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【名师伴你行】2015届高考文科数学二轮复习专题突破课件:2-6-2 圆锥曲线的方程与性质


名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

基 础 记 忆 提 能 专 训

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第二部分 专题六 第2讲

第 1页

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础 记 忆 提 能 专 训

第二部分 二轮知识专题大突破
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基 础 记 忆 提 能 专 训

专题六
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解析几何

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第二讲
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圆锥曲线的方程与性质

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1.要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方
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法,在抓住通性通法的同时,要训练利用代数方法解决几何问 题的运算技巧. 2.要熟悉圆锥曲线的几何性质,重点掌握直线与圆锥曲线相 关问题的基本求解方法与策略,提高运用函数与方程思想,向
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量与导数的方法来解决问题的能力. ?1?对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查 对象,有时也考查椭圆的定义应用,尤其要熟记椭圆中参数a, b,c之间的内在联系及其几何意义.

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?2?对于双曲线的考查主要有两种形式:一是求双曲线方
基 础 记 忆

程;二是通过方程研究双曲线的性质.?? ?3?高考对抛物线定义的考查主要体现在抛物线的标准方 程、焦点等问题,考查方程主要有两个方面,一是用定义或待 定系数法求抛物线方程;二是利用抛物线方程研究几何性质.
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基 础 记 忆

基础记忆
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试做真题

基础要记牢,真题须做熟

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基础知识不“背死”,就不能“用活”! 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
基 础 记 忆

名称

椭圆 |PF1|+|PF2|= 2a(2a>|F1F2|) x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0)

双曲线 ||PF1|-|PF2||= 2a(2a<|F1F2|) x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

抛物线 |PF|=|PM|,点F不
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定义

在直线l上,PM⊥l 于M y2=2px(p>0)

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标准 方程

图形

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名称
基 础 记 忆

椭圆 |x|≤a, |y|≤b (± a,0) (0,± b)

双曲线 |x|≥a

抛物线 x≥0
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范围 几 何 顶点 对称性 焦点

(± a,0)

(0,0) 关于x轴对称
?p ? ? ,0? ?2 ?

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性 质

关于x轴,y轴和原点对称 (± c,0)

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名称
基 础 记 忆

椭圆 长轴长2a, 短轴长2b c e= = a b 1- 2 a
2

双曲线 实轴长2a, 虚轴长2b c e= = a b 1+ 2 a
2

抛物线

轴 几 何 离心率

e=1 p x=-2

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性 质 准线 渐近线

(0<e<1)

(e>1)

b y=± ax

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基 础 记 忆

高考真题要回访,做好真题底气足 1.(2014· 全国新课标Ⅰ)已知抛物线C:y2 =x的焦点为F, 5 A(x0,y0)是C上一点,|AF|=4x0,则x0=( A.1 C.4 B.2 D.8 )
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答案:A

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1 5 解析:由题意知抛物线的准线为x=- .因为|AF|= x0,根 4 4
基 础 记 忆

1 5 据抛物线的定义可得x0+4=|AF|=4x0,解得x0 =1,故选A.

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x2 y2 2.(2014· 江西高考)过双曲线C: 2- 2=1的右顶点作x轴的 a b
基 础 记 忆

垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半 径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为 ( ) x2 y2 A. 4 -12=1 x2 y2 C. - =1 8 8
答案:A
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x2 y2 B. 7 - 9 =1 x2 y2 D. - =1 12 4

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解析:设双曲线的右焦点为F,则F(c,0)(其中c= a2+b2 ),
基 础 记 忆

且c=|OF|=r=4,不妨将直线x=a代入双曲线的一条渐近线方 b 程y= a x,得y=b,则A(a,b).由|FA|=r=4,得 ?4-a?2+b2 = 4,即a2-8a+16+b2=16,所以c2-8a=0,所以8a=c2=42,
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解得a=2,所以b2=c2-a2=16-4=12,所以所求双曲线的方 x2 y2 程为 4 -12=1.

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x2 y2 3.(2014· 辽宁高考)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点 9 4
基 础 记 忆

不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中 点在C上,则|AN|+|BN|=________.
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答案:12
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解析:取MN的中点G,G在椭圆C上,因为点M关于C的焦
基 础 记 忆

1 1 点F1,F2的对称点分别为A,B,故有|GF1|= 2 |AN|,|GF2|= 2 |BN|,所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12.
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x2 4.(2014· 浙江高考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- a
基 础 记 忆

y2 b2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足 |PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.

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[答案]

5 2

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[解析]
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b 联立直线方程与双曲线渐近线方程y=± x可解得交 a ,
? -am bm ? ? ? , ?3b+a 3b+a? ? ?

点为

? am bm ? ? ? , ?3b-a 3b-a? ? ?

1 ,而kAB= 3 ,由|PA|=
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|PB|,可得AB的中点与点P连线的斜率为-3,即
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bm bm + 3b-a 3b+a -0 2 5 2 2 =-3,化简得4b =a ,所以e= . 2 -am am + 3b-a 3b+a -m 2

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基 础 记 忆

热点盘点
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细研深究

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必须回访的热点名题

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圆锥曲线的定义与标准方程
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[试题调研] [例1] x2 y2 (1)(2014· 天津高考)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)

的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直 线l上,则双曲线的方程为(
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) x2 y2 B.20- 5 =1 3x2 3y2 D.100- 25 =1

x2 y2 A. 5 -20=1 3x2 3y2 C. 25 -100=1

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[易错指导]
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解析几何问题中最容易运算出错,在解题时一

定要注意运算的准确性及技巧性.
[答案] A
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[解析]
基 础 记 忆

b 由题意可知,双曲线的其中一条渐近线y= x与直 a

b 线y=2x+10平行,所以a =2且左焦点为(-5,0),所以a2+b2=c2
2 2 x y =25,解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为 - =1.选A. 5 20

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(2)(2014· 辽宁高考)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准
基 础 记 忆

线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( 4 A.-3 3 C.- 4 B.-1 1 D.- 2

)
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[方法技巧]
基 础 记 忆

本题中点A在抛物线C的准线上,等价于点A的

坐标适合抛物线C的准线方程,解题时要充分应用这种方法,这 样就把几何条件转化为代数关系式求解.
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[答案] C
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[解析]
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p 因为点A在抛物线的准线上,所以- =-2,所以 2

3-0 3 该抛物线的焦点F(2,0),所以kAF= =-4,选C. -2-2

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基 础 记 忆

(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部 分:比如定义中要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|,双曲线的定义中要求 ||PF1|-|PF2||<|F1F2|,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距 离相等的转化.
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(2)注意数形结合,提倡画出合理草图.

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(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计
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算”.所谓“定型”,就是指确定类型,所谓“计算”,就是 指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入写出 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
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[回访名题]
基 础 记 忆

x2 y2 (2014· 全国大纲)已知椭圆C: a2 + b2 =1(a>b>0)的左、右焦 3 点为F1,F2,离心率为 3 ,过F2的直线l交C于A,B两点,若△ AF1B的周长为4 3,则C的方程为( ) x2 y2 A. 3 + 2 =1 x2 y2 C. + =1 12 8 x2 2 B. 3 +y =1 x2 y2 D. + =1 12 4
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[答案]

A
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解析:利用椭圆的定义及性质列式求解.
基 础 记 忆

3 c 3 由e= 3 得 a = 3 ①.又△AF1B的周长为4 3 ,由椭圆定义, 得4a=4 3,得a= 3,代入①得c=1,∴b2=a2-c2=2, x2 y2 故C的方程为 + =1. 3 2
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圆锥曲线的几何性质
基 础 记 忆

[试题调研] [例2] x2 y2 (1)(2014· 山东高考)已知双曲线 a2 - b2 =1(a>0,b>0)

的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F.若双 曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c.则双曲线的渐
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近线方程为________.

[答案]

y=± x

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[解析]
基 础 记 忆

p 抛物线x =2py的准线方程为y=- 2 ,与双曲线的
2

方程联立,得
2? ? p x2=a2?1+4b2?, ? ? 2? ? p 根据已知得a2 ?1+4b2? ? ?

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=c2

p2 ①.由|AF|=c,得 4 +a2=c2

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②. 由①②可得a2=b2,即a=b,所以所求双曲线的渐近线方程 是y=± x.

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[方法技巧] 求双曲线的渐近线方程、离心率等问题就是建
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立双曲线中a,b,c的等量关系式,解题时要善于根据已知几何 条件得出a,b,c满足的方程,从而确定a,b,c的等量关系. x y (2)(2014· 安徽高考)设F1,F2分别是椭圆E:a2+ b2=1(a>b>0)
2 2

提 能 专 训

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的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|= 3|F1B|. ①若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|; 3 ②若cos∠AF2B=5,求椭圆E的离心率.
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[思路方法] ①根据椭圆定义及三角形的周长求解;②由
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已知条件及椭圆定义结合余弦定理、离心率的定义求解.
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[解析]
基 础 记 忆

(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.

因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16, |AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.
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由椭圆定义可得 |AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2中,由余弦定理可得

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|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|· |BF2|· cos∠AF2B,
基 础 记 忆

6 即(4k) =(2a-3k) +(2a-k) -5(2a-3k)· (2a-k),
2 2 2

化简可得(a+k)(a-3k)=0. 而a+k>0,故a=3k.
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于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2, 可得F1A⊥F2A,

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2 故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c= 2 a,
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c 2 所以椭圆E的离心率e=a= 2 .
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基 础 记 忆

1.圆锥曲线的离心率 椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度和双曲线开 口大小的一个量,其取值范围分别是0<e<1和e>1.在求解有关离 心率的问题时,一般并不是直接求出c和a的值,而是根据题目
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给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数c,a,b的方程 或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.

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2.双曲线的渐近线
基 础 记 忆

(1)求法:把双曲线标准方程等号的右边1改为零,分解因式 可得. b a (2)用法:①可得 或 的值. a b
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②利用渐近线方程所求双曲线的方程. 3.抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一 条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线.这里强调p的 几何意义是焦点到准线的距离.

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4.要能灵活运用平时解题过程中推导出来的一些结论,如
基 础 记 忆

θ 椭圆中焦点三角形的面积公式S△F1PF2=b sin ,双曲线中的S 2
2

△F1PF2=

b2 θ tan 2

(其中θ=∠F1PF2)等,可简化运算过程,节省时

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间.(结论可结合正、余弦定理推导).

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[回访名题]
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x2 y2 (1)(2014· 重庆高考)设F1,F2分别为双曲线 a2 - b2 =1(a>0, b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2 -3ab,则该双曲线的离心率为( ) D. 17
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A. 2

B. 15

C .4

答案:D

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解析:由双曲线的定义,可得||PF1|-|PF2||=2a,
基 础 记 忆

从而可将已知等式转化为关于a,b的方程,求出a,b之间 的关系,再将双曲线的离心率用a,b表示即可. 根据双曲线的定义||PF1|-|PF2||=2a,由(|PF1|-|PF2|) =b
2 2 2 2 2 2

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b -3ab可得4a =b -3ab,即b -3ab-4a =0,解得 a =4(负值舍 c 去).所以e=a= a2+b2 a2 = b2 1+a2= 1+16= 17.

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x2 y2 (2)(2014· 江西高考)设椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左右焦点 a b
基 础 记 忆

为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相 交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于________.
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3 答案: 3

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解析:由题意知F1(-c,0),F2(c,0),其中c= a2-b2 ,因为
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过F2且与x轴垂直的直线为x=c,由椭圆的对称性可设它与椭圆
? ? b2? b2? 的交点为A?c, a ?,B?c,- a ?. ? ? ? ?
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因为AB平行于y轴,且|F1O|=|OF2|,
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所以|F1D|=|DB|,即D为线段F1B的中点,
? b2 ? 所以点D的坐标为?0,-2a?, ? ?

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又AD⊥F1B,所以kAD· kF1B=-1,
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b2 ? b2 ? b2 ?- ? - -0 - a ? 2a? a 即 × =-1, c-0 c-?-c? 整理得 3b2=2ac,所以 3(a2-c2)=2ac,

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c 又e= ,0<e<1,所以 3e2+2e- 3=0, a 3 解得e= (e=- 3舍去). 3

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直线与圆锥曲线的位置关系
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[试题调研] [例3] (2014· 辽宁高考)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y
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轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P(如图).
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(1)求点P的坐标;
基 础 记 忆

(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+ 3 交于 A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程. [思路方法] (1)使用点P的坐标表达切线方程,然后使用点
提 能 专 训

P的坐标表示三角形的面积,利用点P的坐标满足圆的方程和基
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本不等式得出三角形面积取得最小值时的条件,解出点P的坐 标;(2)设出椭圆方程,根据已知条件得出椭圆方程中的系数满 足的方程,解方程得出椭圆方程中的系数即得C的标准方程.

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[解析]
基 础 记 忆

(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率

x0 x0 为-y ,切线方程为y-y0=-y (x-x0),即x0x+y0y=4, 0 0 此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S= 14 4 8 ··= . 2 x0 y0 x0y0
提 能 专 训

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2 由x 0 +y 2 0 =4≥2x0y0知当且仅当x0=y0= 2 时x0y0有最大值,

即S有最小值,因此点P的坐标为( 2, 2).

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第二部分 专题六 第2讲

第47页

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x2 y2 (2)设C的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0),点A(x1,y1), a b
基 础 记 忆

B(x2,y2). x2 y2 ? ? 2+ 2=1, 2 2 由点P在C上知a2+b2=1,并由?a b 得 ? ?y=x+ 3, b2x2+4 3 x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此
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? ?x +x =-4 23, b ? 1 2 ? 2 6 - 2 b ? x x = b2 . ? ? 1 2
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由y1=x1+ 3,y2=x2+ 3,得
基 础 记 忆

48-24b2+8b4 |AB|= 2|x1-x2|= 2· . b2 3 1 3 由点P到直线l的距离为 及S△PAB= 2 × ×|AB|=2得b4- 2 2
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9b2+18=0, 解得b2=6或3, 因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6. x2 y2 从而所求C的方程为 6 + 3 =1.
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[方法技巧] 求解二元最值问题的基本方法之一是基本不等
基 础 记 忆
2 式法,此时需要知道变量满足的关系式(本题中为x2 0+y0 =4);求

解圆锥曲线方程的基本方法之一是待定系数法,即得出曲线方 程中的系数满足的方程或者方程组,求解即可.
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1.直线与圆锥曲线的位置关系主要由联立方程后方程的解
基 础 记 忆

进行判断,一般不需要直接求出方程的解,二次方程的判别式 及根与系数的关系是解决这类问题最好的方法,因此,这种题 目充分体现了函数与方程思想的灵活运用.而对于直线与双曲
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线或抛物线的位置关系的判断,联立方程后首先要看二次项系 数是否为0.

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2.对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”
基 础 记 忆

求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件Δ≥0,在用 “点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交. 3.涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而 不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、
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设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥 曲线的定义求解.

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[回访名题]
基 础 记 忆

(2014· 江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分 x2 y2 别是椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0, b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于
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另一点C,连接F1C.

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?4 1? (1)若点C的坐标为?3,3?,且BF2= ? ?

2,求椭圆的方程;

(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.

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解:设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).
基 础 记 忆

(1)因为B(0,b),所以BF2= b2+c2=a. 又BF2= 2,故a= 2. 16 1 ?4 1? 9 9 因为点C?3,3?在椭圆上,所以 2 + 2=1. a b ? ?
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解得b2=1. x2 2 故所求椭圆的方程为 2 +y =1.

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(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,
基 础 记 忆

x y 所以直线AB的方程为c+b=1. ?x y ?c+b=1, 解方程组? 2 2 x y ? 2+ 2=1, ?a b
2 2 a ? ?x1= 2 c 2, a +c ? 得? 2 2 b ? c - a ? ?y = 2 2 , 1 ? a + c ?

? ?x2=0, ? ? ?y2=b.

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2 2 ? ? 2a2c b ? c - a ?? ? 所以点A的坐标为? 2 2, 2 2 ?. a +c ? ?a +c

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又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为
基 础 记 忆
2 2 ? ? 2a2c b ? a - c ?? ? ?a2+c2, a2+c2 ?. ? ?

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b?a2-c2? 2 2 -0 a +c b?a2-c2? 因为直线F1C的斜率为 2a2c = 2 ,直线AB的 3a c+c3 -?-c? a2+c2 b 斜率为- ,且F1C⊥AB. c

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基 础 记 忆

b?a2-c2? ? b? ?- ?=-1. 所以 2 3· 3a c+c ? c? 1 5 又b =a -c ,整理得a =5c ,故e =5.因此e= 5 .
2 2 2 2 2 2

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[典例]
基 础 记 忆

x2 y2 (2014· 陕西高考)已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)经过点 a b

1 (0, 3),离心率为2,左右焦点分别为F1 (-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程;

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1 (2)若直线l:y=- 2 x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为 |AB| 5 3 直径的圆交于C,D两点,且满足|CD|= 4 ,求直线l的方程.

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[审题策略] 第(1)句中,可由两已知条件及a2=b2+c2建立
基 础 记 忆

参数a,b,c的方程组,求出a,b的值即得椭圆方程;在第(2)问 中,求直线l方程的关键是求出参数m的值,可根据圆中的弦长 公式将|CD|用m表示,再将直线l的方程与椭圆方程联立,利用 弦长公式结合根与系数的关系将|AB|用m表示出来,然后再由条
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|CD| 5 3 件 |AB| = 4 建立关于m的方程,求解得到m的值即可求出l的方 程.

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[解析]

? ?b= 3, ?c 1 (1)由题设知 ?a=2, ? 2 2 2 ? b = a - c , ?



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?a=2, ? 解得?b= 3, ?c=1, ? x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 4 3

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(2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1,
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2|m| ∴圆心到直线 l 的距离 d= , 5 5 由 d<1 得|m|< 2 .(*)
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设 A(x1,y1),B(x2,y2),
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1 ? ?y=-2x+m, 由? 2 2 ?x +y =1, ?4 3


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x2-mx+m2-3=0,
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由根与系数的关系可得 x1+x2=m,x1x2=m2-3.

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基 础 记 忆

|AB| 5 3 由|CD|= 4 得

4-m2 =1, 5-4m2

3 解得 m=± ,满足?*?. ④ 3 1 3 1 3 ∴直线 l 的方程为 y=- x+ 或 y=- x- . 2 3 2 3

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[失分警示]
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失分点 1:题中①处易出现因粗心错解而失分.

失分点 2:题中②处错误得出|CD|而造成失分. 失分点 3:题中③处由于计算不认真而造成|AB|求解错误失 分.
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3 5 失分点 4: 题中④处在求出 m=± 3 后未验证是否满足|m|< 2 而造成无谓失分.

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[答题指导]
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解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,经常是

直线方程与圆锥曲线方程进行联立,消元得一元二次方程,再进 行求解,但要注意完善解题过程,如直线斜率是否存在,二次项 系数是否为零,对 Δ 的判断等.必要时应分类进行讨论. 常用规律方法为: (1)直线与曲线相交的解决方法: 解方程组
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得交点坐标法、根与系数的关系整体处理法.

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(2)解中点问题的处理方法:根与系数的关系法、点差法.
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(3)求曲线方程的方法:直接法、定义法、待定系数法、代入 法、参数法、交轨法等.
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进入提能专训(十八)
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