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2015年高考复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

时间:2014-09-25


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一、平移变换

y = f(x)

?

1、y = f(x +a)
1)当a > 0时,将y = f(x)图象向左平移a个单位;
2)当a <0时,将y = f(x)图象向右平移 a 个单位;

2、y = f(x) +a

1)当a > 0时,将y = f(x)图象向上平移a个单位;
2)当a <0时,将y = f(x)图象向下平移 a 个单位;

二、对称变换
1、y = f( x )

y = f(x)

?

将y = f(x)的图象在x轴正半轴上的图象保留, 并将这部分图象对称地翻折到x轴的负半轴上,

这两部分图象共同构成了y = f( x )的图象;

2、y = f(x)
将y = f(x)的图象在x轴上方的图象保留, 并将在x轴下方的图象对称地翻折到x轴上方,

这两部分图象共同构成了y = f(x) 的图象;

三、伸缩变换 y = f(x) (a > 0且a ≠1)
1、y = f(ax)



1)当a >1时,将y = f(x)图象上每一个点的 1 纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 , a 2)当0 < a <1时,将y = f(x)图象上每一个点的 1 纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 倍, a

即得函数y = f(ax)的图象;

三、伸缩变换 y = f(x) (a > 0且a ≠1)



2、y = af(x)
1)当a >1时,将y = f(x)图象上每一个点的 横坐标不变,纵坐标伸长到原来的a倍,

2)当0 < a <1时,将y = f(x)图象上每一个点的 横坐标不变,纵坐标缩短到原来的a倍,

即得函数y = af(x)的图象;

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1.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最 低点及与x轴相交的三个交点,作图时的一般步骤 为:

π 3π (1)定点:先确定五点.即令 ωx+φ 分别等于 0, ,π, , 2 2 3π π -φ -φ 2 π- φ 2 φ -ω , 2π, 得对应的五点为_____ ________ _______ _________ , ω , ω ω , 2π-φ _________. ω

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(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平 滑的曲线顺次连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个 周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ωx+φ)在R上的图象.

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2.三角函数图象的变换

方法1:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y=sinx
向左?>0 (向右?<0) 平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变 横坐标不变 纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

y=sin(?x+?) y=Asin(?x+?)

方法2:(按 ω, ? , A 顺序变换)
y=sinx
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍
纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0)
平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin(?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩;方法二先伸缩再 平移.特别注意方法二中的平移量.

3.函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义

y ? A sin(?x ? ? ),其中A ? 0, ? ? 0
A:振幅 (运动的物体离开平衡位 置的最大距离 ) 2? T:周期T= ?
(运动的物体往复运动一 次所需要的时间 ) 1 ? f:频率f ? = T 2? (运动的物体在单位时间 内往复运动的次数 )

?x ? ?:相位
x ? 0时的相位?称为初相

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4.三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. (3)利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数 拟合,从而得到函数模型.

考点自测

1.函数y=(sin x+cos x)2+1的最小正周期是(
π A. 2 B.π 3π C. 2 D.2π

).

解析

2π y=2sin xcos x+2=sin 2x+2.∴T= =π. 2

答案

B

2. 已知简谐运动

? π? f(x) = Asin(ωx + φ) ?|φ|< 2 ? ? ?

的部分图象如图所示, 则该简谐运动的最 小正周期 T 和初相 φ 分别为(
π A.T=6π,φ= 6 π C.T=6,φ= 6

).

π B.T=6π,φ= 3

解析

π D.T=6,φ= 3 π 由图象知 T=2(4-1)=6?ω= ,由图象过点 (1,2) 3
?π ? π ? ? sin 3×1+φ =1,又|φ|< ,得 2 ? ?

且 A=2,可得
答案 C

π φ= . 6

3.(2012· 安徽)要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函 数y=cos 2x的图象 A.向左平移1个单位
1 C.向左平移 个单位 2

( B.向右平移1个单位

).

解析

1 D.向右平移 个单位 2 1 将 y=cos 2x 的图象向左平移 个单位后, 可得到 y 2

=cos(2x+1)的图象. 答案 C

4. (2013· 九江质检)将函数

? π? y=sin?6x+4?的图象上各点的横坐 ? ?

π 标伸长到原来的 3 倍,再向右平移 个单位,得到的函数 8 的一个对称中心是 ( ).
?π ? A.?2,0? ? ? ?π ? B.?4,0? ? ? ?π ? C.?9,0? ? ? ?π ? D.?16,0? ? ?

答案

A

5. (2012· 天津改编)将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象向 ?3π ? π 右平移 个单位长度,所得图象经过点? 4 ,0?,则 ω 的 4 ? ? 最小值是________. π 解析 将函数 f(x)=sin ωx 的图象向右平移 个单位长度 4
得到函数
? ? π ?? y = sin ?ω?x-4 ?? 的图象,因为所得图象经过点 ? ? ??

?3 ? ? π,0?,则 ?4 ?

ω ω sin π=0,所以 π=kπ(k∈Z),即 ω=2k(k 2 2

∈Z),又 ω>0,所以 ωmin=2.
答案 2

题型分类·深度剖析
考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

思维启迪

解析

思维升华

题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

思维启迪

解析

思维升华

将 f(x)化为一个角的一个三 角函数,由周期是 π 求 ω, 用五点法作图要找关键点.

题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

思维启迪

解析

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(1)f(x)=sin ωx+ 3cos ωx 1 3 =2( sin ωx+ cos ωx) 2 2 π =2sin(ωx+ ), 3 2π 又∵T=π,∴ =π,即 ω=2. ω π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 3
∴函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx π 的振幅为 2,初相为 . 3

题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

思维启迪

解析

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(2) 令 X = 2x +
? π? ? 2sin?2x+3 ? ?=2sin ? ?

π ,则 y= 3 X.
5π 6 2π 0 0

列表,并描点画出图象: π π π 7π x - 6 12 3 12 π 3π X 0 π 2 2 0 1 0 -1 y=sin X y= 2 0 -2 ? π? 0 2sin?2x+3? ? ?

题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

思维启迪

解析

思维升华

题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

解析 思维启迪 思维升华 (3)方法一 把y=sin x的图象上所 π 有的点向左平移 个单位,得到y= 3 ? ? π? π? ? ? ? sin x+3 的图象,再把y=sin x+3 ? ? ? ? ? 的图象上的点的横坐标缩短到原来 1 的 倍(纵坐标不变),得到y= 2 ? π? ? sin 2x+3 ?的图象,最后把y= ? ? ? π? ? sin 2x+3 ? 上所有点的纵坐标伸长 ? ? 到原来的2倍(横坐标不变),即可得 ? π? 到y=2sin?2x+3 ?的图象. ? ?

题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

思维升华 方法二 将y=sin x的图象上每一 1 点的横坐标x缩短为原来的 倍,纵 2 坐标不变,得到y=sin 2x的图象; π 再将y=sin 2x的图象向左平移 个 6 ? π? ? 单位,得到y=sin 2 x+6 ?= ? ? ? π? sin?2x+3 ?的图象;再将y= ? ? ? π? sin ?2x+3 ? 的图象上每一点的横坐 ? ? 标保持不变,纵坐标伸长为原来的 ? π? ? 2倍,得到y=2sin 2x+3 ?的图象. ? ?

思维启迪

解析

题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

思维启迪

解析

思维升华

(2)图象变换:由函数y=sin x 的图象通过变换得到y= Asin(ωx+φ)的图象,有两种 主要途径:“先平移后伸 缩”与“先伸缩后平移”.

(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法,此 法注意在作出一个周期上的简图后,应向两端伸 展一下,以示整个定义域上的图象; (2)变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后 伸缩还是先伸缩后平移, 对于后者可利用 ωx+φ
? ? φ ? ? =ω?x+ω?来确定平移单位. ? ?

【训练 1】 已知函数

?1 π? f(x)=3sin?2x- 4 ?,x∈R. ? ?

(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?



(1)列表取值:
x 1 π x- 2 4 f(x) π 2 0 0 3 π 2 π 2 3 5 π 2 π 0 7 π 2 3 π 2 -3 9 π 2 2π 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简 图.

π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移 个单位,然后把所有的 4 点的横坐标扩大为原来的 2 倍, 再把所有点的纵坐标扩大 为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象

考点二

由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

【例2】?(1)如图是函数y=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0)的 图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是
4π π A.A=3,T= ,φ=- 3 6 4π 3π B.A=1,T= ,φ= 3 4 4π 3π C.A=1,T= ,φ=- 3 4 4π π D.A=1,T= ,φ=- 3 6

(

).

(2)如图是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的 一部分,它的解析式为 π? 2 ? A.y= sin?2x+3? 3 ? ? 2 ?x π? B.y= sin?2+4? 3 ? ? 2 ? π? C.y= sin?x-3? 3 ? ? 2π? 2 ? D.y= sin?2x+ 3 ? 3 ? ? ( ).

4π [审题视点] (1)函数的最大值为 3, 最小值为 1, 周期 T= , 3 ?5π ? 从而 A,ω 可求,再代入? 6 ,3?,可求 φ 值; ? ? ? π 2? (2)观察半个周期求 ω,将点?-12,3?代入求 φ. ? ?
解析 (1)由图象可知,函数的最大值 M=3,最小值 m=1, M-m 3-1 T 5π π 2π 则 A= = =1, = - = , 2 2 2 6 6 3 4π 2π 3 ∴T= ,∴ω= T = . 3 2 ?3 ? ?5π ? ∴y=sin?2x+φ?+2,把点? 6 ,3?代入得: ? ? ? ?
?5π ? sin? 4 +φ?+2=3,解得 ? ?

3π φ=- . 4

T π ? 7π? π 2π ? ? (2)由 =- - - 12 = ,得 T=π,∴ω= T =2. 2 12 ? ? 2
? π 2? 把点?-12,3?代入 ? ?

2 y= sin(2x+φ), 3 2π φ= . 3

? π ? 得:sin?-6+φ?=1,解得 ? ?

答案

(1)C

(2)D

y ? A sin(? x ? ? ) ? b.
1 A ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 2 1 b ? ? f ?x ?max ? f ? x ?min ? 2 2? 利用 T ? ,求得?

?

选择的点要认清其属“五点法”中的哪
一位置点,并能正确代人列式,求得 ? .

?? ? 0 ? “第二点”为: ? x0 ? ? ? 2 “第三点”为: ?x0 ? ? ? ? 3? “第四点”为: ?x0 ? ? ? 2 ?x0 ? ? ? 2? “第五点”为:

?x0 “第一点”为:

【训练2】 (2012· 三明模拟)如图是函数y=Asin(ωx+φ)在 一个周期内的图象,此函数的解析式可为 ( ).
? π? A.y=2sin?2x+3? ? ? ? 2π? B.y=2sin?2x+ 3 ? ? ? ?x π? C.y=2sin?2-3? ? ? ? π? D.y=2sin?2x-3? ? ?

例:已知函数y=Asin(?x+?)(?>0, A>0)

的图像如下:
y 2
O

?? A ? 2 T ? 5? ? ? ?? ? ? ? 6 6 ? ? 2? ?? ?2 ? y ? 2 sin(2 x ? ? ) T ? (? ,0) ? 2(? ? ) ? ? ? 0 6
5? x 6
6

?

?
6

? 3

?? ?

?
3

-2

求解析式?

? y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)


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