x)= 3x2-2px=x(3x-2p), ∴3×(-2)-2p=0,∴p=-3.∴p 的取值集合是{-3}. 答案:{-3} π π? 10.函数 y=sin2x-x,x∈? ?-2,2?的最大值是________,最小值是________. π π 答案: - 2 2 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.设函数 f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同实根,求实数 a 的取值范围; (3)已知当 x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数 k 的取值范围. 解:(1)f′(x)=3x2-6,令 f′(x)=0,解得 x1=- 2,x2= 2. 因为当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)>0;当- 2<x< 2时,f′(x)<0. 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞);单调减区间为(- 2, 2). 当 x=- 2时,f(x)有极大值 5+4 2; 当 x= 2时,f(x)有极小值 5-4 2. (2)由(1)的分析知 y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示,当 5-4 2<a<5+4 2时, 直线 y=a 与 y=f(x)的图象有三个不同交点,即方程 f(x)=a 有三个不同的解.

(3)f(x)≥k(x-1),即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1). 因为 x>1,所以 k≤x2+x-5 在(1,+∞)上恒成立. 令 g(x)=x2+x-5,此函数在(1,+∞)上是增函数. 所以 g(x)>g(1)=-3. 所以 k 的取值范围是 k≤-3. 评析:(1)利用导数求单调区间和极值.(2)由(1)的结论,问题转化为 y=f(x)和 y=a 的图 象有 3 个不同的交点,利用数形结合的方法求解.(3)将问题转化为不等式恒成立问题,利 用分离参数法求解. 本题综合考查了利用导数求单调区间、极值以及方程、函数、不等式三者之间的相互转 化,对理性思维能力要求较高. 12.已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数 a、b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大值 3,最小值-29?若存在,求出 a、b 的值;若不存在,请说明理由. 解:显然 a≠0. f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4). 令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=4(舍去). (1)当 a>0 时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) [-1,0) + 0 0 (0,2] -

f(x)

最大值

所以当 x=0 时,f(x)取得最大值,所以 f(0)=b=3. 又 f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2). 所以当 x=2 时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,a=2. (2)当 a<0 时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x ) [-1,0) - 0 0 (0,2] +

f(x)

最小 值

所以当 x=0 时,f(x)取得最小值,所以 b=-29. 又 f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1). 所以当 x=2 时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,a=-2. 综上所述 a=2,b=3 或 a=-2,b=-29. 评析:本题综合运用了求极值、最值的方法确定系数 a、b,注意对 a 的讨论和最大值、 最小值的确定. 13.已知函数 f(x)=x2e
-ax

(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.

分析:通过求导先判断单调性再求最值.在求最值时,对 a 的情况要进行讨论. 解:f(x)=x2e
-ax

(a>0), +x2· (-a)e
-ax -ax

∴f′(x)=2xe

-ax

=e

-ax

(-ax2+2x).

令 f′(x)>0,即 e

2 (-ax2+2x)>0,得 0<x< . a

2 ? ∴f(x)在(-∞,0),? ?a,+∞?上是减函数, 2? 在? ?0,a?上是增函数. 2 ①当 0< <1,即 a>2 时,f(x)在(1,2)上是减函数, a ∴[f(x)]max=f(1)=e a.


2? 2 ?2 ? ②当 1≤ ≤2,即 1≤a≤2 时,f(x)在? ?1,a?上是增函数,在?a,2?上是减函数, a 2? -2 -2 ∴[f(x)]max=f? ?a?=4a e . 2 ③当 >2 时,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数, a ∴[f(x)]max=f(2)=4e
-2a

.
-2a

综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 4e 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为 4a 2e 2,
- -



当 a>2 时,f(x)的最大值为 e a.


评析:求函数在闭区间上的最值,首先应判断函数的单调性,一般情况下是先利用导数求出 单调区间,分清单调区间与已知区间的关系,有时也需要分类讨论,分类时要不重不漏.

第一讲

集合与集合的运算 考号________ 日期

班级________ 姓名________

________
内.)

得分________

一?选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号

1.(2010·天津)设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 的取值范围是( ) B.{a|a≤2,或 a≥4}[来源:学.科.网] D.{a|2≤a≤4}

则实数 a

A.{a|0≤a≤6} C.{a|a≤0,或 a≥6}

解析 :由于不等式|x-a|<1 的解是 a-1<x<a+1,当 A∩B= ? 时,只要 a+1≤1 或 a-1≥5 即 可,即 a≤0 或 a≥6,选 C. 答案:C

? 1? A ? ? x | log 1 x≥ ? , 则?R A ? 2.(2010·安徽)若集合 2? ? 2

?

? A.(??, 0] ? ? ? ? ? C.(??, 0] ? ? ?

? 2 , ?? ? ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 2 ?

? B. ? ? ? ? D. ? ?

? 2 , ?? ? ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 2 ?

?x ? 0 ? 1 1 解析 : 不等式log 1 x≥ ? ? 2 ? 1 1 ? ? 2 log x ≥ log 2 ? 1 ? ? 2 ? 2 ?2? ?x ? 0 ? 2 ? 2 ? , ?? ? ? 2 ? 0 ? x≤ 2 , 所以?R A ? (??, 0] ? ? ? 2 ?. ? ? ? x≤ ? 2
答案:A 3.已知 M={x|x=a +2a+4,a∈Z},N={y|y=b -4b+6,b∈Z},则 M?N 之间的关系是( A.M?N B.N?M C.M=N D.M 与 N 之间没有包含关系
2 2

)

解析:取 a=0,则 4∈M,但 4 ? N,若不然,有 b -4b+6=4,b ? Z.又取 b=0,6∈N,但 6 ? M.
2

答案:D 4.设全集为 U,若命题 p:2010∈A∩B,则命题 A.2010∈A∪B

? p 是(

)

B.2010 ? A 且 2010 ? B

?U
解析:命题 答案:D

? UB)

?U

? UB)

?p 是

? U(A∩B),即 2010∈( ? U

? UB).

评析:本题考查集合的运算及非命题的概念,要求对于集合中的运算性质

? U(A∩B)=( ? U
2

? UB)与

? U(A∪B)=(
2

? UA)∩( ? UB)能够加强联想与发散.
2 2

5.已知集合 P={y=x +1},Q={y|y=x +1},S={x|y=x +1},M={(x,y)|y=x +1},N={x|x≥1}, 则( ) A.P=M C.S=M B.Q=S D.Q=N

解析:集合 P 是用列举法表示,只含有一个元素,集合 Q,S,N 中的元素全是数,即这三个集 合都是数集,集合 Q 是函数 y=x +1 中 y 的取值范围{y|y≥1},集合 S 是函数 y=x +1 中 x 的取 值范围 R;集合 N 是不等式的解集{x|x≥1},而集合 M 的元素是平面上的点,此集合是函数 y=x +1 图象上所有的点组成的集合.选 D. 答案:D 评析:解集合问题时,对集合元素的准确性识别十分重要,不要被 x,y 等字母所迷惑,要 学会透过现象看本质. 6.定义集合 M 与 N 的新运算如下:M*N={x|x∈M 或 x∈N,但 x M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3, 6,9,12,15},则(M*N)*M 等于( A.M C.N B.{2,3,4,8,9,10,15} D.{0,6,12} ) 若
2 2 2

解析:因为 M∩N={0,6,12},所以 M*N={2,3,4,8 ,9 ,10,15},所以 (M*N)*M={0,3,6,9,12,15}=N,故选 C. 答案:C 评析:本题给出了新运算“*”的定义,并要求求(M*N)*M 的解,解决这类信息迁移题的 基本方法是以旧代新法,把新定义的运算“*”纳入到已有的集合交?并?补的运算体系之中, 并用已有的解题方法来分析?解决新的问题.另外此题还可以用 Venn 图来分析求解.[来

源:Z#xx#k.Com] 二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.)[来 源:Zxxk.Com] 7.(2010·重庆)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x +mx=0},若
2

? UA={1,2},则实数

m=________.[来源:学,科,网][来源:学§科§网 Z§X§X§K] 解析:依题意得 A={0,3},因此有 0+3=-m,m=-3. 答案:-3 8.已知 A={x|x>3 或 x<-1},B={x|a≤x≤b}.若 A∪B=R,A ∩B={x|3<x≤4},则 a,b 的值分 别为________. 解析:画出数轴可知 a=-1,b=4. 答案:-1,4[来源:学科网 ZXXK] 9.已知 U={实数对(x ,y)},A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3},B={(x,y)|3x-y-2=0},则 瘙 綂

[

KG-1mm]UA∩B=________.

解析:容易错解为:由 lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得 y=3x-2,故 A=B,则

? UA∩B= ? .

上 述解答的错因是将条件进行了非等价变形而扩大了变量的取值范围.实际上,由 lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得 y=3x-2(x>2),[来源:学科网] ∴A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3}={(x,y)|y=3x-2(x>2)},

? UA ={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}.
答案

? UA∩B={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}

10.已知集合 A?B 与集合 A⊙B 的对应关系如下表: A B {1,2,3,4,5} {2,4,6,8} {-1,0,1} {-2,-1,0,1}[来 源:Zxxk.Com] A⊙B {1,3,6,5,8} {-2} {-2,0,2,8} {-4,8} {-4,-2,0,2}

若 A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011},试根据图表中的规律写出 A⊙B=__________. 解析:通过对表中集合关系的分析可以发现:集合 A⊙B 中的元素是 A∪B 中的元素再去掉 A∩B 中的元素组成,故当 A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011}时,A⊙B={2010,2011}. 答案:{2010,2011} 三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分 ,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.规定 与 是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数 a,b 有
2

+b +1)且-2<a<b<2,a,b∈Z.用列举法表示集合

2

a ?b? ? A ? ? x | x ? 2(a ? b) ? ?. b ? ?
解:根据 运算法则有[来源:学科网]

x ? 2(a ? b) ?

a?b b
2

? 2ab ? a 2 ? b 2 ? 1 ? ? a ? b ? ? 1. 当a ? ?1时, b ? 0或b ? 1.因为在 a?b 中, b b为分母, 故b ? 0不符合题意, 舍去.

当 a=0 时,b=1. 把 a=-1,b=1 或 a=0,b=1 代入 x=(a+b) +1 得 x=1 或 x=2.故 A={1,2}. 12.已知集合 A={2,x,x ,xy},集合 B={2,1,y,x},是否存在实数 x,y 使 A=B?若存在,试求
2 2

x,y 的值;若不存在,说明理由. 解:假设存在实数 x,y 使 A=B,若 x=1,则集合 A,B 中出现 2 个 1,这与集合中元素的互异 性矛盾,所以必有

? x2 ? y, ? x2 ? 1, 或? ? ? xy ? 1, ? xy ? y.
(1)由 x =y 且 xy=1,解得 x=y=1,与集合中元素的互异性矛盾.[来源:学&科&网 Z&X&X&K] (2)由 x =1 且 xy=y,解得 x=1,y∈R(舍去)或 x=-1,y=0.经检验 x=-1,y=0 适合题意. 13.已知两集合 A={x|x=t +(a+1)t+b},B={x|x=-t -(a-1)t-b},求常数 a、b,使 A∩B={x|-1≤x≤2}.
2 2 2 2

? ? 4b ? (a ? 1) 2 ? 4b ? (a ? 1) 2 ? 解 : A ? ? x | x≥ , B ? x | x ≤ ? ? ?, 4 4(?1) ? ? ? ? A ? B ? ?x | ?1≤x≤2? , ? 4b ? (a ? 1)2 ? ?1 ? ? 4 ?? , 2 ? 4b ? (a ? 1) ? 2 ? ? ?4
解得 a=-1,b=-1.


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