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四川省2013年联测促改理科数学测试题答案


四 川 省 2013 年 “联 测 促 改 ”活 动

数学(理工类)测试题答案及评分参考
一、选择题:本题考查基本概念和基本运算. (1) B (2) D (3) D (6) D (7) A (8) C 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算. (11) e ? 1 (12) ?5 (13) ?2 三、解答题 16. (Ⅰ)当 n=1 时, a1

? 2 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 4n ? 2n ? 4(n ?1) ? 2(n ?1) ? 8n ? 6 .
2 2

每小题 5 分,满分 50 分. (4) A (5) A (9) C (10)B 每小题 5 分,满分 25 分. (14) 16 (15) 12

综上 an ? 8n ? 6, n ?N .
*

··········· ··········· ·········· ·········· 分 ··········· ·········· ··········· ········· 5 ·········· ··········· ··········· ········· (Ⅱ)由 an ? 2log2 b n 得 bn ? 2 所以 b1 ? 2 ,
4n?3

.

bn?1 24( n +1)?3 ? 4n?3 ? 24 ? 16 ,即 ?bn ? 是等比数列. bn 2
2(1 ? 16n ) 2 ? (16n ? 1) . ·········· 12 分 ·········· ·········· 1 ? 16 15

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?

17.(Ⅰ)由已知得 b ? 3a , 1 3 3 2 3 3 a ? 又 S ?ABC ? ab sin C ? , 2 4 4 所以 a ? 1 . ···································4 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· sin B (Ⅱ)因为 b ? 3a ,由正弦定理得 ? 3. sin A 2 sin(C ? A) C sin(C ? A) ? 4sin 所以 = ? 2(1 ? cos C) sin A 2 sin A sin(C ? A) ? 2sin A cos C ? ?2 sin A sin C cos A ? cos C sin A ? ?2 sin A sin(C ? A) sin B = ······ ······ ?2? ? 2 ? 3 ? 2 ? 1.······ 12 分 sin A sin A 18. (Ⅰ) ? 的取值为 0,1,2.

P(? ? 0 )?

C32 3 C1? C1 3 C2 ? P ?( ? 1 ) 3 2 2 ? P ,? ( ? 2 2) 2 , ? ? C52 1 0 C5 5 C5

1 ? 10

,

-1-

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3 3 10 5 3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? ? . 故 ?的均值为E? ? 0 ? 10 5 10 5
(Ⅱ)由题设可知

1 10

··········· ··········· ·········· ·········· 分 ··········· ·········· ··········· ········· 7 ·········· ··········· ··········· ·········

98 ? 7,5 ? 7 ? 35 , 即乙厂生产的产品数量为 35 件. 易见只有编号为 2, 14 2 5 的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品率为 , 5 2 故乙厂生产有大约 35 ? ? 14 (件)优等品. 5

··········· ··········· ·········· ········· 分 ········································ 12 ·········· ··········· ··········· ········ 19. 解法一: (Ⅰ)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, B1B⊥AB, BC⊥AB,又 B1B ? BC=B, ∴AB⊥平面 BB1C1C. 又N、F分别为 A1 C1、B1 C1 的中点 ∴AB∥A1B1∥NF. ∴NF⊥平面 BB1C1C. 因为 FC ? 平面 BB1C1C. 所以 NF⊥FC. 取 BC 中点 G,有 BG=GF=GC. ∴BF⊥FC ,又 NF ? FB=F, ∴FC⊥平面 NFB. ······························· 分 ··········· ·········· ········· 5 ·········· ··········· ········· (Ⅱ)∵平面 ABC⊥平面 ACC1A1, 平面 ABC∩平面 ACC1A1=AC. 过 B 作 BH⊥AC 于 H, 则 BH⊥平面 ACC1A1. 所以 BH⊥NC. 过 H 作 HE⊥NC 于 E, 连结 BE, 所以 NC⊥平面 BEH,所以 NC⊥BE. 则∠BEH 是二面角 B-NC-A 的平面角. 在 Rt△ABC 中, BH· AC=AB· BC. 不妨设 AB=a, 则 BH=

AB ? BC 2 5 = a. AC 5

∵BF=CF, ∴在△BNC 中 NC=BN=

3 a, BE· CN=BC· NG. 2

又∵在 Rt△BNG 中,NG=

5 a. 2

-2-

∴BE=

BC ? NG 2 5 = a. CN 3

4 BH 3 = ,则 cos∠BEH= . BE 5 5 4 ∴二面角 B-NC-A 的余弦值为 .······················12 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 5
∴在 Rt△BEH 中 sin∠BEH= 解法二 : (Ⅰ)以 B1 为坐标原点,B1B,B1C1,B1A1 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角系. 不妨设 AB=a,则 B1(0,0,0), B(a,0,0), F(0,a,0) , A1(0,0,a),

a ) , C(a,2a,0). 2 a ∴ BF =(-a,a,0) , FN =(0,0, ). 2
C1(0,2a,0), N(0,a,

CF =(-a,-a,0). CF · =a2-a2=0 , BF
a CF · =0· (-a)+ 0· =0. FN (-a)+ 0· 2 ∴CF⊥BF, CF⊥FN, 又 BF ? FN=F,
∴ CF⊥平面 NFB. ······························· 5 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 CC1 =(-a,0,0), A1C1 =(0,2a,-a), BC =(0,2a,0), BN = (-a,a, 设平面 ACC1A1 的一个法向量为 n1 =(x1,y1,z1),

a ). 2

???? ? ? n1 ? CC1 =0, ? 则有 ? ???? ? n1 ? AC1 =0. 1 ?
∴?

? ?ax1 =0, ?2ay1 ? az1 =0.

取 y1=1, z1=2, 则 n1 =(0,1,2). 设平面 BNC 的一个法向量 n2 =(x2,y2,z2),

??? ? ? n2 ? BC =0, ? 则? ???? ? n2 ? BN =0. ?
∴?

?2ay2 =0, ? a ??ax2 ? ay2 ? 2 z2 =0. ?

取 x2=1 , z2=2.

-3-

∴ n2 =(1,0,2). 设所求二面角的大小为 ? , 则 cos ? =

n1 ? n2 0?0?4 4 = = . n1 ? n2 5? 5 5
4 . ······················ 12 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· · 5

∴二面角 B-NC-A 的余弦值为

20. (Ⅰ)设动点 M 的坐标为(x,y). 当 x= ? 2 或 x = 2 时,直线 AM 或 BM 的斜率不存在. 当 x ? ? 2 且 x ? 2 时,由题意得 y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2 2 2 化简得, x ? 2 y ? 2 ? 0 . 所以轨迹 C 的方程为 x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0 (其中, x ? 2 且 x ? ? 2 ) . ··········· ··········· ·········· ········· 4 分 ··········· ·········· ··········· ········· ·········· ··········· ··········· ········· ? (Ⅱ 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? x m 联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 得 ) ,

? y ? x ? m, ? ? 2 2 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 且x ? ? 2. ? 化简得 3x2 ? 4mx ? (2m2 ? 2) ? 0 .
. ? ? (4m)2 ? 4 ? 3 ? (2m2 ? 2) ? 0 ,解得 ? 3 ? m ? 3 ( m ? 0 ,且 m ? ? 2 ) (当 m=0 时,点 R 在直线 l 上) 4 2 设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m , x1 x2 ? (m2 ? 1) , 3 3 4 所以 | PQ |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ? 3 ? m2 . 3 |1 ? 1 ? m | 2 ? | m |, 点 R 到直线 PQ 的距离为 d ? 2 2 2 2 3 ? m2 ? m2 2 6 1 ? ? (3 ? m 2 )m 2 ? 所以 S△PQR= | PQ | ?d ? (当 m= ? 时, 3 2 2 3 2 2 等号成立) . 2 故△PQR 的最大面积为 . 2 ··········· ··········· ·········· ········· 分 ········································ 13 ·········· ··········· ··········· ········ 21.(Ⅰ) 当 x ? 1 时,必有 sin x ? x . 当 0 ? x ? 1 时,设函数 F ( x) ? x ? f ( x) ,则 F ?( x) ? 1 ? f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 . 所以函数 F ( x) 在区间 [0, 1] 上是单调递增的. 又因为 F (0) ? 0 ,所以当 0 ? x ? 1 时, F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 f ( x) ? x . 综上,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 成立. ······················· 分 ··········· ·········· · 3 ·········· ··········· · (Ⅱ) g?( x) ? f ?( x) ? 1 ? 令 ? ( x) ? cos x ?

x2 x2 ? cos x ? ? 1 , 2 2

x2 ? 1 ,则 ? ?( x) ? ? sin x ? x . 2
-4-

由(Ⅰ)得到:当 x ? (0, 1) 时,有 ? ?( x) ? 0 , 即 g ?( x) 在区间(0,1)上单调递增. 而 g ?(0) =0,所以在区间(0,1)上函数 g ?( x) ? 0 成立. 因此,在区间(0,1)上函数 g ( x) 是单调递增的. 5 又因为 g (0) ? 0 , g (1) ? sin1 ? , 6 5? ? 所以,在区间[0, 1]上函数 g ( x) 的值域 ?0, sin1 ? ? . ·············· 分 ··········· ·· 8 ·········· ··· 6? ? 1 ?1? 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)可得, f ? ? ? ? 3 ,则 k ? k 6k ?
1? ?1? n ? 1 ?? 1 1 ? ? 6k ? ? f ? ? ? ? ? 6k ? ?? ? 3 ? ? ? k ? ? k ? k ?1 ? k ?? k 6k ? k ?1 ? n 2 1 ? n ? 2 ? ? ? ?? 6 ? 2 ? 4 ? ? ?? 6 ? 2 ? k 6k ? k ?1 ? k ? k ?1 ?
n

? 6 n ? 2?

1 2 k ?1 k

n

1 33 ? 6 ?1 ? ; 2 1 10 1 1 ? 33 ? 当 n ? 2 时, 6 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 6 ? 2 ? ; 10 ?1 2 ? n 1 当 n ? 3 时, 6n ? 2? 2 k ?1 k
当 n ? 1 时, 6 ? 1 ? 2 ?
n 1? 1 ? ? 6n ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 2? ? 2 ? k ?3 k 2 ? 1 4 ? ? n ? 5 1 1 ? ? 6n ? ? 2 ? ? ? 1 1? 2 k ?3 ? k? k? ? 2 2? ? 5 4 33 ? 6n ? ? ? 6n ? . 2 5 10 ··········· ··········· ·········· ········ 分 ······································· 14 ·········· ··········· ··········· ·······

-5-


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