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一道国际竞赛题的新推广


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2 0 0 3 年第 2 期 

l 3  



道国际竞赛题的新推广 
罗 增 儒 
( 陕 西 师范大 学 , 7 1 0 0 6 2 )  

题目


对所有 的正

实数 a 、 b 、 C , 证明:  
8 b c+  
b   +   一 8c a c  

命题 1   ( 个数推广 ) 对正实数 a , , a : ,  


纠 ?  

.  

, a   (  ≥3 ) , 有 
n 



① 

∑ 7— 

——一

≥ 1 . ’  
② 

( 第4 2 届I M O 一 2 )   对此题 本文给 出 3 个新 推广 .  

命题 2   ( 指 数推广 ) 对正实数 a , , a : ,   作 四 面体 的 高  , 连 O D、 O F , 、 O F, 则  阳_ l - O D, V O _ l - O E, V O 上O F. 由三垂线 定理  知 O D上 B C, O E_ l - C A, O F _ l - A B. 从 而  (  , Y,  ) =( 0 D, 0  , 0 F)   ⑥  恰满 足① 、 ②, 为原方程组 的一组正数解 .   为求 O D、 O E、 O F 的确 切 值 , 可 先求 四  面体 体积  和高 V O=h , h= 4 4 3V , 而 
③ 
(  

例 8 求 以下方程组 的正数解 :   b 2 c   s i n 2 a一   =c   6 2 s i n  ̄ l—Y f   =口   b 2 s i n 2   7一彳   ,  
+   +彳   + Y + z : 4 3
-= I

①  ②

’  
. 

其中 a 、 6 、 C 为正数 , 满足 
b  + C  一 2 b c c o s口 = C  + a  一 2 c ac o s  

=a  +b  一2 a b c o s   y=1 ,  
0< a,  , y<  , a+   + y<  ̄2 n.

y =   ̄ / ( Ⅱ   + 6   + c   ) + (   + c   Ⅱ   + a 2   ( Ⅱ   + 6   + c   ) 一 1 .  
I ‘  

解: 先 假 设 
a+   + y<2 7 t ,  

⑦ 

我们可 构造 四面  体 V— A B C , 使  得 V A = a,V B   c  
= b, V C = BV C   =   C,   口,  
A  

因而 由式①可算得 具体数值 . 解略 .   若 a+J 9 +y=   , 则 四面体 退化 成三 角  形, 点  跑 到 △ A B C上 , 与 D 点 重合 , 式 ⑥  即为 
(  , Y, 彳 ) =( b c s i n口, c a s i n   p, a b s i n   y ) .   ⑧  若原方程组 有 正 数解 (  , Y   , 彳   ) , 且 

C V A   =   』 9 ,   图3   A V B=y, 如图 3 .   由式③知  =C A=A B=1 , △ A B C为 

>  , 则 由① 知 Y   >Y , 彳   >彳 , 故  +Y   +   >   +Y+彳 =   , 引 出矛盾 . 同理  . 所 

单位 正三 角形 , 且 三个侧 面 △ V B C 、 △ V C A、   △ V A B 的高为  、 忸、   . 可计算 为 
V D=  1   6 c s i n 口 ÷1 B C


6 c s i n   a,  

V E=C g S i l l  , V F=a b s i n   y.  

⑤ 

以  =  . 同理 Y   =' , , 彳   =彳 . 故 式 ⑥为原 方  程组 的惟 一解 .   在 图 3中令 O A=P , O B=g , O C=r , 又  可演变 出许 多 的条 件方 程 组 , 可与例 5 、 6 、 7   媲美 .  

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1 4  


中 等 数 学 
n l  

, a   ( n ≥3 ) 及正 整数 m( m≥2 ) , 有 

n 

:撇 一  次, 应用 n  一1 维 平 均 值 不 等 

∑  m 厂 ——— ———一 — — — — — — —   —   ≥1 , ’  
‘   √口   +( , l   一 1 ) 口   口   +  
其中 a   + 1 =a 1 , a n + 2 =a 2 .  

③  式 , 有 
(  1 +  2+… +   ) m一  n l  

把 以上两个命题结 合起来 , 可得 
命题 3 对 正实 数 a   , a   , …, a   ( n ≥3 )  
及 正整数 m( m≥2 ) , 有 
—   ≠ : : :   — — — — 一 ≥1 一 . 。  

)  

⑦ 

④ 

i   X i   l — — — —   ) —  ] 一 l  



这里 只证命 题 3 , 类 似地可证命题 1 、 2 .   证法 一 : ( 反证法 ) 设 
~  

垂 ( 去 一   )  

一  
则 

可 

’  
> 

f 1— 1 :n - 一 1 )  
1  

,  

[  厂  

【   ∈( 0 , 1 ) .  

相乘得 
n   1
一  

) =. i f . n   m   1  
⑤ 

若 此时存在  ,   , …,   使 
1 +  2 +… +   <1 ,  
则 
1  
—   —

,   1一 
l = — —  一 

Xi  

> 

L  

_ +   二笪 ( 把⑤代人)
. 

㈩ 骞 铲  n   ( 1 , 一   ) ≥ c   n  “ ;   c 2   垂 ( 去 一   ) = i f . n   m   1   “   骞 瓤 ≥ 1 .  
I  

⑥  考虑(   +   +… +   )   展开 式 中 的项 

数( 同类 项 不合 并 ) 及 每 个 字母  出现 的次 
数. 因 展开 式 的每 一 项都 是 单 项 式  … 
一 —  

许 ( P 1 + P 2 +… + P   =m, P f 为非 负整数 ) , 故 
取  =   =… =   =1 可得 展开式 中共有 
( 1 +1 +…  1 )   =, l  

a 

≥—  _ — _=  
a? I I I   +a  

— — _  ;   .  
+ … + a 

⑧ 

应用不等式⑦ 得 


个项 . 又由 于每 个 字母 在 展 开式 中出 现 的机 

I  

一I  

一l  

一  

会 是均等 的 , 故 每个 字 母 都在 展 开式 中 出现 

( 【 n   m - I + n 。   ~+ + . . ‘ + n 。   )   一 ( 【   a   7 - 一   )  

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2 0 0 3 年 第 2期 

1 5  



道国家集训队考试题的几点探索  
闵  飞 
( 浙江 省 =f l 中学 , 3 1 7 1 O 0 )  

题目


给定正 △ A B C , D是 B C边 上任意 

O  0 . 上 .  

点, △ A B D 的外 心 、 内心 分 别 为 0 , 、 , , ,  

同理 , 0  ,   均 
在 O  0 2上 .  

△A D C 的外 心 、 内心分别 为 0   、 , 2 , 直线 0 。 , 。   与0   , 2 相交 于 P. 试求 : 当点 D 在 B C边 上 

故 △ A O l   0 2 、  
△ DO 。 02 均是正三 

运 动时 , 点 P的轨迹 .   该题 是 2 0 0 1 年 中 国数 学奥 林 匹克 国家 
集训 队选 拔考试第 5 题. 笔 者发现 在解 答 中 ,   当证 得 P D 上B C这一 几 何 关 系后 , 在 上 述 已 
知条 件 情 况下 , 图形 中的点 、 角、 边 及 面积 关  系, 可有 如下 5 个 结论 .  
结论 1 , 。   =0。   +0 2  .   证明: 由  A O2 D =2 L C =1 2 0  ̄ ,   A I 2 D 

角形 , A O 。 D O 2 是 菱 
形.  

显 然, O  0 .与 

O  0   是 等

圆,  

图l  

0l DO2=6 0  ̄ .  
? . 。 

A , 2 02 =3 0  ̄ =   , l A , 2 ,  

. 

} 0   P.  

1  


9 0  ̄ + 去  C= 1 2 0  ̄ ,   B= 6 0  ̄ 知0 2 、 , 2 均在 

又 0 l A∥0 2 D,  
求和得 

,  

f  

&- J 

口 

每  


(   一 1 ) ( 口 . n m - I( a 2 a 3  ̄ . . 口   ) ) .  



奎下 
‘  


~ + … . ? ?+ + 口  一  

 

两边 乘 以 口 :   后移项 , 得 


口 

一   + 口 

1.  

口 ^ - 1 ( 口 ,~+ 口  ~+ …+ 口   )  
≥口  一  ( 口 n l 一  +(  m一1 ) ( a 2 " 口 3 …口   ) ) .  

对推广命 题取 m= 2 ; 3 , …或  = 3 , 4 , … 
可得 出一批 不等式 .  

开 m方 后变式 即得⑧ . 同理有 

参 考文 献 :   [ 1 ] 第4 2 届  中国代 表 队 。 第4 2 届 啪 试 题 解  答[ J ] . 中等数学 , 2 0 0 l ( 5 ) .   [ 2 ] 魏维 , 等. 第4 2 届 国际 数学 奥林 匹 克解 答 集 锦  [ J ] . 中等数 学 , 2 O 0 2 ( 2 ) .  

口 : 一  +(   一1 ) a l …a ‘ 一 l a i + l …a  

≥■ 
口 

—— 

————百
一   + … + 口  一  

?  

一   + 口 


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