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2012年全国高中数学联赛模拟测试一


2012 年全国高中数学联赛模拟测试一
学校 姓名 计分

第一试
一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1、函数 f ( x ) ?
1 4 1 4
x 1? x
2

x?x
2

3 2

(1 ? x )

r />
的值域是



答案: [ ?

,

].
1? x 1? x
2 2

解析: f ( x ) ?
? 1 4 ? f ? 1 4

?

,令 x ? tan ? ,则 f ?
?
8

1 2

sin 2 ? ? co s 2 ? ?

1 4

sin 4 ? ,由此,

,当 x ? ? tan

, tan

?
8

时两边分别取得等号.

A

2 、 已 知 △ ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O , 垂 心 为 H ,
???? ??? ??? ? ? ???? O H ? m O A ? O B ? O C , 且 A B ? B C ? C A 。则实数 m 的取

?

?

值集合为__________。 答案:{1}
???? ????

O
??? ? ??? ? ??? ? ????

H C

解析:由于 A H ? O H ? O A ? ( m ? 1) O A ? m ( O B ? O C ) ,利用
???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ??? ? ? A H ? C B ? A H ? ( O B ? O C) ? ( m ? 1) ( O A? C B ? 0得 m ? 1 。 )
2

B

3、已知实数 a 使得不等式 2 x ? a ? 3 x ? 2 a ? a 对任意 x ? R 总成立,则实数 a 的取值范 围为 答案: ? ?
? ? 1 1? , 3 3? ?



解析:令 x ? ka ,则原不等式变为 2 k ? 1 ? 3 k ? 2 ? a ,当且仅当 k ? 值
1 3

2 3

时,左边取最小



2 3, 2 3, 4、如图,三行三列的方阵中有 16 个数 a ij ( i ? 1,, 4; j ? 1,, 4) ,从中任取四个数,则

至少有两个数位于同行或同列的概率值 p ? 答案:
449 455



解析: P ? 1 ?

C16C 9C 4 C 1 6 ? A4
4 4

1

1

1

?

449 455



? a1 1 ? a ? 21 ?a 31 ? ?a ? 41

a1 2 a 22 a 32 a 42

a1 3 a 23 a 33 a 43

a1 4 ? ? a 24 ? a 34 ? ? a 44 ? ?

5、四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD 成 6 0 ? 的二面角,顶点 A 在面 BCD 上的射影 H 是 ? B C D 的垂心,G 是 ? A B C 的重心。若 AH=4,AB=AC,则 GH= 。

1

答案: G H ?

4 9

21
8 3 4 3

解析: DH 交 BC 于 F, 设 利用已知条件知点 G 在 AF 上, 依次求出 A F ?

,F H ?



FG ?

8 3 3

,在 ? G F H 中利用余弦定理得 G H ?

4 9

21 。

6、 ? f n ? n ? 0 是 Fibonacci 数列,定义如下: f 0 ? 1, f 1 ? 1, f n ? 1 ? f n ? f n ?1 , n ? 1, 2, ? . 则方程: n f n f n ? 1 ? ? f n ? 2 ? 1 ? 的解集为
2



答案: ? 解析:显然有 f n ? f n ?1 ,所以 f n ? 2 ? f n ? 1 ? f n ? 2 f n ? 1 , 所以 n f n f n ? 1 ? ? f n ? 2 ? 1 ? ? f n ? 2 ? 2 f n ? 1 ? 2 f n ? 1 ? 8 f n f n ? 1 ,所以 n ? 8 ,
2 2

而 f 0 ? 1, f 1 ? 1, f 2 ? 2, f 3 ? 3, f 4 ? 5, f 5 ? 8, f 6 ? 13, f 7 ? 21 , 可知当 n ? 7 时, nf n f n ? 1 均不是完全平方数,从而原方程无解. 7、九个连续正整数自小到大排成一个数列 a1 , a 2 , ? , a 9 ,若 a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ? a 9 为一平方 数, a 2 ? a 4 ? a 6 ? a 8 为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是 答案: 1 8 0 0 0 . 解析:设这九数为 a ? 4, a ? 3, a ? 2, a ? 1, a , a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4 ,则有, 5 a ? m ,
2



4 a ? n , S ? 9 a ,则 a ?
3

m 5

2

?

n

3

,得 4 m ? 5 n
2

3

………①

4
2 3 2 3

令 n ? 2 n1 , m ? 5 m 1 ,得 100 m 1 ? 40 n1 ,所以 5 m 1 ? 2 n1 ,再取 m 1 ? 2 m 2 , n1 ? 5 n 2 , 化为 2 m 2 ? 25 n 2 ,取 m 2 ? 1 0, n 2 ? 2 ,可使左式成立,这时 n ? 2 0, m ? 1 0 0 , a ? 2000 ,
2 3

S ? 9 a ? 18000 .

8、设 ? ? { A A ? {1, 2 ,3 , ? , n }} ,定义 ? ( A ) ?
n ( n ? 1) 2

? a ,则
a? A

A、 B ? ? , A? B

? ? (A ? B) =



答案:

(4

n ?1

? C 2 n ?1 )
2

解析:计算 1 在和式中出现的次数,包含 1 的子集和不包含 1 的子集个数均为 2

n ?1

,分成两

2

n ?1 n ?1 n ?1 类计算: (1)设 1 ? A ,1 ? B ,则 1 在所有的 A ? B 中出现的次数为 2 ? 2 ? 4 ;

(2)设 1 ? A,1 ? B ,且 A ? B ,则 1 在所有的 A ? B 中出现的次数为 C 2 集共 2
n ?1

2
n ?1

即从包含 1 的子
? C 2 n ?1 ) 。
2

个中任取两个不同的集合 A 、 B 。故所求和为 (1 ? 2 ? ? ? n )( 4

n ?1

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题各 20 分) 9、设 x , y , z 为非负实数,满足 x ? y ? z ? 1 , 求 f ( x , y , z ) ? 小值。 解析:先证一个引理:若 x ? ? 0,1? ,则
1 2? x
2

1 2? x
2

?

1 2? y
2

?

1 2? z
2

的最

?

1? 1 ? ? 1 ? x ? ……① 2? 3 ?

事实上,① ? 6 ? (3 ? a )(2 ? a ) ? a ( a ? 1)( a ? 2) ? 0 ,即引理成立,且等号成立时当且
2

仅当 x 等于 0 或 1。 同样
1 2? y
2

?

1 1 1? 1 ? ? ?1 ? y ? , 2 2? z 2 2? 3 ?

1 ? ? ? 1 ? z ? ,以上三式相加知:当 x , y , z 有一个为 0, 3 ? ?

另两个为 1 时, f ( x , y , z ) 取最小值

4 3



10、已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 F1 、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点,在椭 圆 C 的右准线上的点 P ( 2 , 3 ) ,满足线段 PF 1 的中垂线过点 F 2 .直线 l : y ? kx ? m 为动 直线,且直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若在椭圆 C 上存在点 Q ,满足 O A ? O B ? ? O Q ( ? ? R ) ( O 为坐标原点) ,求 ? ABO 面积的最大值。 解析: (1)设椭圆 C 的方程为
x a
2 2

??? ?

??? ?

????

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,半焦距为 c ,依题意有

?a2 ? c ? 1, ? 2, ? 解得 ? ? c ?a ? 2 . ?(2c) 2 ? (2 ? c) 2 ? 3. ?

?b ?1.

? 所求椭圆方程为

x

2

? y

2

?1;

2

(2)由 ?

? y ? kx ? m , ?x ? 2 y
2 2

? 2

,得 (1 ? 2 k ) x ? 4 kmx ? 2 m ? 2 ? 0 .
2 2 2

3

4 km ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 2 k 2 , ? 设 点 A 、 B 的 坐 标 分 别 为 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) , 则 ? , 2 ? x x ? 2m ? 2 . 2 ? 1 2 1 ? 2k ?
y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 m ? 2m 1 ? 2k
2



当 m ? 0 时,点 A 、 B 关于原点对称,则 ? ? 0 . 当 m ? 0 时,点 A 、 B 不关于原点对称,则 ? ? 0 ,
1 ? ? x Q ? ? ( x 1 ? x 2 ), ? 由 OA ? OB ? ? OQ ,得 ? ? y ? 1 ( y ? y ). 1 2 ? Q ? ?
? 点 Q 在椭圆上,? 有 [

? 4 km ? ? x Q ? ? (1 ? 2 k 2 ) , ? 即? 2m ?y ? . Q 2 ? ? (1 ? 2 k ) ?
2m ] ? 2,
2

? 4 km

? (1 ? 2 k )
2

] ? 2[
2

? (1 ? 2 k )
2

化简,得 4 m (1 ? 2 k ) ? ? (1 ? 2 k ) .
2 2 2 2 2

? 1 ? 2k

2

? 0 ,? 有 4 m
2 2

2

? ? (1 ? 2 k ) .………………①
2 2 2 2 2 2

又? ? ? 16 k m ? 4 (1 ? 2 k )( 2 m ? 2 ) ? 8 (1 ? 2 k ? m ) ,
? 由 ? ? 0 ,得 1 ? 2 k
2

? m .……………………………②
2 2

将①、②两式,得 4 m
2

? ? m .
2 2

? m ? 0 ,? ? ? 4 ,则 ? 2 ? ? ? 2 且 ? ? 0 .

综合上述两种情况,得实数 ? 的取值范围是 ? 2 ? ? ? 2 . 而 AB ?
1? k
2

x1 ? x 2 ,点 O 到直线 AB 的距离 d ?
1 2
?

m 1? k
2



? ? AOB 的面积 S ?

m x1 ? x 2 ?
1 ? 2k 1 ? 2k
2 2

1 2

m
2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

2 m

?m



由①有 1 ? 2 k

2

?

4m

2

?

2

,代入上式并化简,得 S ?

2 4

? (4 ? ? ) .
2 2

?

? ( 4 ? ? ) ? 2 ,? S ?
2 2

2 2



4

当且仅当 ? ? 4 ? ? ,即 ? ? ? 2 时,等号成立.
2 2

故当 ? ? ? 2 时, ? ABO 的面积最大,最大值为

2 2



11、 已知 f ( x ) 是在 (0, ? ? ) 上每一点处导数均存在的函数, xf ?( x ) ? f ( x ) 对任意 x ? 0 恒 若 成立. (1)求证:对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) ,恒有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) (2)已知不等式 ln (1 ? x ) ? x 在 x ? ? 1 且 x ? 0 时恒成立,求证:
1 2
2

ln 2 ?
2

1 3
2

ln 3 ?
2

1 4
2

ln 4 ? ? ?
2

1 ( n ? 1)
2

2 ln ( n ? 1) ?

n 2 ( n ? 1)( n ? 2 )

( n ? N ).
*

解析: (1)∵ g ? ( x ) ?

f ?( x ) ? x ? f ( x ) x
2

? 0 ,∴ g ( x ) 在 (0, ? ? ) 上为单调增函数;
? f ( x1 ) x1 , f ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 ? f ( x2 ) x2 .

则对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) . 有: 于是 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
x1 x1 ? x 2

f ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

f ( x1 ? x 2 ) ?

x2 x1 ? x 2

f ( x1 ? x 2 )

? f ( x1 ? x 2 )

(2)由(1)的结论,用数学归纳法可证: 对 x1 , x 2 , ? , x n ? (0, ? ? ) ,有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n ) ? f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )( n ? N )
*

取 f ( x ) ? x ln x 符合题设条件,于是: 当 x i ? (0, ? ? )( i ? 1, 2, ? , n ) 时,有:
x1 ln x1 ? x 2 ln x 2 ? ? ? x n ln x n ? ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ln( x1 ? x 2 ? ? ? x n )
1 ( k ? 1)
2

再令 x k ?

( k ? 1, 2, ? , n ).

1 1 1 1 1 ? S ? 2 ? 2 ?? ? ? ? ?? 2 ? n 2 3 ( n ? 1) 1? 2 2 ? 3 ? 1 1 ? ? ?1? ? n ( n ? 1) n ?1 ? 记 S n ? x1 ? x 2 ? ? ? x n . 则 ? 1 1 1 ?S ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?? n 2 2 2 ? 2 3 ( n ? 1) 2? 3 3? 4 ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ( n ? 1)( n ? 2 ) 2 n?2 ?

结合(3)中的已知不等式得:
S n ln S n ? S n ln (1 ?

1 n ?1
2

) ? ?

1 n ?1
1

Sn ? ?

n 1 ? ?1 ?? ? ? ? ? 2 ( n ? 1)( n ? 2 ) n ?1 ? 2 n ? 2 ?
1
2



1 2
2

ln 2 ?
2

1 3
2

ln 3 ? ? ?

( n ? 1)

2

ln ( n ? 1)

? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ln 2 ? 2 ln 2 ? ? ? ln 2 2 ? 2 3 3 ( n ? 1) ( n ? 1) ? ?2

? ? S n ln S n ?

n 2 ( n ? 1)( n ? 2 )

.

5

第二试
一、 (本题满分 40 分) 如图,设 B E , C F 是 ? A B C 的两条高, M 是 ? A B C 的外接圆上的一个动点.直线 M B 与
C F 相交于点 P ,直线 M C 与 B E 相交于点 Q .

求证:直线 E F 平分线段 P Q .

A

M F P E

Q

C B

证明: 如图, H 是 ? A B C 的垂心, 设 延长 B Q
A

交 ? A B C 的外接圆于点 E 1 , 连接 C E 1 , P Q 设
F

M

与 E F 交于点 D . 垂心关于边的对称点在外接圆上 .因此
? E E1 C ? ? E H C~ ? F H B ,
E1 P D H E Q



FH E E1

?

BF CE

. (1)
B

C

由 ? E C Q ~ ? F B P ,有

FP EQ

?

BF CE

. (2)

由(1) (2)及 E E 1 ? E H ,有

PF FH

?

HE EQ
6

?1

对 ? Q H P 及直线 F D E ,由梅涅劳斯定理,有
QD DP PF FH HE EQ

?

?

? 1,

于是 Q D ? D P ,即直线 E F 平分线段 P Q . 二、 (本题满分 40 分) 设 k ? N ,定义: A1 ? 1 , A n ? 1 ?
?

nA n ? 2 ( n ? 1) n?2

2k

( n ? 1, 2 , ? )

求证:当 n ? 1 时, A n 为整数,且 A n 为奇数当且仅当 n ? 1 或 2 (mod 4 ) 证明:注意到
( n ? 2 ) A n ? 1 ? nA n ? 2 ( n ? 1) ( n ? 2 ) A n ? ( n ? 1) A n ? 1 ? 2 n
2k

① ②

2k

( n ? 1) ①:
( n ? 1)( n ? 2 ) A n ? 1 ? n ( n ? 1) A n ? 2 ( n ? 1)
n ·②:
2 k ?1



n ( n ? 1) A n ? ( n ? 1) nA n ?1 ? 2 n

2 k ?1



③+④,得
( n ? 1)( n ? 2 ) A n ? 1 ? ( n ? 1) nA n ?1 ? 2 ( n ? 1)
2 k ?1

? 2n

2 k ?1



反复运用⑤式,再叠加,得 A n ?
t t t

2 S (n) n ( n ? 1)



其中, S ( n ) ? 1 ? 2 ? ? ? n , t ? 2 k ? 1 . 由 2 S (n) ?

?

n

i?0

[( n ? i ) ? i ] = ? [( n ? 1 ? i ) ? i ] ,
t t t t i ?1

n

得 n ( n ? 1) | 2 S ( n ) . 因此, An ( n ? 1) 是整数. (1) n ? 1 或 2 (mod 4 ) . 由 S (n ) 有奇数个奇数项知 S (n ) 为奇数.所以, A n 为奇数. (2) n ? 0 (mod 4 ) ,则 ?
n

?n? ? ? 0 (mod n ) . ?2?
t

t

?n? 故 S ( n ) ? ? [( n ? i ) ? i ] ? ? ? ? 0 (mod n ) .所以, A n 为偶数. ?2? i?0
2 t t

(3) n ? 3 (mod 4 ) ,
? n ?1? 则? ? ? 0 (mod( n ? 1)). ? 2 ?
t

7

n ?1

故 S (n) ?

? ?( n ? 1 ? i )
2 i ?1

t

?i

t

?

? n ?1? ?? ? ? 0 (mod n ) ,所以, A n 为偶数. ? 2 ?

t

三、 (本题满分 50 分) 设 x1 , x 2 , ? , x n ? R ,且 ?
?

n

1 1 ? xi
? 1 2
n

?

n 2

.求证:

i ?1

1? i , j ? n

?

1 xi ? x j

?

n

2

.

2

证明:条件等价于 ? (
i ?1

n

1 1 ? xi

)?0?

? 1? x
i ?1

n

1 ? xi
i

?0。

设 ai ?

1 ? xi 1 ? xi

(1 ? i ? n ) ,则 ? a i ? 0 。
i ?1

于是 x i ?

1 ? ai 1 ? ai

(1 ? i ? n ) ,且 a i ? 1 。

原不等式等价于

1? i , j ? n

?

1 1 ? ai 1 ? ai ? 1? aj 1? aj
2

?

n

2

2

?

1? i , j ? n

?

(1 ? a i ) (1 ? a j )
2

2 2

(1 ? a i )(1 ? a i )(1 ? a j ) ? (1 ? a j )(1 ? a j )(1 ? a i )

?

n

2



2

注意到分母大于零。由权方和不等式,有

1? i , j ? n

?

(1 ? a i ) (1 ? a j )
2 2

2 2

(1 ? a i )(1 ? a i )(1 ? a j ) ? (1 ? a j )(1 ? a j )(1 ? a i )

( ?

1? i , j ? n

?

(1 ? a i )(1 ? a j ))
2

2

1? i , j ? n

?

(1 ? a i )(1 ? a i )(1 ? a j ) ? (1 ? a j )(1 ? a j )(1 ? a i )

2

?
2

n

4 n

?
2

n

4 2

?

n

2



2 n ? 2(? ai )
i ?1

2n

2

四、 (本题满分 50 分) 试求所有可能的正整数 n ? 3 ,使得存在集合 I ? ?1, 2, 3, ? , n ? 的子集 A1 , A2 , ? , An ,满足: (1) ? i ? I ,有 i ? Ai ; (2) ? i ? j ? I ,有 i ? A j 的充要条件是 j ? Ai ; (3) ? i ? j ? I ,有 Ai ? A j .

8

解析: n ? 3 或 n ? 5 . (1) 首先给出 n ? 3 和 n ? 6 时的构造:
n ? 3 时,设 A1 ? ? 2 ? , A2 ? ? 3? , A3 ? ?1? 即可; n ? 6 时,可检验如下构造满足条件:

A1 ? ? 2, 5, 6 ? , A2 ? ? 3, 4, 6 ? , A3 ? ?1, 4 ? , A4 ? ?1, 6 ? , A5 ? ? 2, 3, 4 ? , A6 ? ? 3, 5 ? .

(2) 下面证明:若 n 是满足条件的正整数,则 n+2 也是满足条件的正整数. 设 I ? ?1, 2, 3, ? , n ? 的子集 A1 , A2 , ? , An 满足条件, 构造 I ? ? ?1, 2, 3, ? , n , n ? 1, n ? 2 ? 的子集 A1? , A2 ? , ? , A n ? 2 ? 如下:
A1? ? A1 ? ? n ? 2 ? , A2 ? ? A2 ? ? n ? 2 ? , ? , An ? ? A n ? ? n ? 2 ? , A n ? 1? ? ?1, 2, ? , n ? , An ? 2 ? ? ? n ? 1? .

易证这 n+2 个子集满足题目中的三个条件. 结合(1)(2)即知不小于 3 的奇数和不小于 6 的偶数都是满足条件的. (3) 最后证明 n ? 4 是不满足条件的. 假设存在 I ? ?1, 2, 3, 4 ? 的子集 A1 , A2 , A3 , A4 满足条件,那么由性质 3 知它们都不是空 集或全集,即每个子集含有 1 或 2 个元素.又由(2)可知 A1 ? A2 ? A3 ? A 4 ? 6 ,所以必 有某个子集含有 2 个元素,又由 1、2、3、4 的对称性,不妨设 A1 ? ? 2, 3? . 由性质 2 知 1 ? A2 ,1 ? A3 ,再由性质 3 知 A2 ? A1 , A3 ? A1 ,所以必有 4 ? A2 , 4 ? A3 . 若 2 ? A3 ,则 3 ? A 2 ,那么 A2 ? ? 4? ? A3 ? ? 2, 4 ? ,矛盾! 若 2 ? A3 ,则 3 ? A 2 ,那么 A3 ? ? 4? ? A2 ? ? 3, 4 ? ,亦矛盾! 综上所述, n ? 3 或 n ? 5 .

9

2011 年全国高中数学联赛模拟测试一
学校 姓名 计分

第一试
一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1、函数 f ( x ) ?
x?x
2 3 2

(1 ? x )

的值域是



2 、 已 知 △ ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O , 垂 心 为 H , O H ? m ?O A ? O B ? O C ? , 且
A B ? B C ? C A 。则实数 m 的取值集合为__________。

????

??? ?

??? ?

????

A

O 3、已知实数 a 使得不等式 2 x ? a ? 3 x ? 2 a ? a 对任意 x ? R
2

H C

B

总成立,则实数 a 的取值范围为



2 3, 2 3, 4、如图,三行三列的方阵中有 16 个数 a ij ( i ? 1,, 4; j ? 1,, 4) ,从中任取四个数,则

至少有两个数位于同行或同列的概率值 p ?



? a1 1 ? a ? 21 ?a 31 ? ?a ? 41

a1 2 a 22 a 32 a 42

a1 3 a 23 a 33 a 43

a1 4 ? ? a 24 ? a 34 ? ? a 44 ? ?

5、四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD 成 6 0 ? 的二面角,顶点 A 在面 BCD 上的射影 H 是 ? B C D 的垂心,G 是 ? A B C 的重心。若 AH=4,AB=AC,则 GH= 。 6、 ? f n ? n ? 0 是 Fibonacci 数列,定义如下: f 0 ? 1, f 1 ? 1, f n ? 1 ? f n ? f n ?1 , n ? 1, 2, ? . 则方程: n f n f n ? 1 ? ? f n ? 2 ? 1 ? 的解集为
2



7、九个连续正整数自小到大排成一个数列 a1 , a 2 , ? , a 9 ,若 a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ? a 9 为一平方 数, a 2 ? a 4 ? a 6 ? a 8 为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是 8、设 ? ? { A A ? {1, 2 ,3 , ? , n }} ,定义 ? ( A ) ? 。

? a ,则
a? A

A、 B ? ? , A? B

? ? (A ? B) =



10

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题各 20 分) 9、设 x , y , z 为非负实数,满足 x ? y ? z ? 1 , 求 f ( x , y , z ) ? 小值。
1 2? x
2

?

1 2? y
2

?

1 2? z
2

的最

11

10、已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 F1 、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点,在椭 圆 C 的右准线上的点 P ( 2 , 3 ) ,满足线段 PF 1 的中垂线过点 F 2 .直线 l : y ? kx ? m 为动 直线,且直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若在椭圆 C 上存在点 Q ,满足 O A ? O B ? ? O Q ( ? ? R ) ( O 为坐标原点) ,求 ? ABO 面积的最大值。
??? ? ??? ? ????

12

11、 已知 f ( x ) 是在 (0, ? ? ) 上每一点处导数均存在的函数, xf ?( x ) ? f ( x ) 对任意 x ? 0 恒 若 成立. (1)求证:对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) ,恒有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) (2)已知不等式 ln (1 ? x ) ? x 在 x ? ? 1 且 x ? 0 时恒成立,求证:
1 2
2

ln 2 ?
2

1 3
2

ln 3 ?
2

1 4
2

ln 4 ? ? ?
2

1 ( n ? 1)
2

2 ln ( n ? 1) ?

n 2 ( n ? 1)( n ? 2 )

( n ? N ).
*

13

2011 年全国高中数学联赛模拟测试一
学校 姓名 计分

第二试
一、 (本题满分 40 分) 如图,设 B E , C F 是 ? A B C 的两条高, M 是 ? A B C 的外接圆上的一个动点,直线
M B 与 C F 相交于点 P ,直线 M C 与 B E 相交于点 Q 。

求证:直线 E F 平分线段 P Q 。
A

M F P E

Q

C B

14

二、 (本题满分 40 分) 设 k ? N ,定义: A1 ? 1 , A n ? 1 ?
?

nA n ? 2 ( n ? 1) n?2

2k

( n ? 1, 2 , ? )

求证:当 n ? 1 时, A n 为整数,且 A n 为奇数当且仅当 n ? 1 或 2 (mod 4 )

15

三、 (本题满分 50 分) 设 x1 , x 2 , ? , x n ? R ,且 ?
?

n

1 1 ? xi

?

n 2

.求证:

i ?1

1? i , j ? n

?

1 xi ? x j

?

n

2

.

2

16

四、 (本题满分 50 分) 试求所有可能的正整数 n ? 3 ,使得存在集合 I ? ?1, 2, 3, ? , n ? 的子集 A1 , A2 , ? , An , 满足以下三个条件: (1) ? i ? I ,有 i ? Ai ; (2) ? i ? j ? I ,有 i ? A j 的充要条件是 j ? Ai ; (3) ? i ? j ? I ,有 Ai ? A j .

17


2012年全国高中数学联赛试题及答案

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