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高中导数及其应用 综合整理


导数及其应用
3.1.2 导数的概念(要求熟悉) 1.导数(导函数的简称)的定义:设 x 0 是函数 y ? f ( x) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,则函
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?y ? f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) y ?x 数值 也引起相应的增量 ; 比值 ?x 称

为函数 y ? f ( x) 在点 x 0 到 x 0 ? ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x 之间的平均变化率;如果极限 存在,则称函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,并把这个

极限叫做 y ? f ( x) 在 x 0 处的导数,记作 f ( x0 ) 或

'

y ' | x? x0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ,即 f ( x0 ) = ?x?0 ?x ?x?0 .
'

lim

' 2.以知函数 y ? f ( x) 定义域为 A , y ? f ( x) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为 A ? B .

常用性质:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3.1.3 导数的几何意义(要求掌握) 1.导数的几何意义:函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,
y ? f ( x) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 即 f ' ( x0 ) ? 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 ? k 。也就是说,曲线 lim
?x ?0

?x

f ' ( x0 )

' ,切线方程为 y ? y 0 ? f ( x)( x ? x0 ).

2.求切线方程的步骤:(注:已知点 ( x0 , y0 ) 在已知曲线上) ①求导函数 f ' ( x) ;②求切线的斜率 f ' ( x0 ) ;③代入直线的点斜式方程: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,并整理。 3.求切点坐标的步骤:①设切点坐标 ( x0 , y0 ) ;②求导函数 f ( x) ;③求切线的斜率 f ' ( x0 ) ;④由斜率间的关 系列出关于 x0 的方程,解方程求 x0 ;⑤点 ( x0 , y0 ) 在曲线 f ( x) 上,将 ( x0 , y0 ) 代入求 y0 ,得切点坐标。
'

,f (1)) 处的切线方程是 例1. 已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1
3.2 导数的计算(要求掌握) 1.基本初等函数的导数公式:
C ' ? 0 ( C 为常数)

y?

1 x?2 ) ( ?1 ) (f ? 2 , 则 f1

?



(sin x) ? cos x (cos x) ? ? sin x
(loga x) ' ? 1 loga e x
'

'

(arcsin x) ' ?

1 1? x 2

( x ) ? nx
(ln x) ' ? 1 x

n '

n ?1

(arccos x) ' ? ?
' ( a r c tx a)n ?

1 1? x 2

( n?R )

1 x ?1
1 x 2 ?1
2

(e ) ? e

x

'

x

(a ) ? a ln a

x '

x

(arccot x) ' ? ?

2.导数运算法则:
' ' ' ' ' ' ' ① [ f ( x) ? g ( x)] ? f ( x) ? g ( x) ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x)

1

② [ f ( x) g ( x)]' ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ; ③[

f ( x) ' f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x ) ; ] ? g ( x) [ g ( x)]2

④ [cf ( x)]' ? cf ' ( x)

' ' ' ' ' ' 3.复合函数的求导法则: f x (? ( x)) ? f (u)? ( x) 或 y x ? y u ? u x

注:若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不 可导.

1 f ( x) ? x 3 ? 2 x ? 1 ? ? 3 例2. f ( x ) 是 的导函数,则 f (?1) 的值是



3 2 ?x , y ? x ? 0 ,求直线 l 的 例3.已知曲线C: y ? x ? 3x ? 2x ,直线 l : y ? kx ,且直线 l 与曲线C相切于点 0 0 0

方程及切点坐标。

3.3.1 函数的单调性与导数 (1)在区间 [a, b] 内, f ( x) >0, ? f(x)为单调递增; f ( x) <0 ? f(x)为单调递减。 (2)用导数求函数单调区间的三个步骤:①确定函数的定义域;②求函数 f(x)的导数 f ?( x) ;③令 f ?( x) ? 0 解 不等式,得 x 的范围就是递增区间;④令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是递减区间。 (3)用导数判断或证明函数的单调性的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ?( x) ;②判断 f ?( x) 的符号;③给出单调性 结论。
' '

注:① f ( x) ? 0 是 f(x)递增的充分条件,但不是必要条件 例4.已知 f ?x? ? ax ? 3x ? x ? 1在R上是减函数,求 a 的取值范围。
3 2

3.3.2 函数的极值与导数(要求掌握) 1.极值的定义:若导数在 x0 附近左正右负,则在 x0 处取得极大值;若左负右正,则取得极小值。 2.求可导函数 f ( x) 的极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数 f′(x);③求方程 f′(x)=0 的根 x0 ;④ 列表,方程的根 x0 将整个定义域分成若干个区间,把 x, f ( x), f ( x) 在每个区间内的变化情况列在这个表格内; ⑤判断,得结论。
2
'

极值的判别方法:
' ' ②如果在 x 0 附近的左侧 f ( x) <0,右侧 f ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. ' ' ①如果在 x 0 附近的左侧 f ( x) >0,右侧 f ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值;

例5. 设函数 f ( x) ? 2x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值。
3 2

(1)求a、b的值;

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求c的取值范围。 (2)若对于任意的 x ?[0,
2

3.3.3 函数的最大(小)值与导数(要求掌握)

函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值;

②将函数 f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) 、 f (b) 比较,得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值。 例题解析:

1 1 5 5 f ' ?1? ? f ?1? ? 2 ,所以 2 ,由切线过点 M (1,f (1)) ,可得点 M 的纵坐标为 2 ,所以 2 ,所 1.解析:因为 以 f ?1? ? f ' ?1? ? 3 k?
2.解析: f ' ?x ? ? x ? 2 ,所以 f ' ?? 1? ? 1 ? 2 ? 3
2

3.解析:? 直线过原点,则

k?

y0 ? x0 ? 0? 3 2 ?x , y ? y ? x0 ? 3x0 ? 2x0 , x0 。由点 0 0 在曲线C上,则 0

?

y0 2 ? x0 ? 3x0 ? 2 2 x0 。又 y' ? 3x ? 6x ? 2 ,
2

? 在 ? x0 , y 0 ? 处曲线C的切线斜率为 k ? f ' ?x0 ? ? 3x0 ? 6x0 ? 2,?
2x0 ? 3x0 ? 0

x0 ? 3x0 ? 2 ? 3x0 ? 6x0 ? 2

2

2



整理得:

,解得:

x0 ?

3 3 1 y ? ? k ? ? 0 2 或 x0 ? 0 (舍),此时, 8, 4。

? 3 3? 1 ? ,? ? y?? x 4 ,切点坐标是 ? 2 8 ? 。 所以,直线 l 的方程为
4.解析:函数 f ?x? 的导数为 f ' ?x? ? 3ax ? 6 x ? 1。对于 x ? R 都有 f ' ?x ? ? 0 时, f ?x? 为减函数。
2

?a ? 0 ? ? ? 36 ? 12a ? 0 ,解得 a ? ?3 。 由 3ax ? 6x ? 1 ? 0?x ? R? 可得 ?
2

3

所以,当 a ? ?3 时,函数 f ?x? 对 x ? R 为减函数。

1? 8 ? f ?x ? ? ?3x ? 3x ? x ? 1 ? ?3? x ? ? ? 3? 9 。 ? 当 a ? ?3 时,
3 2

3

由函数 y ? x 在R上的单调性,可知当 a ? ?3 是,函数 f ?x? 对 x ? R 为减函数。
3

当 a ? ?3 时,函数 f ?x? 在R上存在增区间。所以,当 a ? ?3 时,函数 f ?x? 在R上不是单调递减函数。 综合(1)(2)(3)可知 a ? ?3 。
2 ? ? ? 5.解析: (1) f ( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b , 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值, 则有 f (1) ? 0 , f (2) ? 0 . 即

6 a3 ? b 0? , ?6 ? ? 41 2 ? 3 a ? 0b ? . ?2 ,解得 a ? ?3 , b ? 4 。
3 2 2 ? (2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c , f ( x) ? 6x ?18x ?12 ? 6( x ?1)( x ? 2) 。

, 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( 12 , ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (23 , ) 时, f ?( x) ? 0 。所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取 当 x ? (01)
x ? ? 0, 3? 得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8 c , f (3) ? 9 ? 8c 。则当 时, f ( x ) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c 。因
为对于任意的 所以

x ? ? 0, 3?

,有 f ( x) ? c 恒成立,
2

?1) (9, ? ?) 。 9 ? 8c ? c2 ,解得 c ? ?1 或 c ? 9 ,因此 c 的取值范围为 (??,

练习题一
1.函数 y ? 1 ? 3x ? x
3





) B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-2,极大值 2 ) D. 0

A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-1,极大值 3
4

??2,3? 上的最小值为( 2.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间
A. 72 B. 36 C. 12

y?
3.函数

ln x x 的最大值为(



A. e

?1

B. e
?x

C. e

2

10 D. 3


4.函数 f ( x) ? x ? e (A) ?? 1,0?

的一个单调递增区间是( (C) ?1,2?

(B) ?2,8?

(D) ?0,2?
4

x) ?? f (x) , g( ? x) ? g (x) 5.已知对任意实数 x , 有 f (? ? ? A. f ( x) ? 0,g ( x) ? 0 ? ? C. f ( x) ? 0,g ( x) ? 0

? ? , 且 x ? 0 时, f ( x) ? 0,g ( x) ? 0 , 则x ?0时 (



? ? B. f ( x) ? 0,g ( x) ? 0 ? ? D. f ( x) ? 0,g ( x) ? 0

6.若函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 ?0,1? 内有极小值,则(
3



(A) 0 ? b ? 1
4

(B) b ? 1

(C) b ? 0

b?
(D)

1 2


7.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0
x

B. x ? 4 y ? 5 ? 0
2

C. 4 x ? y ? 3 ? 0

D. x ? 4 y ? 3 ? 0 )

8.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

9 2 e A. 4

B. 2e

2

C. e

2

e2 D. 2

lim f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 h?0 9.若
A. ? 3 B. ? 6

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? h (
C. ?9
3 2



D. ?12 )

10.(2005 全国卷Ⅰ文)函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =( (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 )

f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( 11.(2008 海南、宁夏文)设 f ( x) ? x ln x ,若
2

A. e

B. e

ln 2 C. 2
3 2

D. ln 2 )

12.(2005 广东)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1是减函数的区间为( A. (2,??) B. (??,2) C. (??,0) D.(0,2)

f ( x) ? 2 x ?
13.(2008 安徽文)设函数

1 ? 1( x ? 0), x 则 f ( x) (



A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 14.(2007 福建文、理)已知对任意实数 x 有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f’(x)>0,g’(x)>0, 则 x<0 时( ) A f’(x)>0,g’(x)>0 B f’(x)>0,g’(x)<0
5

C f’(x)<0,g’(x)>0

D f’(x)<0,g’(x)<0
2

15.(2008 全国Ⅱ卷文)设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? (

)

A.1 导数答案 CDA ABA

1 B. 2
ADD DBD ABA

1 C. 2 ?

D. ?1

练习题二
1.已知物体做自由落体运动的方程为 s ? s (t ) ?

s (1 ? ?t ) ? s (1) 无限趋近于 9.8m / s ,那么正确的说法是( ) ?t A. 9.8m / s 是在 0~1s 这一段时间内的平均速度 B. 9.8m / s 是在 1~(1+ ?t )s 这段时间内的速度 C. 9.8m / s 是物体从 1s 到(1+ ?t )s 这段时间内的平均速度 D. 9.8m / s 是物体在 t ? 1s 这一时刻的瞬时速度.
2. 已知函数 f ’ (x)=3x2 , A. x +x
3

1 2 gt , 若 ?t 无限趋近于 0 时, 2

则 f (x)的值一定是( C. x +c
3

) D. 3x+c (c 为常数) )

B. x

3

(c 为常数)

3. 若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f /(x)的图象是( y y y y

o

x

o B

x

o

x

o

x

A

C ) (c 为常数)

D

4.下列求导数运算错误 的是( ..

(x A.
C.(

2013

? ? 2013x 2012 ? c)

? ? 2xlnx ? x B. (x lnx)
2

cosx xsinx ? cosx ?? ) x x2

? ? 3 ln3 D . (3 )
x x

5..已知曲线 y ?

1 x2 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4
B. 3 C.



A. 2 填空题:

1 2

D.1

/ 1 . 若 f (1) ? 2 0 1 , 2 则 lim
?x ? 0

?x ? 0

lim

f (1) ? f (1 ? ?x) = 4?x

f (1 ? ?x) ? f (1) f (1 ? ?x) ? f (1) = , lim = ? x ? 0 ?x ? ?x f (1 ? 2?x) ? f (1) , lim = 。 ?x ?0 ?x
6



2.函数 y=(2x-3)2 的导数为

函数 y= e

- x

的导数为

3. 若函数 f ( x ) 满足, f ( x) ?

1 3 x ? f ?(1) ? x 2 ? x, 则 f ?(1) 的值 3
B 组能力过关

选择题: (2010 全国新课标高考题) 曲线 y ?

x 在点(-1,-1)处的切线方程为 x?2
B. y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2

(

)

A. y=2x+1

填空题: (哈九中 2012 届高三 11 月份月考试题) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ?

1? a , x ?1

若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 l : y ? ?2 x ? 1 平行,则 a 的值

参考答案
A 组基础达标 选择题: 1.D 2.C 3.A 4.C 5.B 填空题: 1. 2012,-2012,-503,2024; 提示: lim

f (1 ? ?x) ? f (1) = f / (1) ? 2012; ?x ? 0 ?x f (1 ? ?x) ? f (1) f (1 ? ?x) ? f (1) lim =- lim = - f / (1) ? -2012 ?x ? 0 ?x ? 0 ? ?x ?x f (1) ? f (1 ? ?x) 1 f (1 ? ?x) ? f (1) 1 / lim = - lim =f (1) ? -503 ?x ? 0 ? x ? 0 4 4 4?x ?x f (1 ? 2?x) ? f (1) f (1 ? 2?x) ? f (1) lim = 2 lim =2 f / (1) ? 2048 ?x ?0 ? x ? 0 ?x 2?x (∵ ?x →0,则 2 ?x →0)
-x

2. 8x-12 , - e 3. 0

提示: f ?(1) 为常数,f ’ (x)=x2-2 f ?(1) x-1, 令x=1则 f ?(1) =1-2 f ?(1) -1,解得 f ?(1) =0 B 组能力过关 选择题: A 提示:f ’ (x)= 填空题: 3

1 a - a+ ,∵ y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x ?1 ( x ? 1) 2

直线 l : y ? ?2 x ? 1 平行,而直线 l : y ? ?2 x ? 1 的斜率为-2,∴f ’ (1)=-2
7

f ’ (1)=

1 a - a+ =-2,解得 1?1 (1 ? 1) 2

a =3.

解答题 2 1.求 f(x)=1/2x -lnx 的单调区间和极值

2.已知函数 f(x)=1/3x^3-4x+4 (1)求函数 f(x)的极值。 (2)求函数在区间〔-3,4〕上的最大和 最小值。

3.已知函数 f(x)=x^3+ax^2+b,其中 a,b 属于 R (1)若函数 f(x)在 x=1 处取得极小 0,求 a 和 b 的值 (2)若函数 f(x)在区间【0,2】上是增函数,求 a 的取值范围

答案: 1.(1)首先求定义域,x∈(0,+∞),f'(x)=-x^(-3)-1/x=-(1+x^2)/x^3 当 x>0 时,f'(x)<0,函数单调递减。极值不存在 (2)如果是 f(x)=x^2/2-lnx 先求定义域 x∈(0,+∞),f'(x)=x-1/x=(x^2-1)/x 所以 0≤x≤1 时,f'(x)<0,函数单调递减;x>1 时,f'(x)>0,函数单调递增;当 x=1 时,f'(x)=0 此时取极小值 f(x)min=1/2 2.(1)f'(x)=x^2-4=0 则 x1=2, x2=-2 f(2)的极值=1/3*2^3-4*2+4 =-4/3 f(-2)的极值=1/3*(-2)^3-4*(-2)+4 =28/3 (2)函数在区间〔-3,4〕内包括了上面的两个极值, f(-3)=1/3*(-3)^3-4*(-3)+4=7;f(4)=1/3*4^3-4*4+4 =28/3 最大值=f(4)=1/3*4^3-4*4+4 =28/3=f(-2) 最小值 =f(2)的极值=1/3*2^3-4*2+4 =-4/3

8

1、已知函数 f(x)=(2x2―kx+k)·e-x (Ⅰ)当 k 为何值时, f ( x ) 无极值;(Ⅱ)试确定实数 k 的值,使 f ( x ) 的极小值为 0

2.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x .
2 2 (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 [a , a] 上的最大值.

3.设函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) ln( x ? 1)(a ? ?1). (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,设 f ( x ) 的最小值为 g (a), 若g (a) ? t 恒成立,求实数 t 的取值范围。

9

1.解: (I)? f ' ( x) ? (4x ? k )e ? x ? (2x 2 ? kx ? k )(?1)e ? x = [?2 x ? (4 ? k ) x ? 2k ]e
2

?x

k ? ?2( x ? )( x ? 2)e ? x 2

? k ? 4时,f ' ( x) ? ?( x ? 2) 2 e ? x ? 0,? f ( x) 在 R 上单调递减,所以,f(x)无极值
' (II)当 k ? 4 时,令 f ( x) ? ?2( x ?

k k )( x ? 2)e ? x ? 0 ,得 x1 ? , x 2 ? 2 2 2

(1) k<4 时, x

k ? 2 ,有 2 k k (?? , ) 2 2
0 极小值

k ( , 2) 2


2 0 极大值

(2,??)
_

f ' ( x)
f(x)

_

?
k 2 k 2
2

?

?

令 f ( ) ? 0 ,得 2 ? ( ) ? k ? (2)k>4 时,

k ? k ? 0 ,即 k=0. 2

k ? 2 ,有 2
2 0 极小值

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,2)
<0

k (2, ) 2
>0

k 2
0 极大值

k ( ,?? ) 2
<0 令 f (2) ? 0 ,得 k=8 所以,由(1) (2)知, k=0 或 8 时, f ( x) 有极小值 0

?

?

?

2.解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x ,∴函数的定义域为 (0, ??) . ∴ f ?( x) ?

1 1 ? 2ax 2 ? (a ? 2) x ?(2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? ? . x x x

∵ f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,即 f ?(1) ? ?(2 ? 1)(a ? 1) ? 0 ,∴ a ? ?1 . 当 a ? ?1 时,在 ( ,1) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (1, ??) 内 f ?( x) ? 0 , ∴ x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极小值点.∴ a ? ?1 . (Ⅱ)∵ a ? a ,∴ 0 ? a ? 1 . f ?( x) ?
2

1 2

1 1 ? 2ax 2 ? (a ? 2) x (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? ?? x x x
1 2 1 2

∵x∈ (0, ??) ,∴ ax ? 1 ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增;在 ( , ??) 上单调递减, ①当 0 ? a ?

1 2 3 2 时, f ( x ) 在 [a , a] 单调递增,∴ fmax ( x) ? f (a) ? ln a ? a ? a ? 2a ; 2
10

1 ? a ? ? 1 1 2 ? 2 2 1 ②当 ? ,即 ? a ? 时, f ( x ) 在 ( a , ) 单调递增,在 ( , a ) 单调递减, 2 2 2 2 ?a 2 ? 1 ? ? 2
∴ f max ( x) ? f ( ) ? ? ln 2 ?

1 2

a a?2 a ? ? ? 1 ? ln 2 4 2 4

③当

1 2 ? a 2 ,即 ? a ? 1时, f ( x) 在 [a2 , a] 单调递减,∴ fmax ( x) ? f (a2 ) ? 2ln a ? a5 ? a3 ? 2a2 . 2 2

综上所述,当 0 ? a ?

1 3 2 时,函数 y ? f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值是 ln a ? a ? a ? 2a ; 2



a 1 2 时,函数 y ? f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值是 ? 1 ? ln 2 ; ?a? 4 2 2

当a ?

2 5 3 2 时,函数 y ? f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值是 2ln a ? a ? a ? 2a . 2

a ? 1 ax ? 1 ? ( x ? ?1) , x ?1 x ?1 1 ? 0 ,所以函数 f ( x) 的减区间为 (?1, ??) ,无增区间; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? ? x ?1 1 a( x ? ) a , 当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ?1 1 1 1 若 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ,由 f ?( x) ? 0 得 ?1 ? x ? ,所以函数 f ( x ) 的减区间为 ( ?1, ) ,增区间 a a a 1 为 ( , ??) ; a 1 a( x ? ) 1 a ?0, 若 ?1 ? a ? 0 ,此时 ? ?1 ,所以 f ?( x) ? a x ?1
3.(Ⅰ)解: f ?( x) ? a ? 所以函数 f ( x ) 的减区间为 (?1, ??) ,无增区间; 综上,当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 的减区间为 (?1, ??) ,无增区间, 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的减区间为 ( ?1, ) ,增区间为 ( , ??) .

1 a

1 a

1 1 a a g (a) t 1 1 1 t ? ? 0 ? ? (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 , 因为 a ? 0 ,所以 g (a) ? t ? a a a a a a
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得, g (a ) ? f ( ) ? 1 ? ( a ? 1) ln( ? 1) , 令 h( x) ? x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? tx( x ? 0) ,则 h( x) ? 0 恒成立, 由于 h?( x) ? ? ln(1 ? x) ? t ,
11

当 t ? 0 时, h ?( x) ? 0 ,故函数 h( x) 在 (0, ??) 上是减函数,所以 h( x) ? h(0) ? 0 成立;
?t 当 t ? 0 时,若 h?( x) ? 0 得 0 ? x ? e ? 1 ,故函数 h( x) 在 (0, e?t ?1) 上是增函数,

即对 0 ? x ? e ? 1 , h( x) ? h(0) ? 0 ,与题意不符; 综上, t ? 0 为所求

?t

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