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【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第8章 第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质]


第5讲
一、选择题

直线、平面垂直的判定及其性质
).

1.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l⊥m,m?α ,则 l⊥α C.若 l∥α ,m?α ,则 l∥m 答案 B B.若 l⊥α ,l∥m,则 m⊥α D.若 l∥α ,m∥α ,则 l∥m

2

.已知 α 、β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α ⊥β ” 是“m⊥β ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 答案 ). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

由面面垂直的判定定理,知 m⊥β ?α ⊥β . B

3.已知 P 为△ABC 所在平面外的一点,则点 P 在此三角形所在平面上的射影是 △ABC 垂心的充分必要条件是 A.PA=PB=PC B.PA⊥BC,PB⊥AC C.点 P 到△ABC 三边所在直线的距离相等 D.平面 PAB、平面 PBC、平面 PAC 与△ABC 所在的平面所成的角相等 解析 条件 A 为外心的充分必要条件,条件 C、D 为内心的必要条件,故选 B. 答案 B 4. 如图, 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC=90° , BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( A.直线 AB 上 C.直线 AC 上 B.直线 BC 上 D.△ABC 内部 ). ( ).

解析 由 BC1⊥AC,又 BA⊥AC,则 AC⊥平面 ABC1,因此平面 ABC⊥平面 ABC1,因此 C1 在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上.

答案 A 5. 设 α, β 为不重合的平面, m, n 为不重合的直线, 则下列命题正确的是 ( A.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α B.若 m?α,n?β,m⊥n,则 n⊥α C.若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α D.若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β 解析 与 α、β 两垂直相交平面的交线垂直的直线 m,可与 α 平行或相交,故 A 错;对 B,存在 n∥α 情况,故 B 错;对 D,存在 α∥β 情况,故 D 错.由 n⊥α,n⊥β,可知 α∥β,又 m⊥β,所以 m⊥α,故 C 正确,选 C. 答案 C 6.如图(a),在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,G 是 EF 的中点, 现在沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 B、C、D 三点重合, 重合后的点记为 H, 如图(b)所示, 那么, 在四面体 A-EFH 中必有 ( ). ).

A.AH⊥△EFH 所在平面 C.HF⊥△AEF 所在平面

B.AG⊥△EFH 所在平面 D.HG⊥△AEF 所在平面

解析 折成的四面体有 AH⊥EH,AH⊥FH, ∴AH⊥面 HEF. 答案 A 二、填空题 7. 如图, 拿一张矩形的纸对折后略微展开, 竖立在桌面上, 折痕与桌面的位置关系是________. 解析 折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直,因此 折痕与桌面垂直. 答案 垂直 8.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β.给出下列命题:

①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β. 其中正确命题的序号是________. 解析 由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确;因为 l⊥α,α⊥β?l ∥β 或 l?β,所以 l,m 平行、相交、异面都有可能,故②错误;由线面垂直 的定义和面面垂直的判定定理可知③正确;因为 l⊥α,l⊥m?m?α 或 m∥α, 又 m?β,所以 α,β 可能平行或相交,故④错误. 答案 ①③ 9.已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两垂直,则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正确的个数是________. 解析 如图所示.∵PA⊥PC、PA⊥PB,

PC∩PB=P,∴PA⊥平面 PBC.
又∵BC?平面 PBC,∴PA⊥BC. 同理 PB⊥AC、PC⊥AB.但 AB 不一定垂直于 BC. 答案 3个

10. 如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E、 F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 解析 由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又 AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C, ∴AF⊥平面 PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC. 又 AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面 AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正确. 答案 ①②③ 三、解答题 11.已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是直角三角形,∠C=90°,点 B1 在底面上 射影 D 落在 BC 上. (1)求证:AC⊥平面 BB1C1C;

(2)若 AB1⊥BC1,且∠B1BC=60°,求证:A1C∥平面 AB1D. 解析 (1)∵B1D⊥平面 ABC,AC?平面 ABC, ∴B1D⊥AC. 又∵BC⊥AC,B1D∩BC=D, ∴AC⊥平面 BB1C1C.

(2)

? ? AB 与AC相交?
AB1⊥BC1 AC⊥BC1
1

≠?

BC1⊥平面AB1C? B1C?平面AB1C?

??BC1⊥B1C,

∴四边形 BB1C1C 为菱形, ∵∠B1BC=60°,B1D⊥BC 于 D,∴D 为 BC 的中点. 连接 A1B,与 AB1 交于点 E,在三角形 A1BC 中,DE∥A1C, ∴A1C∥平面 AB1D. 12. 如图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DB =BC,DB⊥AC,点 M 是棱 BB1 上一点. (1)求证:B1D1∥平面 A1BD; (2)求证:MD⊥AC; (3) 试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1 ⊥平面 CC1D1D. (1)证明 由直四棱柱,得 BB1∥DD1,

又∵BB1=DD1,∴BB1D1D 是平行四边形, ∴B1D1∥BD. 而 BD?平面 A1BD,B1D1?平面 A1BD, ∴B1D1∥平面 A1BD. (2)证明 ∵BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,

∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC,且 BD∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D. 而 MD?平面 BB1D,∴MD⊥AC. (3)解 当点 M 为棱 BB1 的中点时,

平面 DMC1⊥平面 CC1D1D. 取 DC 的中点 N,D1C1 的中点 N1,连接 NN1 交 DC1 于 O,连接 OM,如图所 示. ∵N 是 DC 的中点,BD=BC, ∴BN⊥DC.又∵DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线, 而平面 ABCD⊥平面 DCC1D1, ∴BN⊥平面 DCC1D1.又可证得 O 是 NN1 的中点, ∴BM∥ON 且 BM=ON,即 BMON 是平行四边形. ∴BN∥OM.∴OM⊥平面 CC1D1D. ∵OM?平面 DMC1,∴平面 DMC1⊥平面 CC1D1D. 13.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧 视图、俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点, 侧视图是直角梯形, 俯视图是等腰直角三角形, 有关数据如图所示. (1)若 N 是 BC 的中点,证明:AN∥平面 CME; (2)证明:平面 BDE⊥平面 BCD. (3)求三棱锥 D-BCE 的体积. (1)证明 连接 MN,则 MN∥CD,AE∥CD,

1 又 MN=AE=2CD, ∴四边形 ANME 为平行四边形, ∴AN∥EM.∵AN?平面 CME,EM?平面 CME, ∴AN∥平面 CME. (2)证明 ∵AC=AB,N 是 BC 的中点,AN⊥BC,

又平面 ABC⊥平面 BCD, ∴AN⊥平面 BCD. 由(1),知 AN∥EM, ∴EM⊥平面 BCD. 又 EM?平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 BCD.

(3)解

1 VD-BCE=VE-BCD=3S△BCD· |EM|

1 2 2×4 8 =3× 2 × 2=3. 14. 如图, 在多面体 ABC-A1B1C1 中, AA1⊥平面 ABC, 2 1 AA1 綉 BB1,AB=AC=AA1= 2 BC,B1C1 綉2BC. (1)求证:A1B1⊥平面 AA1C; (2)若 D 是 BC 的中点,求证:B1D∥平面 A1C1C. (3)若 BC=2,求几何体 ABC-A1B1C1 的体积. (1)证明 2 ∵AB=AC= 2 BC,AB2+AC2=BC2,

∴AB⊥AC, 又 AA1⊥平面 ABC,AB?平面 ABC, ∴AA1⊥AB,AA1∩AC=A, ∴AB⊥平面 AA1C, 又∵AA1 綉 BB1,∴四边形 ABB1A1 为平行四边形. ∴A1B1∥AB,∴A1B1⊥平面 AA1C. (2)证明 1 ∵B1C1 綉2BC,且 D 是 BC 的中点,

∴CD 綉 C1B1,∴四边形 C1CDB1 为平行四边形, ∴B1D∥C1C,B1D?平面 A1C1C 且 C1C?平面 A1C1C, ∴B1D∥平面 A1C1C. (3)解 连接 AD,DC1,

V=V 三棱柱 A1B1C1-ABD+V 四棱锥 C-AA1C1D 1 1 5 2 =2×1×1× 2+3×( 2×1)×1= 6 .


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