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2013高考数学一轮复习 3.1 导数的概念及运算精品教学案(教师版)新人教版


2013 年高考数学一轮复习精品教学案 3.1 导数的概念及运算(新课 标人教版,教师版)
【考纲解读】 1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算
2 3 (1)能根据导数定义,求函数 y ? c, y ? x, y ? x , y ? x , y ?

1 , y ? x 的导数

. x

(2)能 利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导 数. (3)基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式: , (C )? ? 0 ( C 为常数)

( x n )? ? nx n ?1 (n ? ? ? ); (sin x)? ? cos x ; (cos x)? ? ? sin x ; 1 (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a (a ? 0, 且a ? 1) ; (ln x)? ? ; x 1 (log a x)? ? log a e (a ? 0, 且a ? 1) x
·法则 1: ·法则 2:

?u( x) ? v( x)?? ? u?( x) ? v?( x)
?u( x)v( x)?? ? u?( x)v( x) ? u( x)v?( x)
(v( x) ? 0)

? ? u( x) ? u?( x)v( x) ? u( x)v?( x) ·法则 3: ? ? v( x ) ? ? ? v 2 ( x) ? ?

【要点梳理】 1.导数的概念

1

(1)f(x)在 x=x0 处的导数就是 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率, 记作: y / |x? x0 或 f (x0),即 f (x0)=
?x ?0

/

/

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

.

(2) 当 把 上 式 中 的 x0 看 作 变 量 x 时 , f (x) 即 为 f(x) 的 导 函 数 , 简 称 导 数 , 即

/

y ' ? f '( x) = lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) . ?x

2.导数的几何意义:函数 f(x)在 x=x0 处的导数就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的 斜率 k= f (x0),切线方程为 y ? y0 ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) .
/

3.基本初等函数的导数公式

( x n )? ? nx n ?1 (n ? ? ? ); (sin x)? ? cos x ; (cos x)? ? ? sin x ; 1 (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a (a ? 0, 且a ? 1) ; (ln x)? ? ; x 1 (log a x)? ? log a e (a ? 0, 且a ? 1) x
4.两个函数的四则运算法则 若 u(x),v(x)的导数都存在,则 法则 1: 法则 2:

?u( x) ? v( x)?? ? u?( x) ? v?( x)
?u( x)v( x)?? ? u?( x)v( x) ? u( x)v?( x)
(v( x) ? 0) .

? ? u( x) ? u?( x)v( x) ? u( x)v?( x) ? ? ? 法则 3: ? ? v 2 ( x) ? v( x ) ?
【例题精析】 考点一 导数的概念及几何意义

例 1.(2012 年高考新课标全国卷文科 13)曲线 y=x(3lnx+1)在点 (1,1) 处的切线方程为 ________

2

1.(2011 年高考江西卷文科 4)曲线 y ? e x 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2 C. e D.



1 e

例 2. (2010 年高考全国 2 卷理数 10)若曲线 y ? x 成的三角形的面积为 18,则 a ? ( (A)64 (B)32 )

?

1 2

在点 ? a , a

? ?

?

1 2

? ? 处的切线与两个坐标围 ?

(C)16

(D)8

4 2 2. (2010 年高考江西卷文科 4)若 函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足 f '(1) ? 2 ,则 f '(?1) ?

( A. ?1

) B. ?2

C.2

D.0

【课时作业】
3

1.(山东省济南一中 2012 届高三上学期期末)设曲线 y ? 直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂 直,则 a ? A.2 B. ? 2 ( ) C. ?

x ?1 在点(3,2)处的切线与 x ?1

1 2

D.

1 2

2. (2010 年高考宁夏卷文科 4)曲线 y ? x 2 ? 2 x ? 1 在点(1,0)处的切线方程为( (A) y ? x ? 1 (C) y ? 2 x ? 2 【答案】A 【解析】 y? ? 3x2 ? 2 ,所以 k ? y?
x ?1

)

(B) y ? ? x ? 1 (D) y ? ?2 x ? 2

? 1,所以选 A.

3. (2010 年高考全国卷Ⅱ文科 7)若曲线 y ? x2 ? ax ? b在点 (0,b ) 处的切线方程是

x ? y ? 1 ? 0 ,则(
(A) a ? 1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ?1 【答案】A 【解析】∵

) (B) a ? ?1, b ? 1 (D) a ? ?1, b ? ?1

y? ? 2x ? a

x?0

?a

,∴ a ? 1 , (0, b) 在切线 x ? y ? 1 ? 0 ,∴ b ? 1 .

4. ( 2010 年全国高考宁夏卷 3)曲线 y ? (A)y=2x+1 (B)y=2x-1

x 在点(-1,-1)处的切线方程为( x?2
C y =-2x-3 D.y=-2x-2

)

5. (2010 年高考辽宁卷文科 12)已知点 P 在曲线 y ? 的倾斜角,则 ? 的取值范围是( (A)[0, 【答案】D )

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线 e ?1
x

? ) 4

(B) [

? ? ? 3? , ) (C) ( , ] 4 2 2 4

(D) [

3? ,? ) 4

4

【解析】 y? ? ?

4e x 4 1 ,?e x ? x ? 2,??1 ? y? ? 0 ,即 ?1 ? tan ? ? 0 , ?? 2x x 1 e ? 2e ? 1 e ex ? 2 ? x e

?? ?[

3? ,? ) . 4

6. (福建省福州市 2012 年 3 月高中毕业班质量检查理科)函数 f ( x) ? x 3 ? ax( x ? R) 在

x ? 1 处有极值,则曲线 y ? f (x) 在原点处的切线方程是 ___

__.

1.(2011 年高考重庆卷文科 3)曲线 y ? ? x3 ? 3x2 在点(1,2)处的切线方程为 ( A. y ? 3x ? 1 C. y ? 3x ? 5 【答案】A 【解析】由导数的几何意义知:切线的斜率为 3,所以切线方程为 y ? 3x ? 1 ,选 A. B. y ? ?3x ? 5 D. y ? 2 x

)

2. (2011 年高考山东卷文科 4)曲线 y ? x ? 11在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐
2

标是( (A)-9

) (B)-3

(C)9

(D)15

3. (2011 年高考全国卷理科 8)曲线 y= e 的三角形 的面积 为( (A) ) (C)

?2 x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围 成

1 3

(B)

1 2

2 3

(D)1

【答案】A 【解析】 ? y ' ? ?2e :
?2 x

,? k ? ?2 ,切线方程为 y ? 2 ? ?2 x

5

由?

?

y?x

? y ? ?2 x ? 2

2 ? ?x ? 3 ? 得? ?y ? 2 ? 3 ?

则S ?

1 2 1 ? 1? ? . 2 3 3

故选 A.

4. (2011 年高考湖南卷文科 7)曲线 y ? ( A. ? )

sin x 1 ? ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为 sin x ? cos x 2 4

1 2

B.

1 2

C. ?

2 2

D.

2 2

5. (2012 年高考广东卷理科 12)曲线 y=x -x+3 在点 3) (1, 处的切线方程为 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0 【解析】因为 y' ? 3x2 ?1 ,所以切线的斜率为 2,故所求的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 . 6.(2012 年高考山东卷文科 22 第 1 问)已知函数 f ( x) ?

3

.

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828…是自 ex

然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.求 k 的值.

6


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