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江苏省扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三3月第二次调研测试数学试题


江苏省扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三 3 月第二次调研测试 数学试题 数 学 I
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷卡的相应位置上. uuu r uuu r uur 1. 在平面直角坐标系中,已知向量 AB = (2,1),向量 AC = (3,5),则向量 BC 的坐标为 ▲ . 【答案】 (1,4) 2.

设集合
A ? x x 2 ? 2 x ? 3≤0 ,B ? x x 2 ? 5 x≥0

2013.3

?

?

?

? ,则 A I ? ? B ? ?
R

▲ .

【答案】

? 0,3?

3. 设复数 z 满足| z | = | z-1 | = 1,则复数 z 的实部为 ▲ .
1 【答案】 2

4. 设 f (x)是定义在 R 上的奇函数,当 x < 0 时,f (x)=x + ex(e 为自然对数的底数) ,则 值为 ▲ .
ln 6 ? 1 6 【答案】

f ? ln6 ?



5. 某篮球运动员在 7 天中进行投篮训练的时间(单位:分钟)用茎叶图表示(如图) ,图中左列表 示训练 时间的十位数,右列表示训练时间的个位数,则该运动员这 7 天的平均训练时间为 ▲ 分钟. 【答案】72 S←0 6 457 For I From 1 to 28 Step 3 7 25 S←S +I End For 8 01 Print S 6. 根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 ▲ . (第 5 (第 6 【答案】145 题) 题) y 2 ? 3x 2 ? 3 共焦点,且经过点 2,2 ,则该椭圆的 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆与双曲线

?

?

离心率 为 ▲ .
2 2 【答案】 8. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为 2 cm 的半圆,则该圆锥的高为 cm.



【答案】 3
y ? 2sin π x 3 的图象上每一点向右平移 1 个单位,再将所得图象上每一点的横坐标扩大为 9. 将函数

1

π 原来的 3

倍(纵坐标保持不变) ,得函数 y ? f ( x) 的图象,则 f ( x) 的一个解析式为 ▲ .
y ? 2sin x ? π 3 【答案】

?

?

10.函数 f ( x) ? ( x ? 1)sin πx ? 1(?1 ? x ? 3) 的所有零点之和为 ▲ . 【答案】 4 11. 设
sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 13 2 2 .则 cos ? 的值为 ▲ ,且

?,? ? ? ?,? ?



? 16 【答案】 65

12. 设数列{an}满足: ▲ .
1 【答案】 4

a3 ? 8,? an ?1 ? an ? 2 ?? 2an ?1 ? an ? ? 0(n ? N* )

,则 a1 的值大于 20 的概率为

13.设实数 x1, x2, x3, x4, 均不小于 1, x1· x3· x5=729, max{x1x2, x5 且 x2· x4· 则 x2x3, x3x4, x4x5} 的最小值是 ▲ . 【答案】9
1 A(?1, ,B,C 是函数 y ? x ( x ? 0) 图象上的两点,且△ABC 为 1) 14.在平面直角坐标系 xOy 中,设

正三角形, 则△ABC 的高为 ▲ . 【答案】2 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 请把答案写在答题卡相应的位置上. 解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知△ABC 的内角 A 的大小为 120°,面积为 3 . (1)若 AB ? 2 2 ,求△ABC 的另外两条边长;
uuu uuu r r (2)设 O 为△ABC 的外心,当 BC ? 21 时,求 AO ? BC 的值.

【解】 (1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 于是
3 ? 1 bc sin A ? 3 bc 2 4 ,所以 bc=4. ………………………………3 分

因为 c ? AB ? 2 2 ,所以 b ? CA ? 2 .
2 2 2 2 由余弦定理得 BC ? a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? 4 ? 2 ? 8 ? 4 ? 14 .………6 分

2

2 2 (2)由 BC ? 21 得 b ? c ? 4 ? 21 ,即 uuu uuu uuu r r r AO ? AD ? DO , 设 BC 的中点为 D,则

b 2 ? 16 ? 17 ? 0 b2 ,解得 b ? 1 或 4.……………8 分

uuu uuu r r 因为 O 为△ABC 的外心,所以 DO ? BC ? 0 ,

uuu uuu uuu uuu 1 uuu uuu uuu uuu r r r r r r r r 2 2 AO ? BC ? AD ? BC ? AB ? AC ? AC ? AB ? b ? c 2 2 .…………………12 分 于是 uuu uuu b 2 ? c 2 r r AO ? BC ? ? ? 15 2 2 ; 所以当 b ? 1 时, c ? 4 , uuu uuu b 2 ? c 2 15 r r AO ? BC ? ? 2 2 .…………………………14 分 当 b ? 4 时, c ? 1 ,

?

??

?

16.(本小题满分 14 分)
? 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD ,BC//平面 PAD, ?PBC ? 90 ,

?PBA ? 90? .求证:

P

(1) AD // 平面 PBC ; (2)平面 PBC ? 平面 PAB . 【证】 (1)因为 BC//平面 PAD, 而 BC ? 平面 ABCD,平面 ABCD I 平面 PAD = AD, 所以 BC//AD. …………………………………3 分 因为 AD ? 平面 PBC,BC ? 平面 PBC, B

A

D

C (第 16 题)

所以 AD // 平面 PBC .……………………………………………………6 分 (2) P 作 PH ? AB 于 H, 自 因为平面 PAB ? 平面 ABCD , 且平面 PAB I 所以 PH ? 平面 ABCD .………………………9 分 因为 BC ? 平面 ABCD,所以 BC ? PH.
? 因为 ?PBC ? 90 ,所以 BC ? PB,

P 平面 ABCD =AB,

A H B C

D

而 ?PBA ? 90 ,于是点 H 与 B 不重合,即 PB I PH = H.
?

因为 PB,PH ? 平面 PAB,所以 BC ? 平面 PAB.…………12 分 因为 BC ? 平面 PBC,故平面 PBC ? 平面 PAB.…………………… 14 分 17. (本小题满分 14 分) 为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用 1 600 万元购得一块土地,在该土地上 建

3

造 10 幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为 1 000 平方米,每平方米的建 筑 费用与楼层有关,第 x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为常数) .经测算,若每幢 楼为 5 层,则该小区每平方米的平均综合费用为 1 270 元. 购地费用+所有建筑费用 (每平方米平均综合费用= ). 所有建筑面积 (1)求 k 的值; (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这 10 幢楼房建成多少层?此时每平方 米 的平均综合费用为多少元? 【解】 (1)如果每幢楼为 5 层,那么所有建筑面积为 10×1 000×5 平方米,所有建筑费用为 [(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10,所以,…………3 分 16 000 000+[(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10 1 270= , 10×1 000×5 解之得:k=50.……………………………………………………6 分 (2)设小区每幢为 n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为 f (n),由题设可知 16 000 000+[(50 +800)+(100 +800)+…+(50n +800)]×1 000×10 f (n) = 10×1 000×n 1 600 = +25n+825≥2 1 600×25+825=1 225 n (元). ……………10 分

1 600 当且仅当 =25n,即 n=8 时等号成立.………………………12 分 n 答:该小区每幢建 8 层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为 1 225 元. ……………………………14 分 18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f (x)=(m-3)x3 + 9x. (1)若函数 f (x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求 m 的取值范围; (2)若函数 f (x)在区间[1,2]上的最大值为 4,求 m 的值.
? ? ??,? ? ? 上只能是单调增函数. ………3 分 【解】 (1)因为 f (0)=9 > 0,所以 f (x)在区间 ? 由 f (x)=3(m-3)x2 + 9≥0 在区间(-∞,+∞)上恒成立,所以 m≥3.

故 m 的取值范围是[3,+∞) . …………………………………………6 分 (2)当 m≥3 时,f (x)在[1,2]上是增函数,所以[f (x)] max=f (2)=8(m-3)+18=4, 5 解得 m= <3,不合题意,舍去. ………………………………………8 分 4
3 x?? ? 3?m . 当 m<3 时, f (x)=3(m-3) x2 + 9=0,得

? ??,? 所以 f (x)的单调区间为:

3 3 , 3 ? 3 ? m 单调减, 3?m 3 ? m 单调增,

?

?

?

?

3 ,? ? 3?m 单调

?

减. ……………………………………10 分

4

3 , 3 ? 3 ≥2 9 ≤m ? 3 [1,2] ? ? 3?m 3 ? m ? ,所以 f (x)在区间[1,2]上单调增, ? 3?m ①当 ,即 4 时,

?

5 [f (x)] max =f(2)=8(m-3)+18=4,m= ,不满足题设要求. 4 ②当
1? 3 ?2 9 ? f 3?m ,即 0<m< 4 时,[f (x)] max

?

3 ,? ? ? 3 ≤1 [1,2] ? ? ,所以 f (x)在区间[1,2]上单调减, 3?m ? 3?m ③当 ,即 m≤0 时,则 [f (x)] max =f (1)=m + 6=4,m=-2. 综上所述:m=-2.……………………………………………16 分

?

3 ?0?4 3?m 舍去.

?

19. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2=r2 和直线 l:x=a(其中 r 和 a 均为常数,且 0 < r < a) , M 为 l 上一动点,A1,A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点,直线 MA1,MA2 与圆 C 的另一个交点分别 为 P、Q. (1)若 r=2,M 点的坐标为(4,2),求直线 PQ 方程; (2)求证:直线 PQ 过定点,并求定点的坐标. 【解】 (1)当 r=2,M(4,2),则 A1(-2,0),A2(2,0).
? x 2 ? y 2 ? 4, ? P 8 ,6 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 得 5 5 .…………………2 分 直线 MA1 的方程:x-3y+2=0,解 ? x 2 ? y 2 ? 4, ? Q ? 0,? 2 ? 直线 MA2 的方程:x-y-2=0,解 ? x ? y ? 2 ? 0 得 . ………………4 分

? ?

由两点式,得直线 PQ 方程为:2x-y-2=0. ………………………………6 分 (2)证法一:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0) .设 M(a,t), 直线 MA1 的方程是:y = t t (x+r),直线 MA1 的方程是:y = (x-r) .…………8 分 a+r a-r

? x 2 ? y 2 ? r 2, ? 2 2 ? t ( x ? r ) P r (a ? r ) ? rt , 2tr (a ? r ) ?y ? a ? r (a ? r )2 ? t 2 (a ? r ) 2 ? t 2 .…………………………10 分 解? 得

?

?

? x 2 ? y 2 ? r 2, ? rt 2 ? r (a ? r ) 2 2tr (a ? r ) ? ,? y ? t (x ? r) Q 2 2 ? (a ? r ) ? t (a ? r ) 2 ? t 2 . ……………………12 分 a?r 解? 得 2at 于是直线 PQ 的斜率 kPQ= , a2-t2-r2

?

?

y?

直线 PQ 的方程为

2tr (a ? r ) r (a ? r ) 2 ? rt 2 ? 2 2at 2 x ? 2 2 2 (a ? r ) ? t a ?t ?r (a ? r )2 ? t 2 . …………14 分
2

?

?

? ra ,0? . …16 分 r2 上式中令 y = 0,得 x= ,是一个与 t 无关的常数.故直线 PQ 过定点
a 证法二:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0) .设 M(a,t),
5

直线 MA1 的方程是:y= 直线 MA2 的方程是:y=

t (x+r),与圆 C 的交点 P 设为 P(x1,y1) . a+r t (x-r);与圆 C 的交点 Q 设为 Q(x2,y2) . a-r

则点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在曲线[(a+r)y-t(x+r)] [(a-r)y-t(x-r)]=0 上, …10 分 化简得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)=0. ① 又有 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在圆 C 上,圆 C:x2+y2-r2=0.② -t2×②得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2) -t2( x2+y2-r2)=0, 化简得:(a2-r2)y-2t(ax-r2) -t2 y=0. 所以直线 PQ 的方程为(a2-r2)y-2t(ax-r2)-t2 y=0. ③ ……………14 分

? ra ,0? .………………16 分 r2 在③中令 y = 0 得 x = ,故直线 PQ 过定点
2

a

20. (本小题满分 16 分)
? ? b ? aan ,cn ? aan ?1 (n ? N* ) a 设无穷数列 ? n ? 满足: ?n ? Ν , an ? an ?1 , an ? N .记 n . * (1)若 bn ? 3n(n ? N ) ,求证: a1 =2,并求 c1 的值;

(2)若

?cn ? 是公差为 1 的等差数列,问 ?an ? 是否为等差数列,证明你的结论.

? a ? a1 ? 3 【解】 (1)因为 an ? N ,所以若 a1 ? 1 ,则 a1 矛盾,



a1≥3 ? aa1

,可得 1≥a1≥3 矛盾,所以 a1 ? 2 . …………………………4 分 ,从而
c1 ? aa1 ?1 ? a3 ? aa2 ? 6

于是

a2 ? aa1 ? 3

. ……………………………7 分

a (2) ? n ? 是公差为 1 的等差数列,证明如下: …………………………9 分

an ?1 ? an ? n≥2 时, an ? an ?1 ,所以 an≥an ?1 ? 1 ? an≥am ? (n ? m) , (m ? n)

? aan?1 ?1≥aan ?1 ? an ?1 ? 1 ? (an ? 1)

,………………………………………………13 分

即 cn ?1 ? cn≥an ?1 ? an ,由题设, 1≥an ?1 ? an ,又 an ?1 ? an≥1 ,
a 所以 an ?1 ? an ? 1 ,即 ? n ? 是等差数列.………………………………………16 分

数学 II(附加题) 21. (选做题)本大题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分,共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

6

A. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C , F 是⊙ O 上的两点, OC ⊥ AB , 过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D .连结 CF 交 A

C

E O

B

D

AB 于点 E .
2 求证: DE ? DB ? DA .

F

【证明】连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90° . 所以∠OFC+∠CFD=90° . 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90° . …………………5 分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF2=DB· DA.所以 DE2=DB· DA. ………………10 分 B. 选修 4-2:矩阵与变换

?m 0? M ?? ? ? m ? 0? 2 2 ? n 1? 设曲线 2 x ? 2 xy ? y ? 1 在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为 x ? y ? 1 ,
2 2

求矩阵 M 的逆矩阵 M .
2 2 ? ? ? 【解】设曲线 2 x ? 2 xy ? y ? 1 上任一点 P ( x, y ) 在矩阵 M 对应的变换下的像是 P ( x , y ) ,

?1

? x? ? ? m 0 ? ? x ? ? mx ? ? x? ? mx, ? ? y ?? ? ? n 1 ? ? y ? ? ? nx ? y ? ?? ? ? ? ,得 ? y ? ? nx ? y, 由? ? ?
2 2 2 2 2 2 mx ? nx ? y ? ? 1 ? ? ? 因为 P ( x ,y ) 在圆 x ? y ? 1 上,所以 ? ? ? , 化简可得 (m ? n ) x ? 2nxy ? y ? 1 .
2 2

………………………………………………3 分
2 2 依题意可得 m ? n ? 2,2n ? 2 ,m ? 1,n ? 1 或 m ? ?1,n ? 1 而由 m ? 0 可得 m ? 1,n ? 1 . ………6



?1 0 ? ? 1 0? ?1 M ?? ? M ? ? ?1 1 ? ?1 1 ? , ? ? .…………………………………………10 分 故
C. 选修 4-4:坐标系与参数方程
2 2 2 2 在平面直角坐标 xOy 中,已知圆 C1 : x ? y ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2) ? y ? 4 .

(1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆 C1 , C2 的极坐标方程及这两个圆的 交点的极坐标; (2)求圆 C1与C2 的公共弦的参数方程.
7

【解】 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 , 圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ,

? ? ? 2, π π π ? ? ? 4cos? 得 ? =2,? ? ? 3 ,故圆 C1,C2 交点坐标为圆 2,3 , 2,? 3 .…………………5 分 ? 由

? ??

?

? (2)由(1)得,圆 C1,C2 交点直角坐标为 (1, 3),(1, 3) ,

? x ? 1, ? ? C1与C2 的公共弦的参数方程为 ? y ? t (? 3≤t≤ 3).……………10 分 ? 故圆
注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数范围,扣 2 分. D.选修 4-5:不等式选讲
1 ? 1 ? 1 a ? b ? c ? 1 ,求 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2 的最小值. 设正数 a,b,c 满足

【解】因为 a,b,c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,所以 (3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2) ? 9 . 于是

? 3a1? 2 ? 3b1? 2 ? 3c1? 2 ??(3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2)?
≥3 3 1 ? 3 3 (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2) ? 9 (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2) ,

a?b?c?1 3 时,等号成立. …………………………………8 分 当且仅当 1 ? 1 ? 1 ≥1 1 ? 1 ? 1 即 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2 ,故 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2 的最小值为 1.…………10 分

22. 必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 B ? 平面ABC , AB ? AC ,且 AB ? AC ? A1 B ? 2 . (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小;

8

(2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦
2 5 值为 5 . 【解】 (1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,

C1 B1

A1



C ? 2,, ?,B ? 0,, ?,A1 ? 0,, ?,B1 ? 0,, ? 0 0 2 0 2 2 4 2




C B (第 22 题)

A

???? AA1 ? ? 0,, ? 2 2

??? ????? ? BC ? B1C1 ? ? 2, 2, ? ? 0



???? ??? ? ???? ??? ? AA1 ? BC ?4 1 cos? AA1,BC ? ? ???? ??? ? ?? ? 2 8? 8 AA1 ? BC
π AA1 与棱 BC 所成的角是 3 . 故



………………………4 分 C1 P ,则 A1 B1 z

(2)P 为棱 B1C1 中点, 设

???? ????? B1 P ? ? B1C1 ? ? 2?,? 2?, 0 ?

P ? 2?,4 ? 2?,2 ?

? x, y , z ? 设平面 PAB 的法向量为 n1 ? , ??? ? ?n1 ? AP ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? z ? ?? x, ? ?? ?? ? ? ??? ?2 y ? 0 ? y ? 0. ?n1 ? AB ? 0 则?
故 n1

. ??? ? AP = ? 2?,4 ? 2?,2 ?



x C y B A

? ?1, , ? ? 0 ?

………………………8 分
cos? n1 , n2 ? ? n1 ? n2 1 2 5 ? ? 2 n1 ? n2 5 1? ? ,

而平面 ABA1 的法向量是 n2=(1,0,0),则

解得

??

1 3 2 2 ,即 P 为棱 B1C1 中点,其坐标为 P ?1,, ? ……………………10 分

23.必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
f ( x) ? 1 (ax ? 1) 2 ? 1 x ? 1 ln bx ? ? 2ab b b 设 b>0,函数 ,记 F ( x) ? f ( x) ( f ( x) 是函数 f ( x) 的导函数) ,且

当 x = 1 时, F ( x) 取得极小值 2. (1)求函数 F ( x) 的单调增区间; (2)证明

? F ( x) ?

n

? F ( x n ) ≥2n ? 2 ? n ? N* ?



F ( x) ? f ?( x) ? 1 ? 2(ax ? 1) ? a ? 1 ? 1 ? 1 ax ? 1 ,x ? 0,b ? 0 2ab b bx b x 【解】 (1)由题 . F' ( x) ? 1 a ? 12 b x ,若 a ? 0 ,则 F' ( x) ? 0 ,与 F ( x) 有极小值矛盾,所以 a ? 0 . 于是

?

?

?

?

9

令 F' ( x) ? 0 ,并考虑到 x ? 0 ,知仅当

x? 1 a 时, F ( x) 取得极小值.

? 1 ? 1, ? a ? ? 1 (a ? 1) ? 2, 所以 ? b 解得 a ? b ? 1 .……………………………………………4 分



F ( x) ? x ? 1 ( x ? 0) ? x ,由 F ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,所以 F ( x) 的单调增区间为 (1,? ?) .
n n

g ( x) ? ? F ( x) ? ? F ( x n ) ? ? F ( x) ? ? F ( x n ) ? x ? 1 x x ? 0 ,所以记 (2)因为
n ? C1 x n ?1 ? 1 ? C2 x n ? 2 ? 12 ? C3 x n ?3 ? 13 ? ? ? ? ? ? ? ? Cn ?1 x ? 1?1 n n n x x x xn

? ? ? ? x ? x1 ?
n n n

1 Cr x n ? r ? 1 ? Cn ? r x ? n ? r ≥2Cr (r ? 1,2, ,n ? 1) L n n n x x 因为 ,
1 2 3 n ?1 n ? F ( x)? ? F ( x n ) ≥2n ? 2 ? n ? N* ? 所以 2 g ( x)≥2(Cn ? Cn ? C n ? ? ? ? ? ? ? ?C n ) ? 2(2 ? 2) ,故
n

.………10 分

10


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