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14数学全国教师3(理)

时间:2014-10-03


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(三)
第三单元 指数函数、对数函数、幂函数
(120 分钟 150 分)

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.下列函数中,既是单调函数,又是奇函数的是 A.y=x5
答案:

A

B.y=5x

C.y=log2x

D.y=x-1

解析:B、C 不具有奇偶性,D 不具有单调性.

2.设函数 f(x)= A.9

log1 x(x > 1), 2 则 f(f(16))的值是 3 (x ≤ 1), B.
1 16

C.81

D.

1 81 1 81

解析:因为 f(16)=log 1 16=-4,所以 f(f(16))=f(-4)=3-4= .
2

答案:D

3.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(3, 3 ),则 log3f(81)的值为 A.2 B.-2
1 1

1 3

1

C.2

D.-2
1 3 1α 1 1 1 =( ) ,所以 α= ,所以 y= 2 ,所以 log3( )2 =log33-2=-2. 3 3 2 81

解析:设幂函数为 y=xα,则 答案:D

4.函数 y=(3 )

1

2 -4x+1

的值域为 D.(-27,27)
1 3

A.(-∞,27] B.(0,27] C.[27,+∞)

解析:令 u=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,因为 y=( )x 是减函数,所以 0<y≤27. 答案:B

5.设 a=log 1 6,b=(6)0.2,c=56 ,则
5

1

1

A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b
5 5

D.b<a<c
1 6
1

解析:由指、对函数的性质可知:a=log 1 6<log 1 1=0,0<b=( )0.2<1,c=56 >50=1,所以 a<b<c.

答案:A

6.函数 f(x)=|log1 (3-x)|的单调递减区间是
2

A.(-∞,2]

B.(2,3) C.(-∞,3) D.[3,+∞) -log1 (3-x),x ≤ 2,
2 2

解析:因为 f(x)= 答案:A

log1 (3-x),2 < x < 3,

而 f(x)=-log 1 (3-x)在(-∞,2]上单调递减.
2

7.设函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的图象过点(2,10),其反函数的图象过点(4,1),则 a-b 等于 A.5 B.3 C.2 D.-1 2 + b = 10, 解得 a=3 或 a=-2(舍),b=1,所以 a-b=2. + = 4,

解析:由题意知 答案:C

8.由于盐碱化严重,某地的耕地面积在最近 50 年内减少了 10%.如果按此规律,设 2012 年 的耕地面积为 m,则 2017 年的耕地面积为 A.(1-0.1250)m B.0.910 m
1 1

C.0.9250m D.(1-0.910 )m
解析:设每年耕地减少的百分率为 a,则有(1-a)50=1-10%,所以 a=1-0.950 ,则从 2012 年起,过 x 年后耕 地面积 y 与 x 的函数关系是 y=m(1-a)x=0.950 m.当 x=5 时,y=0.910 m. 答案:B
1 1

9.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x<0 时,f(x)=ln

1 ,则函数 1-

f(x)的大致图象为

解析:当 x>0 时,-x<0,所以 f(-x)=ln

1 =-ln(1+x),所以 f(x)=ln(1+x),其图象是将 f(x)=ln x 的图象向左 1+

平移一个单位,由于 f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故选 D. 答案:D

10.已知函数 f(x)=( )x- 5 ,那么函数 f(x)零点所在的区间可以是

1 4

1

A.(-1,0)

B.(0, ) C.( , ) D.( ,1)
1 4
1

1 5

11 54

1 4

解析:因为 f(-1)=( )-1-(-1)5 =4+1=5>0,f(0)=( )0-05 =1>0,f(1)= -1<0,f( )=( )4 -( )5<0,f( )=( )5( )5 >0,所以 f( )·f( )<0,故选 C. 答案:C
1 1 5 1 4 1 5

1 4

1

1 4

1 4

1 1 1 1 4 4

1 5

1 1 4

11.定义一种运算(a,b)*(c,d)=ac+bd,若函数 f(x)=(1,log5x)*(( )x,log2 ),x0 是方程 f(x)=0 的解, 且 x1>x0,则 f(x1)的值 A.恒为正值 B.等于零
1 3 1 2 1 3

1 3

1 2

C.恒为负值
1 1 2 3

D.不小于 0

解析:由定义 f(x)=(1,log5x)*(( )x,log2 )=( )x+log5x·log2 =( )x-log5x. 因为函数 f(x)是单调递减函数,所以 f(x1)<f(x0)=0. 答案:C

12.若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图象与函 数 g(x)= A.18 lg( > 0) 的图象在(-12,12)内交点的个数为 1 - (x < 0) B.20 C.21 D.22 lg( > 0), - (x < 0)
1

解析:因为 f(x+2)=f(x),所以 f(x)的周期为 2,x∈[-1,1]时,f(x)=x2,画出函数 f(x)与 g(x)=

在(-12,12)内的图象,发现 f(x)=x2 在 x 轴右侧的图象与 g(x)=lg x 有 9 个交点,f(x)=x2 在 x 轴左侧的图象 与 g(x)=- 在(-12,0)内有 11 个交点,一共有 20 个交点. 答案:B
1

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.函数 y= log1 (1-x)的定义域是
3

.

解析:要使函数有意义,必须满足

1- > 0, 即 0<1-x≤1,所以 0≤x<1. log1 (1-x) ≥ 0,
3

答案:[0,1)

14.log2 8+lg 20+lg 5+6lo g 6 2 +(-7.6)0=
解析:原式=log222 +lg(20× 5)+2+1= +2+3= . 答案:
13 2
3

.
13 2

3 2

15.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 y=3|x|的定义域为[a,b],值域为[3,9],则 区间[a,b]的长度为
答案:1

.

解析:因为满足值域为[3,9]的定义域为[-2,-1]或[1,2],所以区间[a,b]长度为 1.

16.已知函数 f(x)= 值范围是

log3 x,x > 0, 且关于 x 的方程 f(x)+x+3a=0 有两个实数根,则实数 a 的取 3 ,x ≤ 0, .

解析:因为方程 f(x)+x+3a=0 有两个实数根,所以 f(x)的图象与函数 y=-x-3a 的图象有两个交点,如图所示, 可知-3a≤1,所以 a≥- . 答案:[- ,+∞)
1 3 1 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分) 设函数 f(x)=ln(x2-ax+2)的定义域为 A. (1)若 2∈A,-2?A,求实数 a 的范围; (2)若函数 y=f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.
解析:(1)由题意,得

4-2 + 2 > 0 ,所以 a≤-3. 4 + 2 + 2 ≤ 0

故实数 a 的范围为(-∞,-3].5 分 (2)由题意,得 x2-ax+2>0 在 R 上恒成立, 则 Δ=a2-8<0,解得-2 2<a<2 2.

故实数 a 的范围为(-2 2,2 2).10 分

18.(本小题满分 12 分) 点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,点(-2, )在幂函数 g(x)的图象上. (1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)当 x 为何值时,有 f(x)>g(x).
1 4

解析:(1)设 f(x)=xα,则由题意得 2=( 2)α,∴ α=2,即 f(x)=x2, 再设 g(x)=xβ,则由题意得 =(-2)β,β=-2,即 g(x)=x-2.6 分 (2)在同一坐标系中作出 f(x)与 g(x)的图象,如图所示.f(x)与 g(x)交于(-1,1)点和(1,1)点, 由图象可知:当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>g(x).12 分
1 4

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=3+log2x,x∈[1,16],若函数 g(x)=[f(x)]2+2f(x2). (1)求函数 g(x)的定义域; (2)求函数 g(x)的最值.
解析:(1)函数 g(x)=[f(x)]2+f(x2)满足

1 ≤ ≤ 16, 1 ≤ 2 ≤ 16,

解得 1≤x≤4,即函数 g(x)=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,4].5 分 (2)因为 x∈[1,4],所以 log2x∈[0,2]. g(x)=[f(x)]2+2f(x2)=(3+log2x)2+6+2log2x2
2 =log 2 2 x+10log2x+15=(log2x+5) -10,

当 log2x=0 时,g(x)min=15,当 log2x=2 时,g(x)max=39, 即函数 g(x)的最大值为 39,最小值为 15.12 分

20.(本小题满分 12 分) 若已知某火箭的起飞重量 M 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量 m 和燃料重量 x 之和,在 不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度 y 关于 x 的函数关系式为 y=k[ln(m+x)-

ln( 2m)]+5ln 2(其中 k≠0).当燃料重量为( e-1)m 吨(e 为自然对数的底数,e≈2.72)时,该火 箭的最大速度为 5 千米/秒. (1)求火箭的最大速度 y(千米/秒)与燃料重量 x(吨)之间的关系式 y=f(x); (2)已知该火箭的起飞重量是 816 吨,则应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞行速度 达到 10 千米/秒,顺利地把卫星发送到预定的轨道?
解析:(1)依题意,把 x=( e-1)m,y=5 代入函数关系 y=k[ln(m+x)-ln( 2m)]+5ln 2, 解得 k=10.所以所求的函数关系式为 y=10[ln(m+x)-ln( 2m)]+5ln 2=ln( (2)设应装载 x 吨燃料方能满足题意,此时 m=816-x,y=10, 代入函数关系式 y=ln(
+ 10 816 ) ,得 ln =1,解得 x≈516 吨, 816- + 10 ) .6 分

应装载 516 吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.12 分

21.(本小题满分 12 分) 对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为不等函数. ① 对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ② 当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. 已知函数 g(x)=x3 与 h(x)=2x-a 是定义在[0,1]上的函数. (1)试问函数 g(x)是否为不等函数?并说明理由; (2)若函数 h(x)是不等函数,求实数 a 组成的集合.
解析:(1)当 x∈[0,1]时,总有 g(x)=x3≥0,满足① ; 当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,
3 3 3 3 2 2 g(x1+x2)=(x1+x2)3=1 +2 +31 ·x2+3x1·2 ≥1 +2 =g(x1)+g(x2),满足② ,

所以函数 g(x)是不等函数.5 分 (2)h(x)=2x-a(x∈[0,1])为增函数,h(x)≥h(0)=1-a≥0,所以 a≤1. 由 h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2),得2 1 + 2 -a≥2 1 -a+2 2 -a, 即 a≥2 1 +2 2 -2 1 + 2 =1-(2 1 -1)(2 2 -1). 因为 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 所以 0≤2 1 -1≤1,0≤2 2 -1≤1,x1 与 x2 不同时等于 1, 所以 0≤(2 1 -1)(2 2 -1)<1,所以 0<1-(2 1 -1)(2 2 -1)≤1.

当 x1=x2=0 时,[1-(2 1 -1)(2 2 -1)]max=1,所以 a≥1. 综合上述,a∈{1}.12 分

22.(本小题满分 12 分) 已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)+f(x)=0,且当 x∈(-1,0)时, f(x)=-9 +1. (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解?
解析:(1)因为 f(x)是 x∈R 上的奇函数,所以 f(0)=0. 设 x∈(0,1)时,-x∈(-1,0), 所以 f(-x)=3 3 =-f(x), 所以 f(x)= , 9 +1 9- +1 9 +1 3- 3

=-



-

所以 f(x)= 0, = 0,

3 ,x∈(-1,0), 9 +1

3 ,x∈(0,1). 9 +1

4分

(2)设 0<x1<x2<1, f(x1)-f(x2)=
(31 -32 )+(31 +22 -32 +21 ) (31 -32 )(1-31 +2 ) = , (91 +1)(92 +1) (91 +1)(92 +1)

因为 0<x1<x2<1,所以3 1 <3 2 ,3 1 + 2 >30=1, 所以 f(x1)-f(x2)>0, 所以 f(x)在(0,1)上为减函数.8 分 (3)因为 f(x)在(0,1)上为减函数, 所以
31
1

9 +1

<f(x)<

30
0

9 +1

,即 f(x)∈(

3 1 , ). 10 2

同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈(- ,- ). 又 f(0)=0,当 λ∈(- ,- )∪( , )或 λ=0 时,方程 f(x)=λ 在 x∈(-1,1)上有实数解. 12 分
1 3 2 10 3 1 10 2

1 3 2 10


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