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高一数学人教A版必修2:1-1-1棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件

时间:2013-07-13


第一章
空间几何体

第一章 空间几何体

第一章
1.1 空间几何体的结构

第一章 空间几何体

第一章
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

第一章 空间几何体

课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答

第一章

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课前自主预习

第一章

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温故知新 在初中,我们学习了一些平面几何知识,了解了三角形、 四边形、圆等一些平面图形的性质,也直观地认识了一些简单 的几何体,如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等,在此基础 上你能用六根火柴首尾相连最多拼成几个全等的等边三角 形?(提示:若你能在空间中思考这个问题,就会知道答案 4 个)

第一章

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新课引入 中国人认为:没有规矩不成方圆,按照制定出来的规矩做 事,就可以获得整体的和谐统一.在中国传统文化中,“天圆 地方”的设计思想催生了“水立方”,它与圆形的“鸟 巢”——国家体育场相互呼应,相得益彰,可以说“水立方” 就是现代时尚和中国传统文化的智慧结晶,它的建成是我的中 华民族的骄傲, 它给我们带来了美的享受和美的向往. “鸟巢” 和“水立方”也都是由一些简单几何体组成的,本节我们学习 棱柱、棱锥、棱台等这些简单几何体的结构特征.

第一章

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第一章

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自主预习 阅读教材P2-4,回答下列问题: 1.空间几何体 概念 空间 几何 体 定义 在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占 据着空间的一部分.如果我们只考虑物体的
形状 和 大小 ,而不考试其他因素,那么由这

些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体

第一章

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概念

定义 一般地,我们把由若干个 平面多边形 围成的几何体叫

多面 体

做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面 ; 相邻两个面的 公共边 叫做多面体的顶点 叫做多面体的棱;棱与棱的 公共点

旋转 体

我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定 直线 旋转 所形成的 封闭几何体 转体的 轴 叫做旋转体,这条定直线叫做旋

第一章

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[破疑点](1)多面体是由平面多边形围成的,这里的多边形 包括它内部的平面部分. (2)多面体最少有四个面. (3)平面图形绕定直线旋转形成旋转体,这条定直线可以 是平面图形的边,也可以不是,但定直线一定与平面图形在 同一个平面内.

第一章

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下列物体不能抽象成旋转体的是( .. A.篮球 C.电线杆

)

B.日光灯管 D.国家游泳馆水立方

[答案] D

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[解析]

水立方是多面体,不能抽象成旋转体;篮球、日

光灯管、电线杆都可抽象成旋转体.

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2.棱柱
一般地,有两个面互相 平行 ,其余各面都是 四边形,并且每 定义
相邻 两个四边形的公共边都互相 平行 ,由这些面所围成的 多面体 叫做棱柱

有关 概念

棱柱中,两个互相 平行 的面叫做棱柱的底面,简称底;其余各 面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱;侧面与 底面的公共顶点 叫做棱柱的顶点

第一章

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图形

表示法

用表示底面各顶点的 字母 表示棱柱,如上图中的 棱柱可记为棱柱ABCDE-A′B′C′D′E′ 按底面多边形的 边数 分为三棱柱、四棱柱、五 棱柱??

分类

第一章

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[破疑点]有两个面互相平行,其余各面为平行四边形的几 何体,却不一定是棱柱,如图所示的几何体就不是棱柱.因 为棱柱要求有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且 每相邻的两个四边形的公共边都互相平行,而该图中有相邻 四边形的公共边是不平行的.

第一章

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下列几何体中,柱体有(

)

A.1个 C.3个

B.2个 D.4个

[答案] D

第一章

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3.棱锥
一般地,有一个面是 多边形 ,其余各面都是有一个 定义 公共顶点 的三角形,由这些面所围成的多面体叫做 棱锥 多边形面叫做棱锥的底面或底;有 公共顶点 的各个 三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的 公共顶点 叫 做棱锥的顶点;相邻侧面的 公共边 叫做棱锥的侧棱

有关 概念

第一章

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图形

表示 用表示顶点和底面各顶点的 字母 表示,如上图中 法 分类 的棱锥可记为棱锥 S-ABCD 按底面多边形的 边数 分为三棱锥、四棱锥、五棱 锥??其中三棱锥又叫 四面体

第一章

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[破疑点]判断一个几何体是否是棱锥,关键是紧扣棱锥的 三个本质特征: (1)有一个面是多边形; (2)其余各面是三角形; (3)这些三角形有一个公共顶点. 这三个特征缺一不可.下图是一个三棱锥吗?

第一章

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下列棱锥有6个面的是( A.三棱锥 C.五棱锥

)

B.四棱锥 D.六棱锥

[答案] C

第一章

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[解析]

三棱锥有4个面;四棱锥有5个面;五棱锥有6个

面;六棱锥有7个面.

第一章

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4.棱台 定义 用一个 平行于 棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面 之间的部分叫做棱台 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面 和 上底面 有关 ;其他各面叫做棱台的 侧面 ;相邻侧面的公共边 叫 概念 做棱台的侧棱;底面与 侧面 的公共顶点叫做棱台的 顶点

第一章

1.1

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图形

表示 用表示底面各顶点的 字母 表示棱台,如上图 法 中的棱台可记为棱台 ABCD-A′B′C′D′ 按底面多边形的 边数 分为三棱台、四棱台、 五棱台??

分类

第一章

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[破疑点]判断几何体是不是棱台,就是看它是否符合棱台 的定义,其中关键的一点就是各条侧棱延长后必须交于一 点.棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫 做棱台.所以把一个棱台的各条侧棱延长后就会还原为原来 的棱锥,即交于一点.同时,这里必须注意的一个词是“平 行于底面的平面”,否则,虽然各侧棱延长交于一点,但也 不是棱台.

第一章

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下面四个几何体中,是棱台的为(

)

[答案] C

第一章

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[解析]

A项中的几何体是棱柱;B项中的几何体是棱

锥;D项中的几何体的棱AA′,BB′,CC′,DD′没有交 于一点,则D项中的几何体不是棱台;很明显C项中的几何体 是棱台.

第一章

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思路方法技巧

第一章

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命题方向

简单几何体的结构特征

[例1]

判断下列说法是否正确.

(1)棱柱的各个侧面都是平行四边形; (2)一个n(n≥3)棱柱共有2n个顶点; (3)棱柱的两个底面是全等的多边形; (4)如果棱柱有一个侧面是矩形,则其余各侧面也都是 矩形.

第一章

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[分析]

解决这类与棱柱、棱锥、棱台有关的命题真假判

定的问题,其关键在于准确把握它们的结构特征,也就是要 以棱柱、棱锥、棱台概念的本质内涵为依据,以具体实物和 图形为模型来进行判定.

第一章

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[解析]

(1)由棱柱的定义可知,(1)正确;(2)一个n棱柱的

底面是一个n边形,因此每个底面都有n个顶点,两个底面的 顶点数之和即为棱柱的顶点数,即2n个.(3)因为棱柱同一个 侧面内的两条底边平行且相等,所以棱柱的两个底面的对应 边平行且相等,故棱柱的两个底面全等.(4)如果棱柱有一个 侧面是矩形,只能保证侧棱垂直于该侧面的底边,但其余侧 面的侧棱与相应底边不一定垂直,因此其余侧面不一定是矩 形. 故(1)(2)(3)正确,(4)不正确.

第一章

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根据下列关于几何体的描述,说出几何体的名称: (1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六 边形,其他各面都是矩形; (2)由五个面围成,其中一个面是正方形,其他各面都是 有一个公共顶点的全等三角形; (3)由五个面围成,其中上、下两个面是相似三角形,其 余各面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.

第一章

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[分析]

题干中给出了一些几何体的结构特征,根据所描

述的这些几何体的结构特征,结合多面体的定义,进行空间 想象,得出结论.

第一章

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[答案]

(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边

形,其他各面都是矩形,可使相邻两个面的公共边都相互平 行,故该几何体是正六棱柱; (2)该几何体的一个面是正方形,其他各面都是全等的三 角形,并且这些三角形有一个公共顶点,因此该几何体是正 四棱锥;

第一章

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(3)该几何体上、下两个面是相似三角形,其余各面都是 梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点,因此该几何 体是三棱台.

第一章

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命题方向
[例2]

对多面体形状的认识

如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.

第一章

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(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什 么? (2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形 成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱?如果不是,说 明理由.

第一章

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[解析]

(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的

两个面作底面都是平行的,其余各面都是矩形,当然是平行 四边形,并且四条侧棱互相平行. (2)截面BCFE上方部分是棱柱,且是三棱柱BEB1- CFC1,其中△BEB1和△CFC1是底面. 截面BCFE下方部分也是棱柱,且是四棱柱ABEA1- DCFD1,其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.

第一章

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[点评]

根据棱柱的结构特征判断.判断时可首先确定底

面,看是否存在两个互相平行的面,再看侧面和侧棱.

第一章

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(1)观察长方体,共有多少对平行平面?能作为棱柱底面 的有几对? (2)观察螺杆头部模型,有多少对平行的平面?能作为棱 柱底面的有几对?

第一章

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第一章

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[解析]

(1)有三对平行平面,有三对平面可作为棱柱的底

面 . 它 们分 别 为 平面 ABCD 与 平面 A′B′C′D′ 、 平 面 ADD′A′ 与 平 面 BCC′B′ 、 平 面 ABB′A′ 与 平 面 DCC′D′. (2) 平 行 平 面 共 有 四 对 。 即 平 面 ABB′A′ 与 平 面 DEE′D′, 平面 BCC′B′与平面 EFF′E′, 平面 CDD′C′ 与 平 面 FAA′F′ , 平 面 ABCDEF 与 平 面

A′B′C′D′E′F′,但能作为棱柱底面的只有一对,即上、 下两个平行平面.

第一章

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探索延拓创新

第一章

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命题方向
[例 3] 几何体?

空间几何体的平面展开图

如图是三个几何体的侧面展开图, 请问各是什么

第一章

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[解析]

由题目可获取以下主要信息:

(1)都是多面体;(2)①中的折痕是平行线,是棱柱; ②中折痕交于一点,是棱锥; ③中侧面是梯形,是棱台.

第一章

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[解析]

①五棱柱;②五棱锥;③三棱台.

如图所示.

第一章

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规律总结:立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空 间想象能力的好方法,解此类问题可以结合常见几何体的定义 与结构特征,进行空间想象,或亲自动手制作平面展开图进行 实践.

第一章

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1.1.1

纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、 东、南、西、北,如下图 1,现在沿该正方体的一些棱将正方 体剪开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“△” 的面的方位是( A.南 ) B.北 C.西 D.下

第一章

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第一章

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[解析]

将所给图形还原为正方体,如图 2 所示,最上面

为△,最左面为东,最里面为上,将正方体旋转后让左面向东, 让“上”面向上可知“△”的方位为北.

[答案] B

第一章

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名师辨误做答

第一章

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易错点 [例 5]

对简单的几何概念理解不透 如下图所示,下列几何体中哪些是棱柱?

[错解]

②③④⑥

第一章

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[错因分析] 判断一个几何体是何种几何体,一定要紧扣 柱、锥、台、球的结构特征,注意定义中的关键字句.

[正解] ①③

第一章

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课堂基础巩固

第一章

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1.棱柱的侧棱( A.相交于一点 B.平行但不相等 C.平行且相等

)

D.可能平行也可能相交于一点

[答案] C

第一章

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2.八棱锥的侧面个数是( A.8 C.10 B.9 D.11

)

[答案] A

第一章

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3.棱台不一定具有的性质是( A.两底面相似 C.侧棱都相等

)

B.侧面都是梯形 D.侧棱延长后都交于一点

[答案] C

第一章

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4.有两个面平行的多面体不可能是( A.棱柱 C.棱台 B.棱锥 D.长方体

)

[答案] B

第一章

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[解析]

棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平

行,所以不可能是棱锥.

第一章

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5.下列说法中正确的是( A.所有的棱柱都有一个底面 B.棱柱的顶点至少有6个 C.棱柱的侧棱至少有4条 D.棱柱的棱至少有4条

)

[答案] B

第一章

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[解析]

棱柱有两个底面,所以A项不正确;棱柱底面的

边数至少是3,则在棱柱中,三棱柱的顶点数至少是6,三棱 柱的侧棱数至少是3,三棱柱的棱数至少是9,所以C、D项不 正确,B项正确.

第一章

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1.1.1

6.观察下图中各种物体的形状,指出它们的类型.

第一章

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第一章

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[解析]

利用柱、锥、台、球的定义去分类.

圆柱体为(1)(8);棱柱体为(2)(5)(7)(9);圆锥体为(3)(6); 棱锥体为(14)(15);圆台体为(4)(10);棱台体为(13)(16);球体 为(11)(12).

第一章

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[点拨]

解决这类简单几何类型的判定问题,首先要准确

把握它们的结构特征,其次要注意掌握这些几何体的分类, 从整体上把握这些几何体,并能把握它们之间的差异.

第一章

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7.判断如图所示的几何体是不是棱台?为什么?

[分析]

观察图形 → 结合棱台的特征 → 判断

第一章

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[解]

①②③都不是棱台,因为①和③都不是由棱锥所截

得的,故①③都不是棱台,虽然②是由棱锥所截得的,但截 面不和底面平行,故不是棱台,只有用平行于棱锥底面的平 面去截棱锥,底面与截面之间的部分才是棱台.

第一章

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