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圆锥曲线解析版

时间:2013-12-18


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2013-2014 学年度 12 月练考卷

圆锥曲线
考试范围:圆锥曲线;考试时间:120 分钟;命题人:张磊 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)

评卷人

得分 一、选择题

1.F1,F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b, b ? 0) 的左、右焦点,过左焦点 F1 的直线 l 与 a 2 b2

双曲线 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点,若 | AB |:| BF2 |:| AF2 |? 3: 4 : 5 ,则双曲线 的离心率是( A. 13 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : ? | AB |:| BF2 |:| AF2 |? 3: 4 : 5 , 令 AB ? 3m(m ? 0) , | BF2 |? 4m , ) B. 15 C.2 D. 3

| AF2 |? 5m ,
? AB ? BF2 ,
由双曲线的定义 | AF2 | ? | AF1 |? 2a , | BF2 | ? | BF1 |? 2a ,

?| AF1 |? 5m ? 2a , | BF1 |? 4m ? 2a ,
? | BF1 |?| AF1 | ? | AB | ,
? 4m ? 2a ? 5m ? 2a ? 3m ,即 k ? a , ? 由勾股定理知, (6a) 2 ? (4a) 2 ? (2c) 2 ,求得
故 e ? 13 . 考点:双曲线的定义,性质.

c , ? 13 (负值舍去) a

试卷第 1 页,总 26 页

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x2 2.已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 ? y 2 ? 1 的离心率为 ( ) m
A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

D.

5 或7 6

【答案】C 【解析】 试题分析:因为,实数 4, m,9 构成一个等比数列,所以, m ? ? 4 ? 9 ? ?6 .

x2 x2 2 当 m ? 6 时,圆锥曲线 ? y ? 1为 ? y 2 ? 1, m 6
b2 30 表示焦点在 x 轴的椭圆,其离心率 e ? 1 ? 2 ? ; a 6
当 m ? ?6 时,圆锥曲线

x2 x2 ? y 2 ? 1 为- ? ? y 2 ? 1 表 示 焦 点 在 y 轴的双曲线,其离 m 6

心率为 e ? 1 ?

b2 ? 7 .故选 C. a2

考点:椭圆、双曲线的几何性质. 3. 中心在原点的双曲线, 一个焦点为 F (0 , 3) , 一个焦点到最近顶点的距离是 3 ? 1 , 则双曲线的方程是( A. y ?
2

) B. x ?
2

x2 ?1 2

y2 ?1 2

C. x ?
2

y2 ?1 2

D. y ?
2

x2 ?1 2

【答案】A 【解析】 试题分析:由焦点为 F (0 , 3) ,所以,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c = 3 ,焦点到 最近顶点的距离是 3 ? 1 , 所以,a = 3 - ( 3 ?1) =1, 所以,b ? 所以,双曲线方程为: y ?
2

c2 ? a2 = 2 ,

x2 ? 1 .本题容易错选 B,没看清楚焦点的位置,注意区分. 2

考点:双曲线的标准方程及其性质. 4.设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点,若 a 2 b2


| PF1 | ? | PF2 |? 6a ,且 ?PF1 F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为(
A. 2 【答案】C
试卷第 2 页,总 26 页

B.

3 2

C. 3

D.

6 2

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【解析】 试题分析:不妨设 P 是双曲线右支上的一点,根据定义可得 PF1 ? PF2 ? 2a ,又

| PF1 | ? | PF2 |? 6a , 所 以 PF1 ? 4a, PF2 ? 2a , 又 F1 F2 ? 2c 且 c ? a , 所 以
?PF1 F2 的 最 小 内 角 为 ?PF1 F2 ? 30? , 根 据 余 弦 定 理 可 得
cos ?PF1 F2 ?

?4a ?2 ? ?2c ?2 ? ?2a ?2
2 ? 4a ? 2c

?

3 c , 又 e ? , 即 c ? ae 代 入 化 简 可 得 2 a

e? 3.
考点:双曲线的定义、解三角形的余弦定理. 5.已知 F1 , F2 分别是椭圆

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,过 F1 垂直与 x 轴的直 a2 b2
)

线交椭圆于 A, B 两点,若 ?ABF2 是锐角三角形,则椭圆离心率的范围是( A. (0, 2 ? 1) 【答案】C 【解析】 B. (1, 2 ? 1) C. ( 2 ? 1,1)

D. (0,

2 ) 2

试题分析: ?ABF2 为锐角三角形,只需保证 ?AF2 B 为锐角即可。根据椭圆的对称性, 只需保证 ?AF2 F1 ?

?
4

即可,而 tan ?AF2 F1 ?

AF1 b2 ? ? 1 ,即 b2 ? 2ac ,整理得 F1 F2 2ac

c c ( )2 ? 2 ? 1? 0,解得 e ? 2 ? 1 ,又因为椭圆的离心率小于1 ,故选 C. a a
考点: 1、椭圆的性质,2、离心率的概念.

y2 6 . 已 知 双 曲 线 x ? 2 ? 1 (b ? 0) 的 一 条 渐 近 线 为 y ? 2 x , 且 右 焦 点 与 抛 物 线 b
2

y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点重合,则常数 p 的值为 (
A. 3 【答案】D 【解析】 B. 5 C. 2 3

) D. 2 5

y2 试题分析:双曲线 x ? 2 ? 1 ? b ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ?bx ,它的其中一条渐近线 b
2

方 程 为 y ? 2x , 则 b ? 2 , 所 以 双 曲 线 x ?
2

y2 ? 1 ?b ? 0? 的 半 焦 距 b2

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?p ? c ? 1 ? b 2 ? 1 ? 22 ? 5 ,抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点坐标为 ? , 0 ? ,因此有 ?2 ?

p ?c? 5? p?2 5. 2
考点:双曲线的渐近线、焦点、抛物线的焦点
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1 F2 为边作正 △MF1 F2 , a 2 b2 若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )

7.已知 F1 , F2 是双曲线

(A) 4 ? 2 3 【答案】D 【解析】

(B) 3 ? 1

(C)

3 ?1 2

(D) 3 ? 1

试题分析:因线段 MF1 的中点 P 在双曲线上,故 P 点与 F2 的连线垂直于 MF1 , 又因为 ?PF1 F2 ?

?
3

,所以在 Rt ?PF1F2 中, PF1 ? c , PF2 ? 3c

根据双曲线的定义 PF2 ? PF1 ? 2a ,? 3c ? c ? 2a ? e ? 考点:双曲线的性质.
2

c ? 3 ? 1. a

8. 已知双曲线的一个焦点与抛物线 x =20y 的焦点重合, 且其渐近线的方程为 3x ? 4y=0, 则 该双曲线的标准方程为( )

x2 y2 ? ?1 16 A. 9
【答案】C 【解析】

x2 y2 ? ?1 9 B. 16

y2 x2 ? ?1 16 C. 9

y2 x2 ? ?1 9 D. 16

试题分析:抛物线 x ? 20 y 的焦点为(0,5) ,又双曲线的渐近线方程为 3x ? 4 y ? 0 ,
2

16 y 2 9 x 2 ? ? 1(t ? 0) 2 2 t 则 由 题 意 设 双 曲 线 的 方 程 为 (4 y) ? (3x) ? t (t ? 0) , 即 t ,
?

y 2 x2 t t ? ?1 ? ? 25 16 9 ,解得 t ? 144 ,所以双曲线方程为 9 16 .

考点:抛物线方程、双曲线方程及其性质. 9. 抛 物 线 A.5 【答案】A 【解析】

y 2 ? 12 x 上 与 焦 点 的 距 离 等 于 8 的 点 的 横 坐 标 是 (
B.4 C.3 D.2

)

试题分析:抛 物 线 因为,抛 物 线 即抛物线

y 2 ? 12 x 的焦点为(3,0) ,准线方程为 x ? ?3,

y 2 ? 12 x 上 的 点 与 焦 点 的 距 离 等 于 8 ,

y 2 ? 12 x 上 的 点 与 准 线 的 距 离 等 于 8,

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所 以 , x ? (? 3 )? 8x ? ,故选 A。 , 5 考点:抛物线的定义 点评:简单题,抛物线上的点满足,到定点(焦点)与到定直线(准线)距离相等。 10.设抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,
2

l 与 C 交于 Q、R 两点,若 S 为 C 的准线上一点, △QRS 的面积为 8 ,则 p ? (
(A) 2 【答案】C 【解析】 试题分析: 因为直线 l 过焦点 F ? (B) 2 (C) 2 2 (D) 4



学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

p ?p ? ,与抛物 , 0 ? 且 l ? x 轴 ,所以 l 的方程为 x ? 2 ?2 ?

线方程联立求出 Q ?

p ?p ? ?p ? , ? p ? , R ? , p ? ,所以 QR ? 2 p 又点 S 在准线 x ? ? 2 ?2 ? ?2 ? 1 ?2p? p ? 8 ? p ? 2 2 . 2

上,所以三角形 SQR 边 QR 上的高的长为 p ,所以

y

2 l C : y ? 2 px ? p ? 0 ? R

F
O S

x

Q

考点:抛物线定义与性质及直线与抛物线间关系的运算. 11.在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5 ,则该抛物线的
2

准线方程为( A. x ? 1 【答案】C 【解析】

) B. x ?

1 2

C. x ? ?1

D. x ? ?

1 2

试题分析:依题意,

p p ? 4 ? 5 ,所以 p ? 2 ,故准线方程为 x ? ? ? ?1 . 2 2
2

考点:抛物线的性质. 12. 若动圆的圆心在抛物线 x ? 12 y 上, 且与直线 y ? 3 ? 0 相切, 则此圆恒过定点 ( A. (0, 2) 【答案】C 【解析】 试题分析: 直线 y ? 3 ? 0 为抛物线的准线,由抛物线定义知点 P 到直线 y ? ?3 的距离与 B. (0, ?3) C. (0,3) D. (0,6) )

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到点 F (0,3) 的距离相等,因此此圆恒过定点 (0,3) .

考点:1.抛物线的定义;2.圆的定义. 13.已知点 F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 P 是双曲线上的 a 2 b2
) D. a 2

一点,且 PF1 ? PF2 ? 0 ,则 ?PF1 F2 面积为 ( A. ab 【答案】C 【解析】 B.

???? ???? ?

1 ab 2

C. b 2

试题分析:因为 PF1 ? PF2 ? 0 ,所以 PF1 ? PF2 ,不妨设点 P 在右支上,所以会得到

???? ???? ?

????

???? ?

???? ???? ? ???? ???? ? ? ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? 4c 2 1 ???? ???? ? 2 ,所以 | PF1 || PF2 |? 2b ,所以 S?PF1F2 ? | PF1 || PF2 |? b 2 . ???? ???? ? ? 2 ? | PF1 | ? | PF2 |? 2a ?
考点:1.双曲线的焦点;2.向量的点乘. 14.若 F1 、 F2 为双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,∠ 4


F1 PF2 = 60? ,则 P 到 x 轴的距离为(
A.

5 5

B.

15 5

C.

2 15 5

D.

15 20

【答案】B 【解析】

x2 ? y 2 ? 1 a 2 =4, b 2 =1, 试题分析:双曲线: 4 ,
所以 a=2,b=1。c?=a?+b?=5, c ?

2,F1F2 ? 2 2 ,

根据题意|P F1 -P F2 |=2a=4,P F1 ?+P F2 ?-2P F1 ?P F2 =16, 由余弦定理得,cos F1 P F2 =

PF12 ? PF2 2 ? F1F2 2 PF12 ? PF2 2 ? F1F2 2 1 , ? , 2PF1 ? PF2 2PF1 ? PF2 2
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由正弦定理 sinPF1F2 ?

PF2sin600 , F1F2

P 到 x 轴距离= PF1 ? sinPF1F2 ? PF1 ?

15 PF2sin600 = F1F2 5

故选 B。 考点:双曲线的定义及其几何性质,正弦定理、余弦定理的应用。 点评:中档题,本题综合性较强,综合考查双曲线的定义及其几何性质,正弦定理、余 弦定理的应用。注意数形结合,利用图形发现边角关系。 15.已知椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

【答案】B 【解析】 试题分析:椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列,即 2a,2b,2c 成等差数列, 所以, 2 ? 2b ? 2a ? 2c, 2b ? a ? c ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 , e ? 所以, (5e ? 3)(e ? 1) ? 0, e ?

c , a

3 ,选 B。 5

考点:等差数列,椭圆的几何性质。 点评:小综合题,通过椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列,确定得到 a,b,c 的一种 关系,利用,椭圆的几何性质,确定得到离心率 e。 2= 16.设抛物线 C:y 4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则 ) l 的方程为( (A)y=x-1 或 y=-x+1 (B)y=

3 3 (X-1)或 y= ? (x-1) 3 3

(C)y= 3 (x-1)或 y= ? 3 (x-1)

(D)y=

2 2 (x-1)或 y= ? (x-1) 2 2

【答案】C 【解析】由题意,可设 | BF |? x ,则 | AF |? 3x ,设直线 l 与抛物线的准线相交于点 M, 则由抛物线的定义可知:| MB |? 2 x ,所以直线 l 的倾斜角为 60? 或 120? ,即直线 l 的斜 率为 ? 3 ,故选 C. 【考点定位】本小题主要考查抛物线的定义、直线方程的求解、数形结合以及转化的数 学思想,考查分析问题、解决问题的能力. 17. 设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 , 是 C 上的点,PF2 P a 2 b2

⊥ F1 F2 ,
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∠ PF1 F2 = 30? ,则 C 的离心率为(



(A)

3 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

3 3

【答案】D 【解析】由题意,设 | PF2 |? x ,则 | PF1 |? 2 x , | F1 F2 |? 3x ,所以由椭圆的定义知:

2a ? 3x ,又因为
2c ? 3x ,所以离心率为
3 ,故选 D. 3

18.已知抛物线 C: y ? 8 x 与点 M(-2,2) ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,
2

B 两点,若 MA ? MB ? 0 ,则 k=(

???? ????



A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

【答案】D 【解析】由题意知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0) ,则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 将其代入 y ? 8 x ,
2

得 k x ? 4(k ? 2) x ? 4k ? 0 .
2 2 2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

4(k 2 ? 2) , x1 x2 ? 4 .① k2

由?

? y ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? y1 ? k ( x1 ? 2) ?? 1 2 ? y2 ? k ( x2 ? 2) ? y1 y2 ? k ( x1 x2 ? 2( x1 ? x2 )+4)

② ③

∵ MA ? MB ? 0 , ∴ ( x1 ? 2, y1 ? 2) ? ( x2 ? 2, y2 ? 2) ? 0 . ∴ ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0 , 即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 0 . ④ 由①②③④解得 k=2.故选 D. 【考点定位】直线与抛物线的位置关系 19.设 F1、F2 是椭圆 E:

???? ????

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,P 为直线 x ? 上一点, 2 a b 2


△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为(
试卷第 8 页,总 26 页

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【考点定位】本小题主要考查椭圆的定义、几何性质、数形结合与化归的数学思想,属 中低档题,熟练椭圆的基础知识是解答好本类题目的关键.

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

【答案】C 【解析】 试题分析:试题分析:根据题意,由于 F1、F2 是椭圆 E: 右焦点,P 为直线 x ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

3a 上一点,那么结合△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, 2 3a 3 F2F1=F2P=2c, -c ? c ? e ? ,故可知答案为 C. 2 4
考点:椭圆的性质 点评:主要是考查了椭圆的几何形性质的运用,属于基础题。 20.设 F1 , F2 分别是双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,若双曲线的右支上存在 a 2 b2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

???? ???? ? 一点 P ,使 PF1 ? PF2 ? 0 ,且 ?F1 PF2 的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率为



) B. 3 C.2 D.5

A. 2 【答案】D 【解析】

试题分析:根据题意,由于 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,若 a 2 b2

???? ???? ? 双曲线的右支上存在一点 P ,使 PF1 ? PF2 ? 0 ,且 ?F1 PF2 的三边长构成等差数列,

PF1,F1F2 , PF2 ,
|P
1








2 F2 1











F|

2

+ P ?| F 1

|

2

F= ?

|

P 2 2 ,故可知双曲线的离心率| |F , 2P 1| F

2

a-

|1 P

F| 2

为 5,故可知答案为 D. 考点:双曲线的性质 点评:主要是考查了双曲线的方程以及性质的运用,属于基础题。 21.设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆
2

过点(0,2) ,则 C 的方程为 (A) y ? 4 x 或 y ? 8 x
2

2

(B) y ? 2 x 或 y ? 8 x
2

2

(C) y ? 4 x 或 y ? 16 x
2

2

(D) y ? 2 x 或 y ? 16 x
2

2

【答案】C

p p p 准线方程为 x ? ? , 则由抛物线的定义知,xM ? 5 ? , , 0) , 2 2 2 yM 2 25 5 yM 5 2 设以 MF 为直径的圆的圆心为 ( , ,又 ) ,所以圆方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 2 2 4
【解析】 由题意知:F ( 因为点(0,2) ,所以 yM ? 4 ,

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又因为点 M 在 C 上,所以 16 ? 2 p(5 ? 为 y ? 4 x 或 y ? 16 x ,故选 C.
2

p ) ,解得 p ? 2 或 p ? 8 ,所以抛物线 C 的方程 2

2

【考点定位】本小题主要考查抛物线的定义、方程、几何性质以及圆的基础知识,考查 数形结合、方程、转化与化归等数学思想,考查同学们分析问题与解决问题的能力. 22.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A, B 4 3
) D. 16

两点,则 BF2 ? AF2 的最小值为( A.

19 2

B. 11

C. 12



















? AF2 ? AF1 ? 2a ? 4 ? ? BF2 ? AF2 ? 8 ? AF1 ? BF1 ? 8 ? AB ? ? BF2 ? BF1 ? 2a ? 4 ?
显然,AB 最短即通径, AB min ? 2 ?

b2 ? 3 ,故 ? BF2 ? AF2 a

?

min

? 11 ,故选 B。

考点:本题主要考查双曲线的定义,几何性质。 点评:中档题,涉及双曲线的焦点弦问题,一般要考虑双曲线的定义,结合其它条件, 建立方程组求解。 23.已知点 P 是抛物线 y ? ?8 x 上一点,设 P 到此抛物线准线的距离是 d1,到直线
2

x ? y ? 10 ? 0 的距离是 d2,则 dl+d2 的最小值是(
A.

) D.3

3

B. 2 3

C. 6 2

【答案】C 【解析】 试题分析: 因为 P 到此抛物线准线的距离等于点 P 到焦点的距离, 所以 dl+d2 就等于点 P 到焦点的距离加上到直线 x ? y ? 10 ? 0 的距离,所以 dl+d2 的最小值为焦点(-2,0)到 直线 x ? y ? 10 ? 0 的距离, ? d1 ? d 2 ?min ?

?2 ? 0 ? 10 2

? 6 2 ,因此选 C。

考点:抛物线的定义;抛物线的简单性质。 点评:此题主要考查抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。我 们做题时,要把“到焦点的距离”和“到准线的距离”进行灵活转化。

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点 F1 作直线 l 交椭圆于 A, B 两点, F2 是椭圆右焦点,则 24.过椭圆 2
?ABF2 的周长为(
A、 8 ) B、 4 2 C、 4
试卷第 10 页,总 26 页

D、 2 2

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

【答案】B 【解析】 试 题

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

【答案】B 【解析】 试题分析:由椭圆的定义知: AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 2a ? 2 2 ,∴ ?ABF2 的周 长为 AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 4 2 ,故选 B 考点:本题考查了椭圆的定义 点评:熟练掌握椭圆的定义是解决此类问题的关键,属基础题 25.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△
2

OAF(O 为坐标原点)的面积为 4, 则抛物线方程为 A. y ? ? 4 x
2

B. y ? ? 8 x
2

C. y ? 4 x
2

D. y ? 8 x
2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【答案】B 【解析】

a y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为( 4 ,0), 试题分析:抛物线 a a 则直线 l 的方程为 y=2(x- 4 ),它与 y 轴的交点为 A(0,- 2 ), 1 a a ? | | ? | |? 4 4 所以△OAF 的面积为 2 2 ,解得 a=±8.
所以抛物线方程为 y2=±8x, 故选 B. 考点:本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质,直线方程的点斜式。 点评:小综合题,根据抛物线方程表示出 F 的坐标,进而确定直线 l 的方程,求得 A 的 坐标,利用三角形面积公式,建立等式求得 a,从而求得抛物线的方程,属于利用待定 系数法解题的基本思路.

x2 y 2 26.椭圆 =1 上一点 M 到左焦点 F 1 的距离为 2, N 是 MF 1 的中点,则 ON =( ) ? 25 9
A. 2 【答案】B 【解析】 试题分析:解:∵椭圆方程为 B. 4 C. 6 D.

3 2

x2 y 2 ? ,∴椭圆的 a=5,长轴 2a=10,可得椭圆上任意一 25 9

点到两个焦点 F1、F2 距离之和等于 10.

∴|MF1|+|MF2|=10,∵点 M 到左焦点 F1 的距离为 2,即|MF1|=2,∴|MF2|=10-2=8,∵△

试卷第 11 页,总 26 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

MF1F2 中,N、O 分别是 MF1、F1F2 中点,∴|ON|=

1 |MF2|=4.故选 B. 2

考点:三角形中位线定理和椭圆的定义 点评:本题考查了三角形中位线定理和椭圆的定义等知识点,考查学生的计算能力,属 于基础题 27.椭圆 A.3 【答案】D 【解析】 试题分析:设与 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线为 x ? 2 y ? c ? 0 ,与椭圆
x2 y 2 ? ? 1 联立 16 4 x2 y 2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( 16 4



B. 11

C. 2 2

D. 10

方 程 得 2 x 2 ? 2cx ? c2 ? 16 ? 0 , 由 ? ? 0 得 c ? ?4 2 ? x ? 2 y ? 4 2 ? 0 与
x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 10

考点:直线与椭圆的位置关系及点线间的距离 点评:本题将椭圆上的点到直线的距离转化为平行线间的距离,要满足距离最大或最小 只需满足直线与椭圆相切 28. 已知抛物线 C: y ? 24 x ,
2

直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与C的交点为A、 B两点,

则 AB 的最小值为( (A)6 【答案】D 【解析】 (B)12

) (C)18 (D)24

试题分析:由于抛物线 C: y ? 24 x ,
2

直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与C的交点为A、

B两点,过焦点的所有弦中通径长最短则 AB 的最小值为 24,选 D. 考点:抛物线的性质 点评:解决的关键是理解过焦点的所有弦中通径长最短,可知结论,属于基础题。 29.抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点距离为 5,则抛物线 方程为( ) A. x ? 8 y
2

B. x ? ?8 y
2

C. x ? 16 y
2

D. x ? ?16 y
2

【答案】C 【解析】 试题分析: P(m, 点 1)到焦点距离为 5, 所以 P(m, 1)到准线的距离为 5, 准线为 y ? ?4 ,

?

p ? 4 ? p ? 8 ,抛物线方程为 x 2 ? 16 y 2

考点:抛物线定义及方程 点评:抛物线定义:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,由定义可实现两距 离的转化 30 . 已 知 F1 , F2 是 椭 圆 x ? 2 y ? 6 的 两 个 焦 点 , 点 M 在 此 椭 圆 上 且
2 2

试卷第 12 页,总 26 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

?F1 MF2 ? 60? ,则 ?MF1 F2 的面积等于(
A、 2 【答案】B 【解析】 试题分析: x ? 2 y ? 6 即
2 2

) D、 5

B、 3

C、2

x2 y2 ? ? 1 ,所以 a= c ? 6 , c ? 3 ,设 | MF1 | =t,则 6 3
2 2 2 0

在 ?MF1 F2 中,由余弦定理得, (2c) ? (2a ? t ) ? t ? 2t (2a ? t ) cos 60 ,解得 考点:本题主要考查椭圆的定义、几何性质。 点评:中档题,涉及椭圆的“焦点三角形”问题,往往要运用椭圆的定义。 31.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,A, B 是该抛物线上的两点,弦 AB 过焦点 F,且
2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

AB ? 4 ,则线段 AB 的中点坐标是(
A、 ?

) D、 ?3, 2 ?

?1 ? ,1? ?2 ?

B、

?2,1?

C、 ?1,0 ?

【答案】C 【解析】 2 试题分析:抛物线 y =4x∴P=2, 设经过点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点, 其横坐标分别为 x1,x2,利用抛物线定义, AB 中点横坐标为 x0=

1 1 (x1+x2)= (|AB|-P)=1, 2 2

故选 C. 考点:本题主要考查抛物线的定义、标准方程及其几何性质。 点评:基础题,涉及抛物线过焦点弦问题,往往要利用抛物线定义。

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,点 M 在椭圆上,若△ MF1F2 是直角三角 32.设 F1 , F2 是椭圆 25 16
形,则△ MF1 F2 的面积等于( )

A.48/5 B.36/5 C.16 D.48/5 或 16 【答案】A 【解析】 试题分析:由椭圆的方程可得 a=5,b=4,c=3,令|F1M|=m、|MF2|=n, 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①,Rt△ MF1 F2 中, 由勾股定理可得 n -m =36
2 2

②,

16 34 由①②可得 m= ,n= , 5 5 1 16 48 ∴△ MF1 F2 的面积是 ? ? 6 = 2 5 5
故选 A。 考点:本题主要考查椭圆的定义及几何性质,直角三角形相关结论
试卷第 13 页,总 26 页

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

点评:基础题,涉及椭圆“焦点三角形”问题,通常要利用椭圆的定义。

试卷第 14 页,总 26 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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第 II 卷(非选择题)

评卷人

得分 二、填空题

33







F







线

C:

x2 y 2 ? ? 1的左焦点,P, Q为C上的点,若PQ的长等于 9 16

虚轴长的2倍,

点A ? 5

, ? 在线段

上,则? 0P

Q 的周长为

P

.

Q

F

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【答案】44

A 【解析】由(5, 0)可知它是双曲线的右焦点,且 PQ = PA ? QA ? 16 而 F 为左
焦点, 由 双 曲 线 的 定 义 可 知

PF ? PA ? 6, ? QA ? 6 , PF ? QF ? PA ? QA ? 12 ? 28 QF 则P?PQF的周长为 PF ? QF ? PQ ? 44
【考点定位】本题考查双曲线的几何性质和双曲线的定义。 34.双曲线的焦点在 x 轴上,中心在原点,一条渐进线为 y ? 线上,则双曲线的标准方程是 【答案】 【解析】 试题分析:根据题意设 渐近线为 y ? .

2 x ,点 P(1, ?2) 在双曲

x2 y 2 ? ?1 2 4

x2 y2 ? ? 1 ,由于双曲线的焦点在 x 轴上,中心在原点,一条 a 2 b2

2x , 可 知

b ? 2 , 又 因 为 点 P(1, ?2) 在 双 曲 线 上 , 则 可 知 a

x2 y 2 1 4 ? ?1 , 故 答 案 为 , ? 2 ? 1 , 解 得 a 2 =2 , 故 可 知 双 曲 线 的 方 程 为 2 4 a 2 2a x2 y 2 ? ? 1。 2 4
考点:双曲线的方程 点评:主要是考查了双曲线的方程和性质的运用,属于基础题。 35.过抛物线 y ? 2 x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A, B 两点,若
2

1 1 ? ? 1 ,则 AF BF

直线 l 的倾斜角 ? ? ______ 。
试卷第 15 页,总 26 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

【答案】 【解析】

? 2? 或 3 3

1 2 ,0)设 A(x1,y1),B(x2,y2).因为过抛物线 y =2x 2 1 1 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,所以|AF|= +x1,|BF|= +x2.又因为 2 2
试题分析:由题意可得:F(

1 1 ? ? 1 ,所以|AF|<|BF|,即 x1<x2,并且直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方 AF BF
k2 1 2 2 2 程 为 y=k ( x- ) , 联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 可 得 : k x -(k +2)x+ =0 , 所 以 4 2
( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 1 1 k2 ? 2 1 ? ?1, ? 1, x1+x2= , 1x2= . x 因为 所以整理可得 1 1 AF BF k2 4 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 4 2
即整理可得 k -2k -3=0, 所以解得 k =3. 因为 0<θ ≤ ? , 所以 k= ? 3 , θ = 即
4 2 2

? 2? 或 3 3

考点:本题考查了直线的倾斜角;抛物线的简单性质. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义, 以及掌握直线与抛物线位置关系, 并且结合准确的运算也是解决此类问题的一个重要方面 36.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A, B 两点.若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程为_____________ 【答案】 y ? x 【解析】 试题分析:抛物线的方程为 y ? 4 x , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,
2

则有 x1 ? x2 , ?

? y12 ? 4 x1 ? y ? 4 x2
2 2

,两式相减得, y1 ? y 2 ? 4( x1 ? x 2 ) ,
2 2

所以

y1 ? y 2 4 ? ? 1 ,所以直线的方程为 y ? 2 ? x ? 2 ,即 y ? x . x1 ? x 2 y1 ? y 2

考点:抛物线的简单性质 直线的一般式方程 点评:本题主要考查了抛物线的简单性质.涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而 不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 9 等分,过每个分点作 x 轴的垂线交 37. 如图,把椭圆 25 16
椭圆的上半部分于 P、P 、P 、P 、P 、P 、P 、P 八个点, F 是椭圆的左焦点,则 1 2 3 4 5 6 7 8

| PF | ? | P2 F | ? | P3 F | ? | P4 F | ? | P5 F | ? | P6 F | ? | P7 F | ? | P8 F |? 1

.

试卷第 16 页,总 26 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

【答案】40 【解析】略 38.△ABC 中,B(-5,0) ,C(5,0) ,且 SinC ? SinB ? 程 .

4 SinA ,则点 A 的轨迹方 5

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x2 y2 【答案】 ? ? 1( x ? 4) 16 9
【解析】 试题分析:先利用正弦定理,将 sinC-sinB=2sinB 转化为 c-b=2a,再利用双曲线圆的 定义即可求解.利用正弦定理,可得 BA-BC=2AC=4<AC,根据双曲线的定义可知所求轨 2 2 2 迹为双曲线(到两定点的距离差为定值) ,故 2a=8,a=4,c=5, b =c -a =9,且为右支,故 所求的方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? 4) 。 16 9

考点:本试题主要考查了双曲线定义的运用,求解轨迹方程。 点评:解决该试题的关键是将角化为边,得到两边之差为定值,即 c-b=

4 a=4<10. 5

39.点 M (?3,0) ,点 N (3,0) ,动点 P 满足 PM ? 10 ? PN ,则点 P 的轨迹方程是

【答案】

x2 y 2 ? ?1 25 16

【解析】根据椭圆的定义可知,点 P 的轨迹是以点 M (?3,0) ,点 N (3,0) 为焦点,长轴

x2 y 2 ? ? 1。 长为 10 的椭圆的方程。因此而控制,动点 P 满足的轨迹方程是 25 16
40. 直线 l 过抛物线 y 2 ? x 的焦点,且 l 与抛物线交于 A, B 两点,若 | AB |? 4 ,则弦 AB 的中 点到 y 轴的距离为________ 【答案】

7 4 1 | AB |? 2 , 2

【 解 析 】 据 抛 物 线 的 定 义 可 知 弦 AB 的 中 点 到 准 线 的 距 离 等 于 根 所 以 弦 AB 的 中 点 到 y 轴 的 距 离 为 2 ? 41.设 P 为双曲线 x 2

p 1 7 ? 2? ? . 2 4 4

y2 =1 上的一点,F1、F2 是双曲线的焦点 12 若|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2 的面积为 ___________.

试卷第 17 页,总 26 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

【 答 案 】 12 【




2



因 , | F? 2 |? 2| 13 , 2 1F



|P

1

?

F|

:P ?

| 1F

P?

3

F

2

:?

? cos ?P ?

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1 F2 |2 42 ? 62 ? (2 13) 2 ? ? 0, ?△PF1F2 为直角三角 2 | PF1 | ? | PF2 | 2? 4?6

形,所以 S? ?

1 1 ? | PF1 | ? | PF2 |? ? 4 ? 6 ? 12 . 2 2

评卷人

得分 三、解答题

42.求满足下列条件的椭圆方程长轴在 x 轴上,长轴长等于 12,离心率等于

2 ;椭圆 3

( 经过点 - 6,0)和(0,8) ;椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为 10 和 4.
【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)? 2a ? 12,

y2 x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? 1 (3) ? ? ? 1 (2) ? ? 1或 ? ?1 36 20 49 40 40 49 64 36
c 2 ? a 3

? a ? 6, c ? 4

?b 2 ? 20

? 所求方程 :

x2 y2 ? ?1 36 20 y2 x2 ? ?1 64 36

(2)由题意可知 a ? 8, b ? 6 ,焦点在 y 轴上,所以方程为

(3)? ?

?10 ? 4 ? 2a ?10 ? 4 ? 2c

? a ? 7, c ? 3 ? b 2 ? 40

x2 y2 x2 y2 ? 所求方程 : ? ? 1或 ? ?1 49 40 40 49
考点:椭圆方程及性质 点评:椭圆中常用性质:长轴 2a ,短轴 2b ,焦距 2c ,离心率 或 ? ? b,0 ? , ? 0 ? a ?

c ,顶点 ? ? a,0 ? , ? 0 ? b ? a

) 43.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F(? 3,0 ,
2, ) 且过点 D( 0 .
(1)求该椭圆的标准方程; (2)设点 A(,) 1 ,若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程.
试卷第 18 页,总 26 页

1 2

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

【答案】(1) 【解析】

x2 1 2 1 2 ? y 2 ? 1. (2) (x ? ) ? 4 y ? ) ? 1 . ( 4 2 4

试题分析:(1)由已知得椭圆的半长轴 a ? 2 ,半焦距 c ? 3 ,则半短轴 b ? 1 .

3分

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

5分

( ) (2)设线段 PA 的中点为 M(x , y) ,点 P 的坐标是 x0 , y0 ,

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x0 ? 1 ? ?x ? 2 ? x0 ? 2 x ? 1 ? ? 由? 1, 1 ,得 ? y0 ? ? y0 ? 2 y ? 2 ? ? 2 ?y ? 2 ?
由点 P 在椭圆上,得

9分

( x ?1 2 2 ) 1 2 ? 2 y ? ) ? 1, ( 4 2
1 2 1 4

11 分

2 2 ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 x ? ) ? 4 y ? ) ? 1 . ( (

12 分

考点:本题考查了椭圆的标准方程及轨迹方程的求法 点评:若动点 P(x,y)随已知曲线上的点 Q(x0,y0)的变动而变动,且 x0、y0 可用 x、y 表示,则将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点 P 的轨迹方程.这种方法称为 相关点法(或代换法). 44.(本小题满分 12 分) (1)求直线 y ? x ? 1被双曲线 x ?
2

y2 ? 1 截得的弦长; 4
2

y2 ? 1 截得的弦中点轨迹方程。 (2)求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x ? 4
【答案】 (1) 【解析】
? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ? ? y ? x ?1 ?

8 2 2 ) 2 (2) 4 x ? y ? y ? 0( y ? ?4或y ? 1 3

试题分析:由

2 得 4 x ? ( x ? 1) ? 4 ? 0 得 3x ? 2 x ? 5 ? 0 (*)

2

2

2 5 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 3 3 设方程(*)的解为 x1 , x2 ,则有

得,

d ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2

试卷第 19 页,总 26 页

4 20 8 ? ? 2 9 3 3

??6

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

(2) 方法一: 若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点, 则设直线的方程为 y ? kx ? 1 , 它被双曲线截得的弦为 AB 对应的中点为 P( x, y ) ,
? y ? kx ? 1 ? ? 2 y2 2 2 ?1 ?x ? 4 由? 得 (4 ? k ) x

? 2kx ? 5 ? 0 (*)
2 2

设方程(*)的解为 x1 , x2 ,则 ? ? 4k ? 20(4 ? k ) ? 0 ,
2 ∴ 16k ? 80,| k |? 5 ,

?x ?

1 k 1 k 4 , ( x1 ? x2 ) ? , y ? ( y1 ? y 2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 2 2 2 2 4?k 4?k2

k ? x? ? ? 4 ? k2 ? ?y ? 4 ? 4 ? k2 ?
得 4x
2

? y 2 ? y ? 0( y ? ?4或y ? 1 。??12 分 )

方法二:设弦的两个端点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,弦中点为 P( x, y ) ,则

?4 x12 ? y12 ? 4 ? ? 2 2 ?4 x2 ? y2 ? 4 得: 4( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) , ?



y1 ? y2 4( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 y1 ? y2 ,
2 2

y 4x ? x y ?1 , 即
??12 分

即 4 x ? y ? y ? 0 (图象的一部分)

考点:直线与圆锥曲线相交的弦长及求动点的轨迹方程 点评:用到的弦长公式 AB ?

1 ? k 2 x1 ? x2 ,本题求动点的轨迹方程用到的是参数

法和点差法,其中关于弦中点的问题点差法是常采用的方法 45. (满分 10 分) (Ⅰ) 设椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 M 是 3 2

椭圆上异于 A1 , A2 的任意一点,设直线 MA1 , MA2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求证 k1 ? k2 为定 值并求出此定值; (Ⅱ)设椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 M 是椭圆上 a 2 b2

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※



x1 ? x2 ?

2k 5 , x1 x2 ? ? 2 4?k 4 ? k2



? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

异于 A1 , A2 的任意一点,设直线 MA1 , MA2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,利用(Ⅰ)的结论直接 写出 k1 ? k2 的值。 (不必写出推理过程) 【答案】 (Ⅰ)见解析;(Ⅱ) k1 ? k2 ? ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ) A1 ? 3, 0 , A2

b2 。 a2

?

? ?
y0 2 x0 2 ? 3

3, 0 , M ? x0 , y0 ?
??????????4 分

?

k1 ? k2 ?

y0

x0 ? 3 x0 ? 3

?

y0

?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

M ? x0 , y0 ? 在椭圆上有

x0 2 y0 2 2 ? ? 1 得 y0 2 ? ? 3 ? x0 2 ? ??????6 分 3 2 3

2 ? 3 ? x02 ? 2 y0 2 所以 k1 ? k2 ? 2 ?3 2 ?? x0 ? 3 x0 ? 3 3
b2 (Ⅱ) k1 ? k2 ? ? 2 a

??????????8 分

????????10 分

考点:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质,直线斜率的坐标表示。 点评:本题较易, (I)利用直线斜率的坐标表示,结合点在椭圆上,证明了 k1 ? k2 为定 值, (II)则通过类比推理,得出结论。 46.(本小题满分 12 分) 求满足下列条件的椭圆的标准方程.
1 1 1 (1)焦点在坐标轴上,且经过两点 P( , ), Q(0, ? ) ; 3 3 2

(2)经过点(2,-3)且与椭圆 9 x2 ? 4 y 2 ? 36 具有共同的焦点. 【答案】 (1)

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1 。 ? ? 1 。(2) 1 1 10 15 4 5

【解析】本题主要考查利用椭圆的定义与椭圆的简单性质求椭圆的标准方程,解决此类 问题的步骤是:首先确定标准方程的形式(焦点在 x 轴还是再 y 轴上) ,再根据条件求 出 a,b,然后写出椭圆的方程,此题属于基础题. (1)当所求椭圆的焦点在 x 轴上时,设它的标准方程为 应有代入两个点的坐标得到求解。 ( 2 ) 椭 圆 9 x2 ? 4 y 2 ? 36 的 焦 点 坐 标 为 (0, ? 5) , 从 而 可 设 所 求 椭 圆 的 方 程 为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,依题意 a 2 b2

x2

?

?

y2 ? 1(? ? 0) ,然后经过点 (2, ?3) ,得方程的求解。 ? ?5 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,依 a 2 b2

解法 1:①当所求椭圆的焦点在 x 轴上时,设它的标准方程为

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

1 ? 1 2 ( )2 ? ( 3) ? 2 1 3 ? 2 ? 2 ?1 ?a ? 5 ? ? b 题意应有, ? a ,解得 ? ,因为 a ? b 从而方程组无解; 1 2 ? (? ) ?b2 ? 1 ? 2 ?1 ? ? 4 ? b2 ?

②当所求椭圆的焦点在 y 轴上时,设它的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,依题意应有 a 2 b2

故所求椭圆的标准方程为

y 2 x2 ? ?1 。 1 1 4 5

解 法 2 : 设 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 mx2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) , 依 题 意 得
1 ?1 ?9 m ? 9 n ? 1 ?m ? 5 y 2 x2 ? ,解得 ? ,从而所求椭圆的标准方程为 ? ? 1 。 ? 1 1 ?n ? 4 ?1 n ? 1 4 5 ?4 ?

(2) ∵ 椭 圆 9 x2 ? 4 y 2 ? 36 的 焦 点 坐 标 为 ( 0 ,?

, 5 ) 从而可设所求椭圆的方程为

y2 4 9 又∵经过点 (2, ?3) , 从而得 ? 解得 ? ? 10 或 ? ? ?2 (舍 ? 1(? ? 0) , ?1, ? ? ?5 ? ? ?5 去), ? x2 y 2 ? ?1 。 10 15 2 47. (本小题满分 13 分)如图所示,直线 l 与抛物线 y =x 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 两点,与 x 轴交于点 M,且 y1y2=-1,
故所求椭圆的标准方程为 y A

x2

M(x0, 0) O B

x

(Ⅰ)求证:点 M 的坐标为 (1,0) ; (Ⅱ)求证:OA⊥OB; (Ⅲ)求△AOB 面积的最小值。 【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)1 【解析】 2 试题分析: (Ⅰ)设 M(x0,0) ,直线 l 方程为 x=my+x0 代入 y =x 得 2 y -my-x0=0,y1。y2 是此方程的两根
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1 ? 1 2 ( )2 ? ( 3) ? 2 1 3 ? 2 ? 2 ?1 ?a ? 4 y 2 x2 ? a ? b ,解得 ? ,所以所求椭圆的标准方程为 ? ? 1 。 ? 1 1 ? (? 1 )2 ?b2 ? 1 ? 2 ?1 4 5 ? 5 ? ? a2 ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

∴ x0=-y1y2=1 ① 即 M 点坐标是(1,0) (4 分) 证明: (Ⅱ)∵ y1y2=-1 ∴ x1x2+y1y2=y1y2(y1y2+1)=0, ∴ OA⊥OB (8 分) (Ⅲ)由方程①得 y1+y2=m,y1y2=-1,又|OM|=x0=1,

S?AOB ?

1 1 1 | OM | ? | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? m2 ? 4 ? 1 , 2 2 2

∴ 当 m=0 时,S△AOB 取最小值 1。 (13 分) 考点:直线与抛物线位置关系 点评:直线与抛物线位置关系常联立方程,利用韦达定理求解 48.( (本题满分 15 分 )椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 3 ,并与直线 y ? x ? 2 相切.
y P m n O x

6

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 21 题

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,过圆 D : x ? y ? 4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 m, n . 求证:
2 2

m?n.

e?
【答案】解: (Ⅰ)由

6 3 知 a 2 ? 3b 2

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 椭圆方程可设为 3b .
又,直线 y ? x ? 2 与椭圆相切,代入后方程

4 x 2 ? 12 x ? 12 ? 3b 2 ? 0 满足 ? ? 0 .由此得 b 2 ? 1.

x2 ? y 2 ? 1. C 的方程为 3 故椭圆
(Ⅱ)设

----------------6 分 时,有一条切线斜率不存在,此时,刚好
试卷第 23 页,总 26 页

P( x0 , y 0 )

.当

x0 ? ? 3

y 0 ? ?1



? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

可见,另一条切线平行于 x 轴, m ? n ; 设

----------------7 分

x0 ? ? 3

,则两条切线斜率存在.设直线 m 的斜率为 k ,

则其方程为

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

x2 ? y2 ? 1 y ? kx ? y 0 ? kx0 . 即 代入 3 并整理得:
(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k ( y0 ? kx0 ) x ? 3( y0 ? kx0 ) 2 ? 3 ? 0.
由 ? ? 0 可得: ---------------9 分 ---------------11 分

(3 ? x02 高三数学理科一模参答—4(共 6 页) )k 2 ? 2 x0 y 0 k ? 1 ? y 02 ? 0

注意到直线 n 的斜率也适合这个关系,所以 m, n 的斜率 k1 , k 2 就是上述方程的两根,由

k1 k 2 ?
韦达定理,

1 ? y 02 3 ? x02 .
2

---------------13 分
2

2 2 3 ? x0 ? ?(1 ? y 0 ) 由于点 P 在圆 D : x ? y ? 4 上, ,

所以 k1 k 2 ? ?1. 这就证明了 m ? n . 综上所述,过圆 D 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 m, n ,总有 m ? n . 分 【解析】略 49.已知 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) 为椭圆的焦点,且直线 x ? y ? 7 ? 0 与椭圆相切. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,求△ ABF2 的面积 S 的最大值,并求此时直 线的方程。 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)依题意可设椭圆方程为 ------15

x2 y 2 (Ⅱ) 3 , x ? ?1 . ? ?1; 4 3

x2 y2 ? 2 ?1, a2 a ?1

x2 y2 ? 1 消去 y 并整理得 由 x ? y ? 7 ? 0 得 y ? 7 ? x 代入 2 ? 2 a a ?1
(2a 2 ? 1) x 2 ? 2 7a 2 x ? 8a 2 ? a 4 ? 0 ,
由 ? ? 28a ? 4(2a ? 1)(8a ? a ) ? 8a (a ? 5a ? 4) ? 0
4 2 2 4 2 4 2

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

解得 a ? 0, a ? 1, a ? 4 ,
2 2 2

x2 y2 ? ? 1. ? a ? 1,? a ? 4 ,? 4 3
2 2

(Ⅱ)设过 F1 的直线: x ? my ? 1 ,代入

x2 y2 ? ? 1 消去 x 并整理得 4 3

( 3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ,
| y1 ? y 2 |? 36 m 2 ? 36(3m 2 ? 4) 3m 2 ? 4 ? 12 m 2 ? 1 , 3m 2 ? 4

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

S ?ABF 2 ?

1 12 m 2 ? 1 ? 2c? | y1 ? y 2 |?| y1 ? y 2 |? ? 2 3m 2 ? 4

12 3 m ?1 ?
2

1 m2 ?1

? 3,

当 m 2 ? 0 ,即 m ? 0 时,面积 S 最大,此时直线方程为 x ? ?1 . 考点:本题考查了椭圆方程的求法及直线与椭圆的位置关系 点评:求解圆锥曲线的方程关键是求解 a 和 b,可应用已知条件得到关于两个参量的方 程或由性质直接求得;求解解析几何问题也要注重对数学思想的应用,从而使问题求解 方法明确、易解 50. 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为 F (? 3, 0) , 右顶点为 D(2, 0) ,设点 A ? 1,

? 1? ?. ? 2?

(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程;

x2 1 1 ? y 2 ? 1 (2) ( x ? ) 2 ? 4( y ? ) 2 ? 1 【答案】 (1) 4 2 4
【解析】 试题分析:解: (1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1,

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1。 4

(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0),
x0 ? 1 ? ?x ? ? 2 由 ? ? y ? y0 ? 1 ? 2 ?

? x0 ? 2 x ? 1 ? 得? 1 ? y0 ? 2 y ? 2 ?
(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 4 2
试卷第 25 页,总 26 页

由点 P 在椭圆上,得

1 2 1 4

∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? 4( y ? ) 2 ? 1 。

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

考点:椭圆方程,轨迹方程 点评:主要是考查了椭圆方程以及轨迹方程的求解,属于基础题。

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