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2012江苏省南通高三第二次调研测试题(三模,数学,全word版)


2012 年 5 月 9 日星期三

1

2012 江苏省南通、泰州、扬州苏中三市高三第二次调研测试题

数学Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. ........ 1.?已知集合 A ? ?1, 1? , B ? ?1,? ,那么 A ?

B = ? 0 ▲ . ??1,, 0 1?

2. 已知 z ? ? a ? i ??1 ? i ? (a∈R, i 为虚数单位) ,若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上,则 a= ▲ .1 ▲ .8 ▲ .

3. 若抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 上的点 A ? 2,m ? 到焦点的距离为 6,则 p=

?1 ? 2 4. 已知函数 f ( x) ? log 2 x .在区间 ? , ? 上随机取一 x0 ,则使得 f ( x0 )≥0 的概率为 ?2 ?

5. 若直线 a2 ? 2a x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是 6. 某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图 如图所示,则去掉一个最高分和一个最低分后的 5 个数据的 标准差为 ▲ . (茎表示十位数字,叶表示个位数字) 2 开始

?

?

2 3



. ? ?2, ? 0

i ? 0,a ? 4

a?

a?2 a?2

7 9 8 3 4 5 6 7 9 3
(第 6 题)

i?3

Y

i ? i ?1

N 输出 a 结束

7. 若执行如图所示的程序框图,则输出的 a 的值为 ▲ .

7 3

(第 7 题)

8. 已知单位向量 a,b 的夹角为 120° ,那么 2a ? xb ? x ? R ? 的最小值是



. 3

, 9. 已知角 ? 的终边经过点 P ?1 ? 2? ,函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ? ?? ? 0 ? 图象的相邻两条对称轴之间的

距离等于

π ? π? ,则 f ? ? = ▲ 3 ? 12 ?

.?

10 10

10. 各项均为正数的等比数列 {an } 满足 a1a7 ? 4,a6 ? 8 , 若函数 f ? x ? ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? ??? ? a10 x10 的

1 导数为 f ? ? x ? ,则 f ?( ) ? 2





55 4

11.若动点 P 在直线 l1: x ? y ? 2 ? 0 上,动点 Q 在直线 l2: x ? y ? 6 ? 0 上,设线段 PQ 的中点为
M ( x0 , y0 ) ,且 ( x0 ? 2)2 ? ( y0 ? 2)2 ≤8,则 x02 ? y02 的取值范围是



.[8,16]

12.已知正方体 C1 的棱长为 18 2 ,以 C1 各个面的中心为顶点的凸多面体为 C2,以 C2 各个面的中
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心为顶点的凸多面体为 C3,以 C3 各个面的中心为顶点的凸多面体为 C4,依次类推.记凸多面 体 Cn 的棱长为 an,则 a6= ▲ .2

13.若函数 f ? x ? ?| 2x ? 1| ,则函数 g ( x) ? f ? f ? x ?? ? ln x 在(0,1)上不同的零点个数为 ▲.3 14. 已知圆心角为 120° 的扇形 AOB 的半径为 1, 为 ? 的中点, D、 分别在半径 OA、 上. C AB 点 E OB 若

CD2 ? CE 2 ? DE 2 ?

26 ,则 OD ? OE 的最大值是 9





4 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x

? m ? 0 ? 的最大值为 2.

(1)求函数 f ( x) 在 ?0,π? 上的单调递减区间;

π π (2)△ABC 中, f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin Asin B ,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 4 4
且 C=60° c ? 3 ,求△ABC 的面积. , 解: (1)由题意, f ( x) 的最大值为 m2 ? 2 ,所以 m2 ? 2=2 .???????????2 分

π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) .???????????????4 分 4 π π 3π f ( x) 为递减函数,则 x 满足 2kπ+ ≤ x ? ≤ 2kπ+ 2 4 2

? k ? Z? ,

π 5π 即 2kπ+ ≤ x ≤ 2kπ+ ? k ? Z ? .????????????????????6 分 4 4 ?π ? 所以 f ( x) 在 ?0,π? 上的单调递减区间为 ? , π ? . ?????????????7 分 ?4 ?
(2)设△ABC 的外接圆半径为 R ,由题意,得 2R ?

c 3 ? =2 3 . sin C sin 60?

π π 化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin Asin B ,得 4 4
sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .?????????????????????9 分

由正弦定理,得 2R ? a ? b ? ? 2 6ab , a ? b ? 2ab .
2



由余弦定理,得 a 2 ? b2 ? ab ? 9 ,即 ? a ? b? ? 3ab ? 9 ? 0 . ② ???????11 分 将①式代入②,得 2 ? ab? ? 3ab ? 9 ? 0 .
2

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3 解得 ab ? 3 ,或 ab ? ? (舍去) .???????????????????13 分 2
3 3 1 .???????????????????????14 分 S?ABC ? ab sin C ? 4 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 、 E 分别是棱 BC 、 AB 的中点,点 F 在棱 CC1 上,已知
AB ? AC , AA1 ? 3 , BC ? CF ? 2 .

C D O E A B

F

C1

(1)求证: C1 E // 平面 ADF ; (2) 设点 M 在棱 BB1 上, BM 为何值时, 当 平面 CAM ? 平面 ADF ? 解: (1)连接 CE 交 AD 于 O ,连接 OF . 因为 CE,AD 为△ABC 中线, 所以 O 为△ABC 的重心,
CF CO 2 ? ? . CC1 CE 3

M B1 A1

(第 16 题)

从而 OF//C1E. ??????????????????????????????3 分 OF ? 面 ADF, C1 E ? 平面 ADF , 所以 C1 E // 平面 ADF .??????????????????????????6 分 (2)当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF . 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 由于 B1 B ? 平面 ABC,BB1 ? 平面 B1BCC1,所以平面 B1BCC1 ? 平面 ABC. 由于 AB=AC, D 是 BC 中点,所以 AD ? BC .又平面 B1BCC1∩平面 ABC=BC, 所以 AD ? 平面 B1BCC1. 而 CM ? 平面 B1BCC1,于是 AD ? CM.???????????????????9 分 因为 BM =CD=1,BC= CF=2,所以 Rt?CBM ≌ Rt?FCD ,所以 CM ? DF. ???11 分 DF 与 AD 相交,所以 CM ? 平面 ADF . CM ? 平面 CAM,所以平面 CAM ? 平面 ADF .???????????????13 分 当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF .???????????????????14 分 17. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

0) ? a ? b ? 0? 的右焦点为 F1 (2, ,离心率为 e .

(1)若 e ?

2 ,求椭圆的方程; 2

(2)设 A,B 为椭圆上关于原点对称的两点, AF1 的中点为 M, BF1 的中点为 N,若原点 O 在

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以线段 MN 为直径的圆上. ①证明点 A 在定圆上; ②设直线 AB 的斜率为 k,若 k ≥ 3 ,求 e 的取值范围. 解: (1)由 e ?
2 ,c=2,得 a= 2 2 ,b=2. 2

所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????????4 分 8 4

(2)设 A( x0,y0 ) ,则 B(? x0,- y0 ) ,
y ? ? x ? 2 y0 ? ? 2 ? x0 , ?,N? , 0 ? .??????????????????6 分 ? 故M ? 0 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 uuur uuu r ① 由题意,得 OM ? ON ? 0 .

化简,得 x02 ? y02 ? 4 ,所以点 A 在以原点为圆心,2 为半径的圆上. ????8 分
? y0 ? kx0 ? x0 2 k 2 x0 2 ? 2 ? 2 ?1 y0 2 1 k2 1 ? ? x0 ② 设 A( x0,y0 ) ,则 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? a 2 ? 2 ? 2 ? (1 ? k 2 ) . b b a b 4 ? x2 ? k 2 x2 ? 4 ?a 0 2 2 ? 0 ? x0 ? y0 ? 4 ?

将e ?

c 2 4 ? , b2 ? a2 ? c2 ? 2 ? 4 ,代入上式整理,得 a a e
??????????????????????10 分
2 .??????????12 分 2

k 2 (2e2 ? 1) ? e4 ? 2e2 ? 1 .

因为 e4 ? 2e2 ? 1 ? 0 ,k2>0,所以 2e2 ? 1 ? 0 , e ?

2 ? 4 e4 ? 2e2 ? 1 ?e ? 8e ? 4 ≥ 0, 所以 k ? ≥3 .化简,得 ? 2 2e2 ? 1 ?2e ? 1 ? 0. ?

2

解之,得

2 1 < e ≤ 3 ?1. < e2 ≤ 4 ? 2 3 , 2 2

? 2 ? 故离心率的取值范围是 ? ,3 ? 1? . ??????????????????14 分 ? 2 ? ?
(说明:不讨论 2e2 ? 1 ? 0 ,得 0 ? e ≤ 3 ? 1 的扣 2 分) 18. (本小题满分 16 分) 如图,矩形 ABCD 中,AB=3,AD=2,一质点从 AB 边 上的点 P0 出发, 沿与 AB 的夹角为??的方向射到边 BC 上 点 P1 后,依次反射(入射角与反射角相等)到边 CD,
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D

P2

C

P3 P1 A P4 P0 B

(第 18 题)

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DA 和 AB 上的 P2,P3,P4 处. (1)若 P4 与 P0 重合,求 tan ? 的值; (2)若 P4 落在 A、P0 两点之间,且 AP0=2.设 tan ? =t,将五边形 P0P1P2P3P4 的面积 S 表示为 t 的函数,并求 S 的最大值. 解 : (1)设 P0 B ? x0 ,则 PB ? x0 tan ? , PC ? 2 ? x0 tan ? .??????????????2 分 1 1

P2C ?

PC 2 ? x0 tan ? 2 2 1 = .??????????4 分 ? ? x0 , P2 D ? 3 ? x0 ? tan ? tan ? tan ? tan ?

P D ? (3 ? x0 ) tan ? ? 2 , P A ? 4 ? (3 ? x0 ) tan ? , 3 3

AP4 ?

4 ? (3 ? x0 ) . ?????????????????????????6 分 tan ? 4 2 ? 6 ,即 tan ? ? . ???????8 分 tan ? 3

由于 P4 与 P0 重合, AP4 ? P0 B ? 3 ,所以 (2)由(1) ,可知 AP4 ?

4 ?4. tan ? 2 2 ? tan ? ? 1 ,即 ? t ? 1 . ????????10 分 3 3

因为 P4 落在 A、P0 两点之间,所以

S=S 四边形 ABCD ? S?P0 BP1 ?S?PCP2 ? S?P2 DP3 ? S?P3 AP4 1
1 1 2 ? 2 ? 1? ? 6 ? tan ? ? (2 ? tan ? ) ? ? 1? ? ? 4 ? 2 2 tan ? ? tan ? ? 2? 24 ? ? ? 58 ? ? 34 tan ? ? ? tan ? ? ? 1 ? ? 4 ? ? 4? ? (4 tan ? ? 2) ? (4 ? 4 tan ? ) ? 2 ? ? tan ? ?

12 ? ? ? 32 ? ?17t ? ? . ????????????????????????????14 分 t ? ?

由于

12 ? 12 2 ? =32 ? 4 51 . ? t ? 1 ,所以 32 ? ?17t ? ? ≤ 32 ? 2 17t ? t t ? 3 ?

故 S 的最大值为 32 ? 4 51 . ???????????????????????16 分 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x2,g ( x) ? a ln x ,a∈R.
, (1)若对任意 x ? ?1 e? ,都有 g ( x) ≥ ? x2 ? (a ? 2) x 恒成立,求 a 的取值范围;

? f ? x ?,x ? 1, ? (2)设 F ? x ? ? ? 若 P 是曲线 y=F(x)上异于原点 O 的任意一点,在曲线 y=F(x)上总 . ? g ? x ?,x ≥1 ?
存在另一点 Q,使得△POQ 中的∠POQ 为钝角,且 PQ 的中点在 y 轴上,求 a 的取值范 围.
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解: (1)由 g ( x) ≥ ? x2 ? (a ? 2) x ,得 ? x ? ln x ? a ≤ x2 ? 2x . 由于 x ? ?1,e? , ln x ≤ 1 ≤ x ,且等号不能同时取得,所以 ln x ? x,x ? ln x ? 0 . 从而 a ≤
? x2 ? 2 x ? x2 ? 2 x 恒成立, a ≤ ? ? . ???????????????4 分 x ? ln x ? x ? ln x ?min

设 t ? x? ?

? x ? 1?? x ? 2 ? ln x ? .??????6 分 x2 ? 2 x ,x ? ?1,e? .求导,得 t? ? x ? ? 2 x ? ln x ? x ? ln x ?

ln x ? ?1,e? , x ? 1≥ 0, x ≤1,x ? 2 ? ln x ? 0 ,

从而 t? ? x ? ≥ 0 , t ? x ? 在 ?1,e? 上为增函数. 所以 t ? x ?min ? t ?1? ? ?1,所以 a ≤ ?1 .???????????????????8 分
?? x3 ? x2,x ? 1, (2) F ? x ? ? ? 设 P ? t,F ? t ? ? 为曲线 y ? F ? x ? 上的任意一点. . ?a ln x, x ≥1

假设曲线 y ? F ? x ? 上存在一点 Q ? ?t,F ? ?t ?? ,使∠POQ 为钝角,

??? ???? ? 则 OP ? OQ ? 0 . ????????????????????????????10 分 ??? ???? ? ① 若 t≤-1, P t,-t 3 ? t 2 , Q ? ?t,a ln ? ?t ?? , OP ? OQ = ?t 2 ? a ln(?t ) ? (?t 3 ? t 2 ) .

?

?

??? ???? ? 由于 OP ? OQ ? 0 恒成立, a ?1 ? t ? ln ? ?t ? ? 1 .
当 t=-1 时, a ?1 ? t ? ln ? ?t ? ? 1 恒成立. 当 t<-1 时, a ?
1 1 ? 0 ,所以 a≤0. 恒成立.由于 (1 ? t ) ln( ?t) (1 ? t ) ln( ?t)

???12 分

② 若 ?1 ? t ? 1 , t ? 0 , P t,-t 3 ? t 2 , Q ?t,t 3 ? t 2 ,

?

?

?

?

??? ???? ? 则 OP ? OQ = ?t 2 ? (?t 3 ? t 2 )(t 3 ? t 2 ) ? 0 ,
t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 对 ?1 ? t ? 1 , t ? 0 恒成立. ?????????????????14 分

③ 当 t≥1 时,同①可得 a≤0.
0 综上所述,a 的取值范围是 ? ??, ? . ??????????????????16 分

20. (本小题满分 16 分) 已知 α,β 是方程 x2-x-1=0 的两个根,且 α<β.数列{an},{bn}满足 a1=1,a2=β, an+2=an+1+an,bn=an+1-αan(n∈N*). (1)求 b2-a2 的值;
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(2)证明:数列{bn}是等比数列; (3)设 c1=1,c2=-1,cn+2+cn+1=cn(n∈N*) ,证明:当 n≥3 时,an=(-1)n 1(αcn-2+βcn) . 解:因为 α,β 是方程 x2-x-1=0 的两个根,所以 α+β=1,α·β=-1,β2=β+1. (1)由 b2= a3-αa2= a1+a2-αa2=1+ a2-αβ=2+ a2,得 b2-a2=2. bn+1 an+2-αan+1 an+1+an-αan+1 (2)因为 = = bn an+1-αan an+1-αan = (1-α)an+1+an βan+1-αβan βan+1+an = = =β, ???????????8 分 an+1-αan an+1-αan an+1-αan ????????4 分


又 b1= a2-αa1=β-α≠0,所以{bn}是首项为 β-α,公比为 β 的等比数列. ??10 分 (3)由(2)可知 an+1-αan=(β-α)βn 1.




同理, an+1-βan=α(an-βan-1) .又 a2-βa1=0,于是 an+1-βan=0. ② 由①②,得 an=β n 1.?????????????????????????13 分 下面我们只要证明:n≥3 时, (-1) n 1(αcn-2+βcn)= β n 1. 因为 (-1)n(αcn-1+βcn+1) αcn-1-βcn+βcn-1 cn-1-βcn cn-2-cn-βcn =- =- =- αcn-2+βcn αcn-2+βcn αcn-2+βcn (-1)n-1(αcn-2+βcn)
- - -

cn-2-(1+β)cn -αβcn-2-β2cn =- =- =β. αcn-2+βcn αcn-2+βcn 又 c1=1,c2=-1,c3=2,则当 n=3 时,(-1)2(αc1+βc3)= (α+2β)=1+β=β2, 所以{(-1) n (-1) n
-1 -1

(αcn-2+βcn)}是以 β2 为首项,β 为公比的等比数列.

(αcn-2+βcn)是它的第 n-2 项,
-1

所以(-1) n

(αcn-2+βcn)= β2·βn 3=βn 1= an.????????????????16 分





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数学Ⅱ参考答案与评分建议
21. 【选做题】本题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,每小题 10 分,共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC,求证:∠PDE=∠POC. 证明:因 AE=AC,AB 为直径, 故∠OAC=∠OAE. ?????????????3 分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE,所以,∠PDE=∠POC.?????????????????10 分 B.选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)
?1 2 ? ?1 ? 5 已知 M ? ? ?,β ? ?7 ? ,计算 M β . 2 1? ? ? ?

E A · O C
(第 21-A 题)

B D

P

解:矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
?2

?2 ? ? 2 ? 2? ? 3 .????????????3 分 ? ?1

令 f (? ) ? 0,解得?1 ? 3,?2 ? ?1 ,从而求得对应的一个特征向量分别为
?1? ?1? α1 ? ? ? ,α2 ? ? ? . ???????????????????????????5 分 ?1? ? ?1?

令 β ? mα1 ? nα2, 所以求得 m ? 4, n ? ?3 .??????????????????7 分
M 5 ? ? M 5 (4α1 ? 3α2 ) ? 4( M 5α1 ) ? 3( M 5α2 ) ? 4(?15α1 ) ? 3(?25α2 )
?1? ? 1 ? ?975? ? 4 ? 35 ? ? ? 3(?1)5 ? ? ? ? ? .??????????????????????10 分 ?1? ? ?1? ?969?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)

π 在极坐标系中,圆 C1 的方程为 ? ? 4 2 cos(? ? ) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建 4

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? x ? ?1 ? a cos ? , 立平面直角坐标系,圆 C2 的参数方程 ? ( ? 是参数) ,若圆 C1 与圆 C2 相切,求实 ? y ? ?1 ? a sin ?

数 a 的值. 解: C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ,圆心 C1 (2, 2) ,半径 r1 ? 2 2 ,
C2 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? a2 ,圆心 C2 (?1, ?1) ,半径 r2 ? a .???????????????3 分

圆心距 C1C2 ? 3 2 , ??????????????????????????????5 分 两圆外切时, C1C2 ? r1 ? r2 ? 2 2 ? a ? 3 2,a ? ? 2 ; ???????????????7 分 两圆内切时, C1C2 ? r1 ? r2 ? 2 2 ? a ? 3 2,a ? ?5 2 . 综上, a ? ? 2,或 a ? ?5 2 .??????????????????????????10 分 D.选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)

y 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z
证明:因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理,可得
x y 1 x y 2 ? ? ( ? ) ≥ .???????????3 分 yz zx z y x z

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ . zx xy x xy yz y x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? .???10 分 yz zx xy x y z

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

22. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 某射击运动员向一目标射击,该目标分为 3 个不同部分,第一、二、三部分面积之比为 1∶3∶ 6.击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.

1 (1)若射击 4 次,每次击中目标的概率为 且相互独立.设 ? 表示目标被击中的次数,求 ? 的 3
分布列和数学期望 E (? ) ; (2)若射击 2 次均击中目标, A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” , 求事件 A 发生的概率.

1 解: (1)依题意知 ? ~ B(4,) , ? 的分布列 3
ξ 0 1 2 3 4

P

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

数学期望 E (? ) = 0 ?

16 32 24 8 1 4 4 . +1? + 2 ? + 3 ? + 4 ? = (或 E (? ) = np ? ) 3 81 81 81 81 81 3
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????????????????????????????????????5 分 (2)设 Ai 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分” , i ? 1,2 ,
Bi 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分”, i ? 1,2 .

依题意,知 P( A1 ) ? P( B1 ) ? 0.1 , P( A2 ) ? P( B2 ) ? 0.3 ,

A ? A1 B1 ? A1 B1 ? A1 B1 ? A2 B2 , ??????????????????????7 分
所求的概率为

P( A) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A2 B2 )
= P( A1 )P(B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P( A2 )P(B2 ) = 0.1 ? 0.9 + 0.9 ? 0.1 + 0.1 ? 0.1 + 0.3 ? 0.3=0.28 . 答:事件 A 的概率为 0.28.???????????????????????10 分 另解:记“第一部分至少击中一次”为事件 C , “第二部分被击中二次”为事件 D , 则 P(C) ? C1 0.1? 0.9 + 0.1? 0.1=0.19 , P( D)=0.3 ? 0.3=0.09 .??????????7 分 2
P( A) ? P(C ) ? P( D) ? 0.28 .

答:事件 A 发生的概率为 0.28.?????????????????????10 分 23. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 已知函数 f ( x) ? (2 x ? 1)ln(2 x ?1) ? a(2 x ?1) 2 ? x( a ? 0) . (1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处取极值,求 a 的值;

1 (2)如图,设直线 x ? ? , y ? ? x 将坐标平面分成Ⅰ 、Ⅲ、Ⅳ 、Ⅱ 四个区域(不含边界) ,若函数 2
y ? f ( x) 的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的 a 的取值范围;

(3)比较 32 ? 43 ? 54 ? ???? 20122011 与 23 ? 34 ? 45 ? ???? 20112012 的大小,并说明理由. 解: f ( x) ? (2x ? 1)ln(2 x ? 1) ? a(2x ? 1)2 ? x(a ? 0) , Ⅰ Ⅱ Ⅱ
? 1 2

y
x Ⅲ

f ? ( x) ? 2ln(2x ? 1) ? 4a(2x ? 1) ? 1 .
∵ f ( x) 在 x ? 0 处取极值,∴ f ? (0) ? ?4a ? 1 ? 0 . ∴a ?

O Ⅳ

x
x

1 1 (经检验 a ? 符合题意) .?????3 分 4 4



1 (2)因为函数的定义域为 (? , ??) , 2
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(第 23 题)

2012 年 5 月 9 日星期三

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且当 x ? 0 时, f (0) ? ?a ? 0 . 又直线 y ? ?x 恰好通过原点,所以函数 y ? f ( x) 的图象应位于区域Ⅳ内, 于是可得 f ( x) ? ? x ,即 (2 x ? 1)ln(2 x ? 1) ? a(2 x ? 1)2 ? x ? ? x .??????????5 分 ∵ 2 x ? 1 ? 0 ,∴ a ? 令 h?( x) ? 0 ,得 x ?
2 ? 2 ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) .令 h( x) ? ,∴ h? ( x) ? . (2 x ? 1) 2 2x ? 1 2x ? 1

e ?1 . 2

1 1 e ?1 ∵ x ? ? ,∴ x ? (? , ) 时, m?( x) ? 0 , m( x) 单调递增, 2 2 2 x ?( e ?1 , ??) 时, m?( x) ? 0 , m( x) 单调递减. 2 e ?1 1 )? . 2 e

∴ hmax ( x) ? h(

1 ∴ a 的取值范围是 a ? . ?????????????????????????7 分 e
(3)法一:由(2)知,函数 m( x) ? 函数 p( x) ? ∴

ln(2 x ? 1) e ?1 时单调递减, 在x ? ( , ??) 2x ? 1 2

ln x 在 x ? (e, ??) 时单调递减. x

ln( x ? 1) ln x ? ,? x ln( x ? 1) ? ( x ? 1)ln x . x ?1 x

1 ∴ ln( x ? 1) x ? ln x( x?1) ,即 ( x ?1 x ? x( x?) .????????????????????9 分 )

∴ 令x ? 3, 4, ???, 2011, 则 43 ? 34 ,54 ? 45 , ???, 20122011 ? 20112012 , 又 32 ? 43 ? 23 ? 34 ,所以 32 ? 43 ? 54 ????20122011 ? 23 ? 34 ? 45 ????20112012 .??????10 分
2011

2012 (2011 ? 1) 法二: ? 2012 2011 20112012
2011

2011

?

?C
r ?0

r 2011

20112011?r

20112012



r r ∵ C2011 ? 2011r ,?C2011 20112011?r ? 20112011 ,
2011



?C
r ?0

r 2011

20112011? r ?

20112012

0 1 2009 1 C2011 20112011 ? C2011 20112010 ? ? ? C2011 20112 ? C2011 2011 ? 1 20112012

?

1 1 1 ? ? ?? ? ?1 2011 2011 2011

∴ 20122011 ? 20112012 ,同理可得 43 ? 34 ,54 ? 45 ,以下同一.

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