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高考数学正余弦函数的图象和性质2

时间:2017-01-11


正弦函数、余弦函数的图象和性质
一. 本周教学内容: 正弦函数、余弦函数的图象和性质 目标: (1)了解如何利用正弦线画出正弦函数图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图 象; (2)理解周期函数与(最小正)周期的意义,并通过正弦曲线、余弦曲线了解正弦函数、 余弦函数的性质; (3)会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图,会用这一方法画出与正弦函数、
余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间[0,2?]上的简图。

(4)培养学生观察、分析和概括能力,以及空间想象能力,提高学生运用数学知识、思想 和方法分析问题和解决问题的能力。 3. 重点: 正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质(包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单 调性) 。 4. 难点:

(1)利用正弦线画出函数y ? sin x,x ?[0,2?]的图象;
(2)利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线; (3)周期函数与(最小正)周期的意义。 5. 学法指导: 利用单位圆中正弦线的平移方法画 y=sinx 的图象的方法称为几何法,其核心是等分圆
周及等分区间[0,2?]和正弦线的平移。

其次是利用终边相同角的正弦值相等推知y ? sin x在区间[2k?,(2k ? 2)?] ( k ? z,k ? 0) 上的图象与y ? sin x在区间[0,2?]上图象形状完全一样,从而通过平移得y ? sin x,x ?R的 图
象。
? 利用y ? cos x ? sin( x ? ) 及正弦曲线平移而得余弦曲线。“五点作图法”中五点即是 2
曲线在[0,2?]内的最高点、最低点及与x轴的交点,学会根据图象归纳总结出其定义域、

值域,并了解周期的含义。

关于周期和周期函数的定义可以理解为:当函数对于定义域中的每个 x 值,每增加或减少 一个非零常数 T 时,函数值重复出现。定义中“x 取定义域内的每一个值”和“不为零的常数 T” 是两个不可缺少的条件。
例如y ? sin x,x ?R,对x ? ? ? ? ? ? ? ,T ? ,显然有 sin( ? ) ? sin ,但T ? 不是它的 3 3 3 3 3 3

周期。

其次应注意周期性不是三角函数的专有性质,例如y ? ( x ? 2k)2 ,x ?[2k ? 1,2k ? 1]
( k ? z) 就是一个周期为2的函数。正弦函数和余弦函数都是周期函数,2k?( k ? z且k ? 0) 都是 它们的周期,且最小正周期是2?,但并不是所有的周期函数都存在最小正周期,如常数函
数f ( x) ? C,x ? R,任何非零常数都是其周期。

三角函数的奇偶性的判断仍然利用函数的奇偶性定义。在判断时,一般先将函数的表达
式化简,或对f ( x) ? f ( ? x) 进行运算,同时要注意f ( x) 的定义域 。

正弦函数、余弦函数的单调性可利用正弦曲线、余弦曲线直接观察出,亦可由单位圆中正 弦线和余弦线的变化而导出,当然也可利用函数的定义导出。值得注意的是它们在其定义域上 均不具有单调性,也不能说正弦函数在第一、四象限内为增函数。
例如:x1 ? ? 13 ? 13 ? 13? ,x 2 ? ?,显然 ? ?,且均为第一象限角,但 sin ? sin 不成 3 6 3 6 3 6 ? ? ? 2k?, ? 2k?]( k ? z) 上y ? sin x是增函数。 2 2

立。而应该是在每个闭区间[?

【典型例题】
例 1.
用五点法作出函数y ? 3 1 ? cos 4x的简图,并求其定义域、值域、取最值时x的取值 4 4

范围、周期。 分析:先按五个关键点列表,再描点作图,并根据图象确定其定义域、值域及周期。 解:按五个关键点列表
? 8 ? 2 ? 4
?

x 4x cos4x y

0 0 1 1

3 ? 8 3 ? 2

? 2
2?

0
3 4 1 2

-1
3 4

0

1 1

? ? 描点作图,并将位于[0, ]内的图象依次向左或向右平移 个单位,即得函数在 2 2
( ??, ? ?) 上的图象。

1 k? 该函数的定义域为R,值域为[ , 1],取最大值 y 1时相应的x的集合为{x| x ? , k ? z} , 2 2 1 k? ? ? y取最小值 时相应的x的集合为{x| x ? ? ,k ?z},函数的周期T ? 。 2 2 4 2 y 1
1 2 ? 8 ? 3 ? ? 4 8 2

0

x

说明:
作与正弦函数、余弦函数有关的简单函数的图象,可采用五点作图法。按五个关键点 ? 3 列表时,对于y ? cos(?x ? ?) ,取?x ? ?为0, ,?, ?,2?,然后求出相应的x值及相应 2 2

的y值,而不是让x直接取0,

? 等值。 2

例 2. 试求使下列各式有意义的 m 的取值范围:
(1) c o s x? (2) s i n x? 2m ? 1 ,x ? R 3m ? 2

1? m ? 5 ,x ?[? , ?] 2m ? 3 6 6 分析:根据 cosx,sinx 的取值范围,列关于 m 的不等式进行求解。

解: (1) ? x ? R
?|cos x| ? 1

即|

2m ? 1 | ? 1,即|2m ? 1| ?|3m ? 2| 3m ? 2

即(2m ? 1) 2 ? (3m ? 2) 2

解得m ? ?3或m ? ? (2) ? x ?[?

1 5

? 5 , ?] 6 6 ? 5 , ?]的图象 6 6

作出并观察y ? sin x在[? 可知 sin x ?[?

1 ,1],即 2

?

1 1? m ? ?1 2 2m ? 3 2 3

解之得m ? ?

?

? 1 6
0 -1
? 2

5 ? 6

说明: 本题主要考查正、余弦函数的有界性及其应用,考查正、余弦函数的图象、值域,还考查 不等式的有关知识和解法。

由于|sin x| ? 1,|cos x| ? 1,故称正弦函数、余弦函数“有界”, ? 1和1分别是它们的“下
界”和“上界”。正、余弦函数的有界性对于求函数值域、确定最值以及讨论使正、余弦 函数值有意义的字母范围均有重要意义,是正、余弦函数最重要的性质之一。

? 5 , ?]不是一个单调区间,切不可将区间 6 6 1 1 的两个端点代入y ? sin x,从而得出 sin x ?[? , ]的错误结论。作出图象,据图观察在给 2 2 定 本例第(2)小题中,因为x所在的区间[?

区间上 sinx 的值域,应当是解此类问题的最佳选择。 例 3. 求下列函数的单调区间
? (2)y ? 2 s i n ( ? x) 3 分析:利用正弦函数、余弦函数的单调性求解。 (1)y ? c o 2 sx

解: (1)设u ? 2x,则y ? cos u
当u ?[2k? ? ?,2k?]( k ? z) 时, cos u递增 当u ?[2k?,2k? ? ?]( k ? z) 时, cos u递减

? y ? cos 2x的递增区间是[ k? ? (2)y ? 2 sin(

? ? ,k?]( k ? z) ,递减区间是[ k?,k? ? ]( k ? z) 2 2

? ? ? x) ? ?2 sin( x ? ) 3 3

设u ? x ?

? ,则y ? ?2 sin u 3 ? 3 ,2k? ? ?]( k ? z) 时,2 sin u递减,则 ? 2 sin u递增; 2 2 ? ? ,2k? ? ]( k ? z) 时,2 sin u递增,则 ? 2 sin u递减 2 2

当u ?[2k? ? 当u ?[2k? ? ? y ? 2 sin(

? 5 11 ? x) 的递增区间是[2k? ? ?,2k? ? ?]( k ? z) 3 6 6 ? 5 ,2k? ? ?]( k ? z) 6 6

递减区间是[2k? ?

说明:

(1)在求形如y ? A sin(?x ? ?) 或y ? A cos(?x ? ?)(A ? 0,? ? 0) 的单调区间时,一定 要把" ?x ? ?"(? ? 0) 视作一个整体。
? ? (2)当? ? 0时,应通过诱导公式化为正值。如本例(2)中化 sin( ? x) 为 ? sin( x ? ) 。 3 3

这是由于复合函数单调性的缘故。只有当? ? 0时, sin(?x ? ?) 或 cos(?x ? ?) 的单调性才与 y=s
inx 和 y=cosx 的单调性一致。 例 4. 求下列函数的定义域
(1)y ? s i n x? 1 ? lg cos x 2

1 sin x 分析:求函数定义域,即求使解析式有意义的自变量 x 的取值范围,应根据解析式有意义 (2)y ? 9 ? x 2 ?

的条件列若干关于 x 的不等式,再解之。
1 ? 1 ?sin x ? ? 0 (1) ? sin x ? ? lg cos x有意义 ? ? 2 2 ?cos x ? 0 ? 解: 1 ? ?sin x ? 即? 2 ?cos x ? 0 ?

利用单位圆中的三角函数线,易知
? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? 6 2 k ?z

? 此函数的定义域为[

? ? ? 2k?, ? 2k?) ( k ? z) 6 2

(2) ? 9 ? x 2 ?

2 ? 1 ?9 ? x ? 0 有意义 ? ? sin x ?sin x ? 0 ?

? ??3 ? x ? 3 即? ? ?x ? k?(k ? z)
即 ? 3 ? x ? 0或0 ? x ? 3
? 此函数的定义域是[ ?3,0) ?(0,3]

说明: 求一般三角函数定义域问题,其实质是转化为三角不等式后解不等式(组) 。解三角不等式 可利用单位圆中的三角函数线,也可利用 y=sinx 和 y=cosx 的图象。 例 5. 求下列函数的值域
(1)y ? sin x ?1 sin x ?1

? 2 x ?[ , ?] 3 3 分析:注意 sinx、cosx 的有界性。 (2)y ? 3 c o 2 s x ? 4c o s x ?1

解: (1)设t ? sin x,则 ? 1 ? t ? 1
且y ? t ?1 2 ?1? ,显然t ? ?1 t ?1 t ?1

??1 ? t ? 1 ?0 ? t ? 1 ? 2
? 1 1 ? t ?1 2 2 ? ?1 t ?1 2 ?0 t ?1 sin x ? 1 的值域为(??,0] sin x ? 1

??

?1 ?

即y ? 0,故函数y ?

? 2 (2)设t ? cos x,x ?[ , ?] 3 3 则? 1 1 2 1 1 1 ? t ? 且y ? 3t 2 ? 4t ? 1 ? 3( t ? ) 2 ? ,t ?[? , ] 2 2 3 3 2 2 1 1 , ]上单调递减 2 2

? y ? 3t 2 ? 4t ? 1在[?

? 当t ? ? 当t ?

1 2 15 ,即x ? ?时,y max ? 2 3 4

1 ? 1 ,即x ? 时,y min ? ? 2 3 4 1 1 ? 2 1 15 , ],即x ?[ , ?]时, ? ? y ? 2 2 3 3 4 4 1 15 , ] 4 4

当t ?[?

? 此函数的值域是[?

说明: (1)本题通过换元把求三角函数值域问题转化为求闭区间上的分式函数和二次函数值域问 题。但要注意根据原来函数的定义域求出中间变量 t 的范围。
sin x ? 1 sin x ? 1 的值域还可利用正弦函数y ? sin x的有界性求解。由y ? sin x ? 1 sin x ? 1 y ?1 y ?1 可得 sin x ? , ? ?1 ? sin x ? 1, ? ?1 ? ? 1,解得y ? 0。 1? y 1? y (2)函数y ?

例 6. 求下列函数的周期
(1)f ( x) ? s i n x ? cos x
2 (2)f ( x) ? c o 2 sx ? 2 3s i n xc o s x?sin x

(3)f ( x) ?|s i n x|

解:

(1)f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?
? 此函数的周期为2?

? ) 4

? (2)f ( x) ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x ? 3 sin 2x ? cos 2x ? 2 sin(2x ? ) 6
? 此函数的周期为?

(3)作出 y=sinx 的图象,并将 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方就得到 y=|sinx|的图象 (如下)

1
??

?

? 2

0

? 2

?

3 ? 2

2?

x

由图象可看出函数f(x) =|sinx| 的周期为?

说明:

(1)求一般三角函数周期主要方法是公式法,即先化为y ? A sin(?x ? ?) 或

y ? A cos(?x ? ?) 形式,再用公式T ?

2? 求出周期。形如y ? a sin x ? b cos x, ?

y ? a sin 2 x ? b sin x cos x ? c cos2 x的函数都可化为y ? A sin(?x ? ?) 的形式。
(2)对于一些含有绝对值或分段表示的三角函数,可以画出图象观察,或根据定义求出周 期。

【模拟试题】
一. 选择题 1. 函数 y ? sin 2x 的定义域是( A. [2k?,2k? ? ?]( k ? z) ? [2k?,2k? ? ]( k ? z) 2 C. 2. 已知 )
? [ k?,k? ? ]( k ? z) 2 B.

D. [ k?,k? ? ?]( k ? z) ) D. ? A ? y

? y ? A cos( x ? )(A ? 0) ,x ? R,则 4 (

A. ? A ? y ? A

B. y ? A

C. ?| A| ? y ?| A| ) C.
cos x 2

3. 下列函数中,有最小正周期 ? 的是( A. sin| x| B. sin 2x ? cos 2x

D. |cosx|

4. 已知函数 y ? 2 cos x(0 ? x ? 2?) 的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形, 则这个封闭图 形的面积是( A. 4? ) B. 2? C. 8 D. 4 ) D. y ? sin 2 x

5. 在[ ??,? ]内是增函数,又是奇函数的是(

1 1 1 y ? sin x y ? cos x y ? ? sin x 2 2 4 A. B. C. 5 y ? sin(2x ? ?) 的图象的一条对称轴方程是 2 6. ( ) ? ? ? 5 x?? x?? x? x? ? 2 4 8 4 A. B. C. D.

7. 下列不等式中成立的是( ? ? sin(? ) ? sin(? ) 18 10 A. C.
cos( ? 23 17 ?) ? cos( ? ?) 5 4

) B. sin 3 ? sin 2 7 16 cos ? ? cos ? 5 5 D.

8. 函数 y ? sin x ? cos x 的一个对称中心是(
? ( , 2) A. 4 5 ( ?, ? 2 ) 4 B.


(? ? ,0) 4 ? ( ,1) D. 2

C.

二. 填空题 9. 函数
y ? sin( ? ? 2x) ? sin 2x 3 的最小正周期是__________。

10. 函数

y?

3 1 ? 2 sin x 的定义域是__________。

11. 若 f(x)是以 3 为周期的奇函数,且 f(1)=2,则 f(4)= __________。 12. 若函数 f(x)是奇函数,且当 x<0 时有 f(x)=cos3x+sin2x,则当 x>0 时,f(x)的表达式为 ____________________。 三. 解答题 13. 求下列函数的值域
2 (1)y ? ?2 s i n x ? 2s i n x ?1

(2)y ?

2s i n x ?1 2s i n x ?1
2 cos 4 x ? cos 3 x ? cos x ? 2 cos 2 x ? cos x ? 3

14. 设函数

f ( x) ?

(1)求 f(x)的周期 (2)判断 f(x)的奇偶性 (3)求 f(x)的单调区间
? f ( x) ? b sin(ax ? ) 3 的单调 15. 已知函数 y=acosx+b 的最大值为 1,最小值是 ?3 ,试确定函数

区间。

【试题答案】
1. B 2. C
1 2? sin 4 x T? 2 ? 易得其 3. D 提示:利用图象易知 sin|x|非周期函数;而 sin2xcos2x= ,由公式 ? x cos 2 的周期为 4? ;故排除选项 A、B、C。事实上,通过画图象亦可知|cosx|的周期 周期为 2 ;

为?。 4. A 提示:利用对称性易知该封闭图形的面积是以 2? 为长、4 为宽的矩形面积的一半。 5. A 6. A 提示: 7. C
? y ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4 8. C 提示: ? ? y ? sin( ? 2x) ? sin 2x ? cos( ? 2x) 3 6 9. ? 提示: 5 13 ( ? ? 2k?, ? ? 2k?) ( k ? z) 6 6 10. y ? sin(2x ? 5 ? ?) ? sin(2x ? ) ? cos 2x 2 2

11. 2 提示: f (4) ? f (1 ? 3) ? f (1) 12. sin 2x ? cos 3x 提示:x>0 时, ?x ? 0 , f ( ? x) ? cos( ?3x) ? sin( ?2 x) ? cos 3x ? sin 2 x ,

又f ( ? x) ? ? f ( x) , ? f ( x) ? sin 2x ? cos 3x 1 3 (1)y ? ?2(sin x ? ) 2 ? 2 2 13. 解:

又|sin x| ? 1 ? 当 sin x ? 1 3 时,y max ? 2 2 当 sin x ? ?1时,y min ? ?3

3 ? 此函数的值域为[ ?3, ] 2 y ?1 y ?1 ( 2 )由已知得 sin x ? ,由|sin x| ? 1知| | ? 1且y ? 1 2y ? 2 2y ? 2
解得y ? 1 或y ? 3 3 1 或y ? 3} 3

? 对函数的值域为{y| y ?

14. 解:

f ( x) ?

2 cos 4 x ? cos 3 x ? cos x ? 2 cos 2 x ? cos x ? 3

? ? ?

2(cos 4 ? 1) ? (cos 3 x ? cos x) 2 cos 2 x ? 1 ? cos x ? 3 2(cos 2 x ? 1)(cos 2 x ? 1) ? cos x(cos 2 x ? 1) 2 cos 2 x ? cos x ? 2 (cos 2 x ? 1)(2 cos 2 x ? 2 ? cos x) 2 cos 2 x ? cos x ? 2

? cos 2 x ? 1 ? ? sin 2 x ? 1 (cos 2 x ? 1) 2

2? ?? 2 (2)不论x为何实数, cos 2x ? cos x ? 3 ? 0 (1)f ( x) 的周期T ?

故f ( x) 的定义域为( ??, ? ?) 1 1 又f ( ? x) ? [cos( ?2 x) ? 1] ? (cos 2 x ? 1) ? f ( x) 2 2 故f ( x) 为偶函数
( 3)令u ? 2 x 则当u ?[ ? ? ? 2 k?, 2 k?]( k ? z) 时, cos u是增函数, 当u ?[2 k?, 2 k? ? ?]( k ? z) 时, cos u是减函数,
? f ( x) 的单调增区间为[ ? 单调减区间为[ k?, ? ? k?,k?] ( k ? z) 2

1 (cos u ? 1) 是增函数 2

1 (cos u ? 1) 是减函数 2

? ? k?]( k ? z) 2

15. 解: (1)若 a>0,则 y max ? a ? b ? 1,y min ? ?a ? b ? ?3
? a ? 2 ,b ? ?1

此时f ( x) ? ? sin(2 x ? 令u ? 2 x ? ? 3

? ) 3

? ? , 2 k? ? ]( k ? z) 2 2 ? ? ? 即 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? 时,f ( x) 单调递减 2 3 2 则当u ?[2 k? ?

? 3 , 2 k? ? ? ]( k ? z) 2 2 ? ? 3 即 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ?时,f ( x) 单调递增 2 3 2 ? 7 故f ( x) 的单调递增区间为[ k? ? , k? ? ? ]( k ? z) 12 12 5 ? 单调递减区间为[ k? ? ?,k? ? ]( k ? z) 12 12 当u ?[2 k? ?


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