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广东省广州市2016届高三1月模拟考试数学(文)试卷

时间:2016-01-23


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2016 年广州市普通高中毕业班模拟考试

文科数学
第 Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)若全集 U=R,集合 A ? x 0 ? x ? 2 , B ? x x ? 1 ? 0 ,则 (A) x 0 ? x ? 1

?

?

?

?

A ? CU B =

?

?

(B) x 1 ? x ? 2

?

?

(C) x 0 ? x ? 1

?

?

(D) x 1 ? x ? 2
2

?

?

(2)已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 ? a ? bi ? = (A) 5 ? 4i (B) 5+4i (C) 3 ? 4i (D) 3+4i

b ? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的大小为 (3)已知 a ? 1 , b ? (0, 2) ,且 a ?
(A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

(4)已知 E , F , G , H 是空间四点,命题甲: E , F , G , H 四点不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不 相交,则甲是乙成立的 (A)必要不充分条件 (C)充要条件 (5)设 a ? log3 7 , b ? 2 , c ? 0.8 ,则
1.1 3.1

(B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(A) b ? a ? c

(B) a ? c ? b

(C) c ? b ? a

(D) c ? a ? b
2

(6)已知 f ? x ? 在 R 上是奇函数,且满足 f ? x ? 4? ? f ? x ? ,当 x ? ? 0, 2? 时, f ? x ? ? 2x ,则 f ? 7 ? ? (A) 2 (B) ?2 (C) ?98 (D) 98

(7)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形,俯视图是半径为

1 的四分之一圆周和两条半径,则这个几何体的表面积为

3 ? 12 3 ? (C) 4
(A)

3 ? 6 3 ? (D) 3
(B)



(8)在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ???? ? an ? 2n ? 1,则 a12 ? a22 ???? ? an 2 等于 (A) (2n ?1)2

(B)

(2n ? 1) 2 3

(C) 4 ? 1
n

(D)

4n ? 1 3

(9)已知 sin ? ?

3 ?? ? ,且 ? ? ? ,? ? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图像的相邻两条对称轴之间的距 5 ?2 ?

离等于

? ,则 2
3 5

??? f ? ? 的值为 ?4?
(B) ?

(A) ?

4 5

(C)

3 5

(D)

4 5

(10)执行如图所示的程序框图,输出的结果为 (A) ? ?2 ,2 ? (C) ? ?4 ,? 4 ? (B) ? ?4 ,0 ?

? 8? (D) ? 0 ,

开始

x=1,y=1,k=0

s=x-y,t=x+y x=s,y=t

k=k+1 否 k≥3 是 输出(x,y)

结束



(11)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0) 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线 a 2 b2

距离的 2 倍,则其渐近线方程为 (A) 2 x ? y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 (B ) x ? 2 y ? 0 (D) 3x ? 4 y ? 0

(12)已知 y ? f ? x ? 为 R 上的连续可导函数,且 xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则函数 g ? x ? ? xf ? x ? ?1 ? x ? 0 ? 的零点个数为 (A)0 (B)1 (C)0 或 1 (D)无数个

第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)函数 y ?

1 的定义域是_____________. x ?1

? x ? 0, ? y ? 0, ? (14)设 x , y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? ?1, ? ? x ? y ? 3,
*



2 (15)设数列 ?an ? 的各项都是正数,且对任意 n ? N ,都有 4Sn ? an ? 2an ,其中 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项

和,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ?
2



(16)已知以 F 为焦点的抛物线 y =4 x 上的两点 A,B 满足 AF ? 2FB ,则弦 AB 中点到抛物线准线的距离 为_________.



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 是△ ABC 中角 A , B , C 的对边,且 3cos B cos C ? 2 ? 3sin B sin C ? 2cos A .
2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.



(18) (本小题满分 12 分) “冰桶挑战赛” 是一项社交网络上发起的慈善公益活动, 活动规定: 被邀请者要么在 24 小时内接受挑战, 要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战) ,并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战,则他需在网 络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后便可以邀请另外 3 个人参与这项活动.假设每个人接受 挑战与不接受挑战是等可能的,且互不影响. (Ⅰ)若某参与者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战的概率是 多少? (Ⅱ) 为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关, 某调查机构进行了随机抽样调查, 调查得到如下 2 ? 2 列联表: 男性 女性 合计
n ? ad ? bc ?
2

接受挑战 45 25 70

不接受挑战 15 15 30

合计 60 40 100

根据表中数据,能否有 90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”? 附: K ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
P K 2 ≥ k0
k0

?

?

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828



(19) (本小题满分 12 分)

BC ? 2 , D 是 BC 的中点, F 是 C1C 上一点. 在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AB ? AC ? AA 1 ? 3,
(Ⅰ)当 CF ? 2 时,证明: B1F ⊥平面 ADF ; (Ⅱ)若 FD ? B1D ,求三棱锥 B1 ? ADF 的体积. A1 F C1 B1

C D A B



(20)(本小题满分 12 分) 定圆 M : x ? 3

?

?

2

? y 2 ? 16 ,动圆 N 过点 F

?

3, 0 且与圆 M 相切,记圆心 N 的轨迹为 E .

?

(Ⅰ)求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设点 A , B , C 在 E 上运动, A 与 B 关于原点对称,且 AC ? CB ,当△ ABC 的面积最小时, 求直线 AB 的方程.



(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

mx x ?n
2

? m, n ? R ? 在 x ? 1 处取到极值 2.

(Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)设函数 g ? x ? ? ln x ? 得 g ? x2 ? ? f ? x1 ? ?

a ,若对任意的 x1 ?? ?1,1? ,总存在 x2 ??1,e? ( e 为自然对数的底数) ,使 x

7 ,求实数 a 的取值范围. 2



请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 ?ACB ? 90? , CD ? AB 于点 D ,以 BD 为直径的 e O 与 BC 交于点 E . (Ⅰ)求证: BC ? CE ? AD ? DB ;
o (Ⅱ)若 BE ? 4 ,点 N 在线段 BE 上移动, ?ONF ? 90 ,

C E N A D O B F

NF 与 e O 相交于点 F ,求 NF 的最大值.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, ? x ? a cos ?, ( t 为参数)与曲线 C2 : ? ( ? 为参数, ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3sin ?

a ? 0 ).
(Ⅰ)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 3 时, 曲线 C1 与曲线 C2 交于 A , B 两点,求 A , B 两点的距离.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ?| x ? m | ? | x | , m ? N* ,存在实数 x 使 f ( x) ? 2 成立. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 ? , ? ? 1 , f (? ) ? f ( ? ) ? 2 ,求证:

4 1 9 ? ? . ? ? 2



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