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活用特殊化 速解竞赛题


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3 6  

中学 数 学 研 究 

2 0 0 8年 第 6期 

活 用 特 殊 化  速 解 竞 赛 题 
江苏省灌南县教育局教研 室  ( 2 2 2 5 0 )   李太敏 
“ 成亦 小题 , 败亦小题” , 在

数 学 考 试 中, 人 们  整数 , 且 R>   >Y>z , 若 R,  , y , z 满足方程 1 6 ( 2  
+2  +2  +2   ) =3 3 0 , 贝 0   R=   .  

已越 来越认 识 到 客 观 题 的 重 要 性 , 从 某 种 意 义 上  讲, 客观题甚 至 比主 观题 还 要 重 要 , 快 速 而 准确 地  解答 客观题 , 已成 为 每 一 位 考 生共 同追 求 的 目标 ,  
而要 达 到这 个 目标 , 就 应 掌 握 解 题 的导 航 器 ——  “ 特殊 化”法 , 它是 客 观题解 答 中 的首选 办法 , 具 有 

解: 将  分解 为“ 2的幂 ”的和 , 可得 

=1 6  

+ 4 + 丢 +   1 , 即 2   + 2   + 2   + 2   = 1 6 + 4 +   1 +  
÷, 由此可得 R =4 .  
3 . 取 特殊变 量 

不可 或缺 的作 用. 本 文试 以一 些 和 高考题 相 近 的竞  赛题 中的客 观题 为 例 , 来 说 明 如何 活用 特 殊 化 法 ,   来速 解竞赛题 .  
1 . 举反例 

变量 是数 学 的重要 特征 , 在 含有 变量 且恒 成立 

的式 子 中 , 如若 直 接 求 解 比较 困难 , 常 常会 借 助于 
特殊 变量 , 产生相关 结论 , 从而使 问题得 以解决.  

要 肯定一 个 命题 , 常需 严 谨 的 推 导 ; 而要 否 定 


命题 , 只需“ 轻 轻 地 ”举 出 一 个 反 例 即 可 , 能 有  例1 ( 1 9 9 8年全 国数学竞 赛 )   设命 题 P: 关 于 
的不 等式 口 1   +b 1   +c 1>0和 a 2 X  +b 2 x+c 2>  

“ 四两拨 千斤 ”之效.  

例3 ( 1 9 9 4年合肥 数学 竞 赛 )   函数 Y =- 厂 (  )   对 一切实 数 有定 义 , 具 有性质 I 厂 (  ) I ≤1 并且对 


任 意实数  ,   均满足 等式 厂 (   +   )+ 厂 (   一  )  


2 [ 厂 (   )一1 ] c o s 2 x  +2 , 则 Y=- 厂 (  )的解析 表达 
。  
— —

0的解集相 同 ; 命题 Q:   :  
( 正2   c , 2  

:   .则命题 Q .  
C2  

式是

A. 是命题 P的充分必 要条件 ;   B . 是命 题 的充分条 件但非 必要条 件 ;   C. 是命题 的必 要条件但 非充 分条件 ;   D. 既不 是命题 P的充分 条件 也不 是命 题 P的 
必 要条件 .  
解: 取口 l=b 1=c 1=1 , 口 2=b 2=c 2=一1 , 贝 0  
b 1
: 了-
( 正 2   f J 2  
:  

解 : 令  :  + 予  =   7 1 " , 可 得 , (   ) +  
+ 

) =2 ,而 I 厂 (   )I ≤1 ,故 厂 (   )=  
) = 1 , 因 而 所 求的 解 析 表达 式 是厂 (   ) = 1 .  

+ 

4 . 尝试 前几项 

当问题 中的项数 较 多或数 字较 大 , 而 问题 的规 

C2  

成立 , 即命题 Q成 立 , 此 时关 于 的不 

律一 时又不 易发 现 时 , 往 往 可 尝 试 求 出前 几 项 , 看 
看能 否发现其 中可 寻的规律 .  

等式 a I   +b i   +c 1>0的解 集为实 数集 , 而a 2 x  +   b 2 x+c  >0的解集 为空集 , 即命 题 P不 成立 ; 而 当  取口 1=b 1=c I=1 , 口 2=b 2= 1 , c 2=2时 , 关 于 

例4 ( 1 9 8 8年 美 国数学 邀 请赛 )   对任 意 的正 
整数 J i } , 定 义  ( J i } )为 J i } 的各位数 字和 的平方 , 对于  ≥2 , 令  ( J i } )=   一 。 ( J } i ) ) , 则  ( 1 1 )的 值 为 

的不等式 口 l   十b i   +c l>0和 a 2 X  +b 2 x+c 2>0   的解 集均为 实数集 , 但  :  
口 2   D2  

:   不成 立. 综上 ,  
C2  

解:  ( 1   1 )=4   ( 1 1 )=  (  1 1 ) )=  ( 4 )=   1 6   ( 1   1 )=   ( 1 1 ) )=  ( 1 6 )=4 9 . f 4 ( 1 1 )=   (  ( 1 1 ) )=   ( 4 9 ):1 6 9   ( 1 1 )=   ( 1 6 9 ):   2 5 6   ( 1 1 )=  ( 2 5 6 )=1 6 9 , 由此 可得  ( 1 1 )=  

应选答 案 D.   2 . 取 特殊结构 

通过 观察 、 研究 问题 问的 结构 特征 , 构 造 出与 

问题相符 合的结 构 , 通 过 两 相 对照 , 也 许 能 发 现 解 
题 之规律.  

{   ; , c n > 6   , 故   哪 c 1 1   的 值 为 ? 6 9 .  
5 . 找特殊 角 

例2 ( 2 0届江 苏省数学 竞赛 )   已知 R,  , Y , z 是 

通 过找 出符 合题 意 的特殊 角 , 代人 到待 求 的式 

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中学 数 学 研 究 

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子中, 对 于求 出客观题 的答案 而 言 , 既快 又准 , 往 往 
能起 到事半 功倍之效 .  

题 获得 圆满 解决.  

例8 ( 1 9 9 4年全 国数学 竞赛 )   设  , Y∈  

例5 ( 1 9 9 8年 河 南数 学 竞赛 )   已知 O t +卢 =  

测  
1+ t a n a +t a  

筹 
—t a n at a  

=  
1+t a nl 5。  

[ _ 手 , 手 ] , 。 ∈ R , 且 {   。 + + s i   n i   x   -   。 2   a   + = 。 0 : 。 , 则  
C O S (   +2 ) , )的值 为  .   +s i n x , 它 在 
解: 消去 0 , 可 得  +s i n x=一8 y  一s i r L 2 y , 不妨 

解 :不 妨 取 O t= 0 。 , J B = 1 5 。 ,   则 可 得  二   璺   二   璺   旦二   璺   璺   一!二   璺   :   =t a nf 4 5。  
1 5 。 )= t a n 3 0  ̄=, /   3 -


构 造 “函 数 模 型 ” ; 厂 (  ) =  

【 一 手 , 手 】 上 单 调 递 增 , 由  ) =  一 2 y ) 得   = 一  
2  , 故C O S (   +2   )的值为 1 .  

. 

6 . 找极 端情况 

例9 ( 2 0 0 1 年 湖南数学 竞赛 )   计 算 
3   4  

在各种 特殊 情况 中 , 更 为特 殊 的是其 中 的极 端  情况, 它往 往没 有 被 引 起 足 够 的重 视 , 从 而也 就 会  使 正确 的思 路“ 擦肩 而过 ” .   例6 ( 2 0 0 2年全 国数学竞 赛 )   已知. 厂 (  )是 定 

+   1   1+ 2   1+3   1  
2 0 01  



 

1 9 9 9   1+2 0 0 0   1 +2 0 0 1   1   的值 为  分析 与解 答 : 本 题 不 易 直 接求 和 , 需 转 化 成 能 

义在 R上 的函数  厂 ( 1 )= 1 , 且 对 任 意  ∈ R 都 有 
/   +5 )≥/ ' (  )+5  ' (   +1 )≤/ ' (  )+1 , 若g (  )  


求 和 的 模 型 , 由 于   n   f 十 ( n 十 旱 l    丽 J   f 十 ( n 十 Z   J   f    
翌±   一   !   一   翌±   一   n ! ( n+2 )   n ! ( n+2 )   ( n+2 ) !   ( n+1 ) !  
一  

厂 - (  )+1一  , 贝 0   g ( 2 0 0 2 )=  

.  

分 析与解 答 : 本 题 已知 的是 不 等 式 , 能 否推 出  极 端情 况“ 相 等”成立 呢? 由g (  )= - 厂 (  )+1一  得 

)=g (  )一1+  分别代 人到 
5 ,   +1 )≤  

+ 5 )≥   )+  
… - I -

{ 可, 所 以 原 式 = (   1 一   1 ) = (   1 一 者 ) +  
,   1  
l …

)+1 得: g (  + 5 )≥g (  )以及 g (  

】  

、  
I =

1  


1  
 

+1 )≤g (  ) , 因而 g (  )≤ g (  +5 )≤g (  + 4 )≤   g (   +3 )≤ g (   +2 )≤ g (   +1 ) , 而g (   +1 )≤  

2 0 0 0   1   2 0 0 1   1 /  

2   2 0 0 1   1 ‘  

8 . 赋 特殊值 

g (  ) , 由此可 得 g (   +1 )=g (  ) , 故g (  ) 是以1 为 

赋值法 在 “ 解 决系数 的和 ” 一类 问题 时 , 是一 种  屡试不 爽 的常用方 法 , 它 能迅 速得 沟 通数 与式 之 间 
的联 系.  

周期 的周期 函数 , 则g ( 2 0 0 2 )=g ( 1 )= - 厂 ( 1 )=1 .   例7 ( 1 9 9 9 年全 国数学竞 赛 )   已知正整 数 n 不  超过 2 0 0 0 , 并且 能表示 成不 少于 6 0 个连 续 正整数 之 
和, 这样 的 n的个 数是 

例1 0 ( 2 0 0 5年全 国数学竞赛 )   将关 于  的多  项式/   )= 1一  +   一  。+… 一   +  。 表示成 
关 于 的多项式 g ( Y )=0 o +O , I Y+a 2 y  +… +a 1 9 y  
+ a: o y 2 c ’其


解: 设 正整数 n可 表示 为 以 r 2为 首项 的连续 k /   个正 整数 的和 , 不妨 考 虑 它 的极 端 情 况 “ 最小值 ” :  

中Y  

一4, 贝 0   a o+a l + … +a 2 o  

它 的最小值是 以 1为 首项 的 连续 k个 正 整数 的 和 ,  
:  m +  
二 

解 :由 等 比 数 列 的 求 和 公 式 可 得 - 厂 (  ) =  

≥  
二 

, 故 

≤  

2 0 0 0 , 得6 0≤ k≤6 2 , 当 k=6 0时 , 由 n≤ 2 0 0 0可 

_ , 由 已 知   =   一 4 得   = Y + 4 代 人 到 上 式 得  
g (  )=  
… + al 9 y   +a 2 o Y2 o


得r 2≤3 / , 此 时 n的值分 别为 1 8 3 0 , 1 8 9 0, 1 9 5 0 ; 而 当 

, 又g (  )=O , 0+a  ̄ y+a 2 y 2 +  

k=6 1 时, 由n≤2 0 0 0 可得 r 2 / ≤2 , 此时 n 的值分别 
为1 8 9 1 , 1 9 5 2 ; 当k=6 2 时, 由 n≤2 0 0 0可得 r 2≤ 1 / ,  

只要令 Y =1 , 即可求 出 0 0 +0 l  
‘  



此时 n的值 为 1 9 5 3 , 综上 所述 , 符合条 件 的 n的个数 
是 6个.   7 . 构 造特殊模 型 

+ 。2 0  

—   一

1 +5  

9 . 用特殊 代换 

借助 于题 中的结构 特征 , 将 其 中的部 分结 构 进  行特 殊代换 , 由此 可 将 问题 进 行 转化 或 简 化 , 使 问 
题顺 利 获得解 决.  

当一个 问题 从 正 面突破 比较 困难 时 , 常可通 过 

构造模 型 , 借 此转 换解题 条 件 , 增加 解题 途 径 , 使 问 

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中学 数 学研 究 

2 0 0 8年 第 6期 

例 1 1 ( 1 9 9 8年 瑚 甬数 字 霓 癸 )   设  、 Y ∈ R ,  

且  +9 8
V 



1 . 则  +Y的最小 值是 


 

.  

及 厂 (   ) +   } 署 ) = } 笔 , 将 此 两 式 相 加 并  
代 入到 原等式可 得  )=   .   1 O . 找特殊 的范 围 

解: 将“ 9 1
, .

+   :1 ”中的t ? 1 , , 代 入到 “  + y ”中 
V  。  

可得 ( 即“ 1的代 换 ” ) :   +Y = 1× (   +Y )=  

范 围问题 历来 是数 学考 查 中的重 点 , 而如 能观  察 出 问题 中特殊 的范 围 , 则必 能使 问题 的形 式 得 以  简化, 有 时甚至 能收到奇 效.  

f   9 1+ 堕) (   + y ) : 1   1 7 +   + 1 9 y ≥1 1 7 + 1 4  
、   V ,   ’ ,  


取 等 号 时 ,  =  成 立 , 即 手 = √   时 ,  

+Y的最小值 是 1 1 7+1 4   例l 2 ( 第1 2届韩 国数学 奥林 匹克 )   设对满 足 

例l 3 ( 1 9 9 9 年广西数学竞赛)   设[ t a n x ] 表示  不 超过 t a n x的最 大整数 , 则方程 [ t a n x ]=2 c o s   的  解为
. 
— —

解: 由于 2 c o s   具 有特 殊 的范 围 [ 0 , 2 ] , 它“ 比  较小” , 故[ t a n x ] 只能取 2 、 1 、 0 , 当[ t a n x ]=2时 , 则  C O ¥   :1 , 此时 t a r t x=0 , 不 可 能成立 ; 而当 [ t a n x ]  
=1 时, c 0 s   =了 1
,  

I  I ≠1 的 所有 实数   , 函 数  ) 满足   \  十 l 1 ,   +  

/ T 、 : } l  ) =   . 求 所 有可 能的  ) 为 — —.  
—  

, 

qT =  7 r ± 



k∈Z; 当[ t a n x ]=  

得C O S  ̄=0 . , 此时 t a n x 不存在, 综上所述 , 方程  解 : 将  暑 ) +   }   ) =  中 的   分 别 用   0时, [ t a n x ]= 2 c o s   的解为  =  7 r ± 等, k∈z .   }  代 换 , 可 对 应 地 得 到   }   ) +  ) =  


双 曲线 内接 三 角 形 重 心 的 一 个 性 质 
台州市洪家 中学  ( 浙江 , 3 1 8 0 1 5 )   邬天泉 
( 数学 问题 3 1 8 . 2) 试证 : 双 曲线 的内接三 角形 
的重心 不可能是 双 曲线 的 中心.  
证明: 用反证 法 

一  一 ≥ 2   一    一 Y 3 —   2 ( x  ̄ x z — Y   6 l Y : z 2 ? 。 ) J   = 2 厶。 . ? .   ‘ ≥ 2 一 一   b ~  E = l l , ' . 一 . .    
?









一  



一  


假设 双 曲线  2


 

则 4 s  

=  

?O A   2一  





l ( 口  

(  


.  

。=(  +  ) (   ; + y ; ) 一 (  : + y 。 Y : )  

>0 , 6 >0 ) 内 接 三 角 形 

AA   A : A , 的重 心是 双 曲 线 的 中 
心, 这里 A   (  , Y   ) ( i= 1 , 2 , 3 )是 双 曲 线上 任 意 三 

点, 则 

(   y z —   z y   ) 。 = 口 。 6 。 (  ? 鲁 一  ?  )   : 口   6   I ( x  ̄ 2 . 一 Y 6 l Y   2 , /   一 (   2 一   b 2   J 1   k f 生 2 ) 】  
2 一 



f   a 2 一   Y i = 1 , (   = 1 , 2 , 3 )  
1   1 +  2 +   3   =0  
Y1+ Y 2+Y 3 =0  

: 口   6   [ ( 一   )   一 ? 】 = 一 ÷ 口  
得s   。   :=一   口   6   , 矛 盾. 所 以双 曲线 的 内接三 角 
形 △A, A , A  的 莺   不 可 能 县 双 曲 线 的 中 

? . .

≥ + ≥ 一  一   Y 2 = 2 , 得  
6   = 2,  


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