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【教师专用】2015高考数学专题辅导与训练配套课件:专题四 数列.2


第二讲 数列的通项与求和

【主干知识】 1.必记公式 (1)“基本数列”的通项公式:
*). (-1)n ①数列-1,1,-1,1,?的通项公式是an=_____(n∈N *). n ②数列1,2,3,4,?的通项公式是an=__(n∈N *). 2n+1 ③数列3,5,7,9,?的通项公式是an=_____(n∈N *). 2n ④数列2,4,

6,8,?的通项公式是an=___(n∈N

*). 2n-1 ⑤数列1,2,4,8,?的通项公式是an=____(n∈N *). n2 ⑥数列1,4,9,16,?的通项公式是an=__(n∈N

*). ⑦数列1,3,6,10,?的通项公式是an=______(n∈N 2

n ? n ? 1?

1 *). ⑧数列 1 , 1 , 1 , 1 ,?的通项公式是an=___(n∈N n 1 2 3 4

? 2 ? 常用的拆项公式(其中n ? N*):
① ② 1 n ? n ? 1?
1 1 ? n n ?1 . ? __________

1 1 1 1 ? ( ? ). n ?n ? k? k n n ? k 1
1 1 1 ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 1 . ? __________________



? 2n ? 1?? 2n ? 1?

④若等差数列?a n ?的公差为d, 则 ⑤ ⑥ 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ); ? ( ? ). a n a n ?1 d a n a n ?1 a n a n ? 2 2d a n a n ? 2 1 1 1 1 ? [ ? ]. n ? n ? 1?? n ? 2 ? 2 n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 ? n ? 1 ? n.

n ? n ?1 1 1 ⑦ ? ( n ? k ? n ). n ? n?k k ⑧n n! ? ? n ? 1?!? n!.

2.易错提醒 (1)裂项求和的系数出错:裂项时,把系数写成它的倒数或 者忘记系数致错.
?S1 ,n ? 1, (2)忽略验证第一项致误:利用 a n ? ? 求通项,忽 ?Sn ? Sn ?1 ,n ? 2

略n≥2的限定,忘记第一项单独求解与检验. (3)求错项数致误:错位相减法求和时,相减后总项数为n+1, 易错并且还易漏掉减数式的最后一项.

【考题回顾】
1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设首项为1,公比为 2 的等比数列
3

{an}的前n项和为Sn,则
A.Sn=2an-1

(

)

B.Sn=3an-2

C.Sn=4-3an

D.Sn=3-2an
3

【解析】选D.因为等比数列的首项为1,公比为 2 ,
2 1? an a ?a q 3 , 所以S =3-2a . Sn ? 1 n ? n n 2 1? q 1? 3

2.(2014·绍兴模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 a3+a8=13,S7=35,则a7= ( A.8 B.9 C.10 ) D.11

?2a1 ? 9d ? 13, ?a1 ? 2, 【解析】选A.由已知条件可得, ? 解得 ? ? 7(2a1 ? 6d) ? 35, ?d ? 1, ? 2 ? 所以a =a +6d=2+6×1=8.
7 1

3.(2014·杭州模拟)已知数列{an}为等差数列,a1=1,公差 d≠0,a1,a2,a5成等比数列,则a2014的值为 ( A.4023 B.4025 C.4027 )

D.4029

【解析】选C.a 2 =a1·a5?(1+d)2=1·(1+4d),得d=2, 2 所以a2014=1+2013×2=4027,故选C.

4.(2014·湖州模拟)已知等差数列{an}的前n项和是Sn,若a1>0, 且a1+9a6=0,则Sn取最大值时n为 A.11 B.10 C.6 ( D.5 )

【解析】选D.因为a1>0, a1+9a6=a1+a6+8a6 =a2+a5+8a6 =a2+a6+a5+7a6 =2a4+a5+7a6 =2(a4+a6)+a5+5a6 =5(a5+a6)=0, 所以a5>0,a6<0, 即前5项和最大.

5.(2014·银川模拟)某音乐酒吧的霓虹灯是用?∮?三个不同
音符组成的一个含n+1(n∈N*)个音符的音符串,要求由音符?

开始,相邻两个音符不能相同.例如n=1时,排出的音符串是?∮,
??;n=2时排出的音符串是?∮?,?∮?,???,??∮,?,记这种含

n+1个音符的所有音符串中,排在最后一个的音符仍是?的音
符串的个数为an,故a1=0,a2=2.则(1)a4= (2)an= . ;

【解析】a1=0,a2=2=21-a1, a3=2=22-a2,a4=6=23-a3;a5=10=24-a4, 所以an=2n-1-an-1,所以an-1=2n-2-an-2, 两式相减得:an-an-2=2n-2,

当n为奇数时,利用累加法得an-a1

=21+23+?+2n-2=

2n ? 2 , 3

n 2 所以an= ? 2 ,同理,当n为偶数时,利用累加法得an-a2 3 n 2 ?4 , 2 4 n-2 =2 +2 +?+2 = 3 n 2n ? 2 ? ?1? 2n ? 2 所以an= ,综上所述an= . 3 3 n 2n ? 2 ? ?1? 答案:(1)6 (2) 3

热点考向一
【考情快报】

求数列的通项公式

难度:中档题

命题指数:★★★

题型:在客观题、解答题中都会出现 考查方式:考查等差、等比数列的基本量的求解,考查an与Sn的

关系,递推关系等,体现方程思想、整体思想、化归与转化思想
的应用

【典题1】(1)(2014·衢州模拟)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+
ln (1 ? 1 ) ,则an=
n

(

)

A.2+lnn
C.2+nlnn

B.2+(n-1)lnn
D.1+n+lnn

(2)(2014·浙江五校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,
2,n ? 1,. 且S n= ? ? ?2a n,n ? 2

①求an. ②设bn=

Sn ? 1 ,求数列{bn}的前n项和Tn. ?Sn ? log 2 Sn ??Sn ?1 ? log 2 Sn ?1 ?

【信息联想】(1)看到an+1=an+ln (1 ? 1 ) ,即an+1-an=ln(n+1)
n

累加或累乘 -ln n,想到___________.
?S1 ,n ? 1, an ? ? (2)看到前n项和形式,想到_________________. ?Sn ? Sn ?1 ,n ? 2

【规范解答】(1)选A.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+?+ln2-ln1+2=2+lnn. (2)①当n≥2时,Sn=2an=2(Sn-Sn-1),Sn=2Sn-1,S1=2, 所以Sn =2n,所以a
n=

, ?2,n ? 1 ? n ?1 ?2 ,n ? 2.

2n ? 1 1 1 ②b n ? n ? ? , n n ?1 n ?1 ? 2 ? n ?? 2 ? n ? 1? 2 ? n 2 ? n ? 1 Tn ? b1 ? b 2 ??? b n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 ? ? n ?1 . 2 ?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? n 2 ? n ?1 3 2 ? n ?1

【互动探究】题(1)条件变化为:已知数列{an}中,a1=1, 2nan+1=(n+1)an,求数列{an}的通项公式. 【解析】已知条件可化为 a n ?1 ? n ? 1 ,
an 2n
所以a n ? a n a n ?1 a n ?2 a ? 2 a1 a n ?1 a n ?2 a n ?3 a1

n n ?1 n?2 2 n ? ? 1 ? n ?1 . 2(n ? 1) 2(n ? 2) 2(n ? 3) 21 2

【规律方法】求通项的常用方法 (1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用 归纳猜想法.
?S1 , n ? 1, (2)已知Sn与an的关系,利用an= ? 求 a n. ?Sn ? Sn ?1 , n ? 2

(3)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列{f(n)}前 n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加 法). (4)累乘法:数列递推关系如an+1=g(n)an,其中数列{g(n)}前n项 积可求,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).

(5)构造法:①递推关系形如an+1=pan+q(p,q为常数)可化为 an+1+ q
p ?1
q =p(an+ q )(p≠1)的形式,利用 {a n ? } 是以p为

p ?1

p ?1

公比的等比数列求解. ②递推关系形如an+1= pa n (p为非零常数)可化为 1 ? 1 ? 1
an ? p

a n ?1

an

p

的形式.

【变式训练】1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn, 且
a5 Sn 2n ? ,则 =( Tn 3n ? 1 b5



2 5 9 5 A. ????????????B. ????????????C. ????????????D. 3 8 14 14

【解析】选C.设等差数列{an}和{bn}的公差分别是d1,d2,
a 5 a1 ? 4d1 Sn 2a1 ? ? n ? 1? d1 因为 ? , ? , b5 b1 ? 4d 2 Tn 2b1 ? ? n ? 1? d 2 显然 a 5 2a1 ? 8d1 S9 2?9 9 ? ? ? ? . b5 2b1 ? 8d 2 T9 3 ? 9 ? 1 14

2.已知数列{an}满足a1=4,a2=2,a3=1,又{an+1-an}成等差数列
(n∈N*),则an等于 .

【解析】由已知,{an+1-an}是首项为-2,公差为1的等差数列, an+1-an=-2+(n-1)=n-3, an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1
2 n = ? 7n ? 14 . 2 2 n ? 7n ? 14 答案: 2

【加固训练】1.(2014·杭州模拟)等差数列{an}中,a1= 2 013,前n项和为Sn, S12 ? S10 =-2,则S2
12 10
015的值为_____.

【解析】设等差数列{an}的公差为d,
则 Sn ? d n ? a 1 ? d ,
n 2 2

所以{Sn } 是首项为2 013,公差为-1的等差数列,
Sn =2 013+(n-1)(-1)=2 014-n, n n

S2

015=-2

015.

答案:-2 015

2.已知数列{an}和{bn}满足:a1=1,a2=2,an>0,bn= a n a n ?1(n∈N*) 且{bn}是以q为公比的等比数列. (1)证明:an+2=anq2. (2)若cn=a2n-1+2a2n,证明数列{cn}是等比数列.

【证明】(1)由 b n ?1 =q,
bn



a n ?1a n ?2 a n a n ?1

?

a n ?2 an

? q,

所以an+2=anq2(n∈N*).

(2)因为an=an-2q2,所以a2n-1=a2n-3q2=?=a1q2n-2,
a2n=a2n-2q2=?=a2q2n-2,

所以cn=a2n-1+2a2n=a1q2n-2+2a2q2n-2
=(a1+2a2)q2n-2=5q2n-2.

所以{cn}是首项为5,以q2为公比的等比数列.

热点考向二
【考情快报】

求数列的前n项和
高频考向 多维探究 命题指数:★★★

难度:中档题

题型:客观题、解答题都可能出现 考查方式:主要考查等差、等比数列前n项和公式以及其他求 和方法,尤其是错位相减法及裂项相消法是高考的热点内容, 常与通项公式相结合考查,有时也与函数、方程等知识综合命 题

命题角度一

基本数列求和、分组求和

【典题2】(2014·杭州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),
数列{a2n-1}是首项为1的等差数列,数列{a2n}是首项为2的等比

数列,且满足S3=a4,a3+a5=a4+2.
(1)求数列{an}的通项公式. (2)求S2n.

【信息联想】(1)看到数列{a2n-1}是等差数列、{a2n}是等比

等差、等比数列的通项公式 数列,想到_________________________.
等差、等比数列前n项和分组求和 (2)看到求S2n,想到______________________________.

【规范解答】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,

则a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a5=1+2d,
?4+d=2q, 所以 ? ?(1+d)+(1+2d)=2+2q,

解得d=2,q=3.
n, n ? 2k ? 1, ? ? 所以an= ? n ?1 (k∈N*). 2 ? ? 2 3 , n ? 2k

(2)S2n=(a1+a3+?+a2n-1)+(a2+a4+?+a2n) =(1+3+5+?+2n-1)+(2×30+2×31+?+2×3n-1)
n 1 ? 2n ? 1? n 2 ?1 ? 3 ? ? ? ? =n 2 ? 1+3n .

2

1? 3

命题角度二

裂项相消求和

【典题3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=35,a5和a7的等 差中项为13. (1)求an及Sn. (2)令bn=
4 (n∈N*),求数列{b }的前n项和. n a2 ? 1 n

【信息联想】(1)看到等差数列、等差中项,想到等差数列的 基本量、基本公式 _________________. (2)看到bn= 相消求和 _________.
4 裂项 的结构,求数列{bn}的前n项和,想到_____ 2 an ?1

【规范解答】(1)设等差数列的公差为d, 因为S5=5a3=35,a5+a7=26, 所以 ? ?
a1 ? 2d ? 7, ?2a1 ? 10d ? 26,

解得a1=3,d=2, 所以an=3+2(n-1)=2n+1(n∈N*), Sn=3n+
n ? n ? 1? 2

×2=n2+2n(n∈N*).

(2)由(1)知an=2n+1, 所以bn=
4 1 1 1 ? ? ? , 2 a n ? 1 n ? n ? 1? n n ? 1
1 1 1 1 1 1 n (1 ? )+( ? )+?+( ? )= 1? = . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

所以数列{bn}的前n项和Tn=

命题角度三

错位相减求和

【典题4】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且 S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 { b n } 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n
an

项和Tn.

【现场答案】

【纠错析因】找出以上答案的错误之处,分析错因,并给出正确 答案. 提示:以上解题过程中出错之处是①-②后所得式子最后一项的 符号写错,应是减号,从而导致结果出错.

【规范解答】(1)依题意得
3? 2 4?5 ? 3a ? d ? 5a ? d ? 50, 1 ? 1 2 2 ? ?? a ? 3d ?2 ? a ? a ? 12d ? , 1 1 ? 1 ?a1 ? 3, 解得 ? ?d ? 2,

所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即an=2n+1(n∈N*).

(2) b n =3n-1,
an

bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1, Tn=3+5×3+7×32+?+(2n+1)·3n-1 ① 3Tn=3×3+5×32+7×33+?+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n ② ①-②得

-2Tn=3+2×3+2×32+?+2·3n-1-(2n+1)3n
=3+2·
3 ?1 ? 3n ?1 ? 1? 3

-(2n+1)3n=-2n·3n,

所以Tn=n·3n(n∈N*).

【规律方法】 1.分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组. (2)根据正号、负号分组. (3)根据数列的周期性分组. 2.裂项后相消的规律 (1)裂项系数取决于前后两项分母的差. (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.

3.错位相减法的关注点

(1)适用题型:等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项
({an·bn})”型数列求和.

(2)步骤:
①求和时先乘以数列{bn}的公比. ②把两个和的形式错位相减. ③整理结果形式.

【变式训练】(2014·山东高考)在等差数列{an}中,已知 d=2,a2是a1与a4的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn ? a n? n ?1? , 记Tn=-b1+b2-b3+?+(-1)nbn,求Tn.
2

【解析】(1)由题意知:{an}为等差数列,设an=a1+(n-1)d,

因为a2为a1与a4的等比中项,所以a22=a1×a4且a1≠0,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),

因为d=2解得a1=2,
所以an=2+(n-1)×2=2n.

(2)由(1)知:an=2n, bn ? a n? n ?1? ? n ? n ? 1?,
2

①当n为偶数时: Tn=-(1×2)+(2×3)-(3×4)+?+n(n+1)

=2(-1+3)+4(-3+5)+?+n[-(n-1)+(n+1)]
=2×2+4×2+6×2+?+n×2

=2×(2+4+6+?+n)= 2 ?

(2 ? n)

n 2 2 ? n ? 2n . 2 2

②当n为奇数时: Tn=-(1×2)+(2×3)-(3×4)+?-n(n+1) =2(-1+3)+4(-3+5)+?+

(n-1)[-(n-2)+n]-n(n+1)
=2×2+4×2+6×2+?+(n-1)×2-n(n+1)

=2×[2+4+6+?+(n-1)]-n(n+1)
n ?1 (2 ? n ? 1) 2 n ? 2n ? 1 2 = 2? ? n(n ? 1) ? ? 2 2

? n 2 ? 2n ? 1 ? ,n为奇数, ? 2 综上:Tn ? ? ? 2 ? n ? 2n , n为偶数. ? ? 2

【加固训练】1.(2014·邯郸模拟)若数列{an}的前n项和Sn满 足2Sn=3an-1(n∈N*),等差数列{bn}满足b1=3a1,b3=S2+3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)设cn= b n
3a n

,求数列{cn}的前n项和Tn.

【解析】(1)当n=1时,2S1=3a1-1,所以a1=1. 当n≥2时,2an=2Sn-2Sn-1=(3an-1)-(3an-1-1), 即 an
a n ?1

=3,

所以数列{an}是以a1=1为首项,3为公比的等比数列, 所以an=3n-1(n∈N*). 设{bn}的公差为d,b1=3a1=3, b3=S2+3=7=2d+3,d=2, 所以bn=3+(n-1)×2=2n+1.

2n ? 1 , n 3 3 5 7 2n ? 1 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ??? n ① 3 3 3 3 1 3 5 7 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ??? n ?1 ② 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2n ? 1 由① ? ②得, Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ??? n ? n ?1 , 3 3 3 3 3 3 n?2 Tn ? 2 ? n . 3

? 2 ? cn ?

2.(2014·福州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1;等比数 列{bn}中,b1=1.若a3+S3=14,b2S2=12. (1)求an与bn. (2)设cn=an+2bn(n∈N*),数列{cn}的前n项和为Tn.若对一切 n∈N*不等式Tn≥λ恒成立,求λ的最大值.

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比 为q, 则an=1+(n-1)d,bn=qn-1,
? ??1 ? 2d ? ? ? 3 ? 3d ? ? 14, 由题意得: ? ? ?q ? 2 ? d ? ? 12, d ? 2, n-1. 解得 ? 所以 a =2n-1,b =3 ? n n q ? 3 , ?

(2)因为Tn=c1+c2+c3+?+cn=(a1+a2+a3+?+an)+2(b1+b2+b3+?+bn)
=(1+3+5+?+2n-1)+2(1+3+32+?+3n-1)

=n2+3n-1.
因为{Tn}是递增数列,

所以Tn的最小值为T1=3,
又因为Tn≥λ恒成立,所以λ≤3,

故所求λ的的最大值为3.

分类讨论思想 ——解决数列中的求通项、求和问题 【思想诠释】 数列求通项与求和问题中应用分类讨论思想的常见类型: 1.求通项:利用an,Sn的关系求通项,或者数列分奇、偶项规律 不一致等,通常要分类讨论.

2.数列求和:涉及等比数列时,公比q的取值对求和公式的形式 有决定作用,注意分类讨论;如果涉及的不是一个基本数列,更 可能要分类讨论,如奇、偶项通项不一致等.

【典例分析】 【典题】(2014·盐城模拟)已知数列{an}满足a1=x,a2=3x, Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2,n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和. (1)若数列{an}为等差数列,数列{bn}满足bn= 2 a ?1 ,数列{cn}满
n

足cn=t2bn+2-tbn+1-bn,试比较数列{bn}前n项和Bn与{cn}前n项和 Cn的大小. (2)若对任意n∈N*,an<an+1恒成立,求实数x的取值范围.

【思想联想】(1)Bn,Cn比较大小,含有字母t,联想到分类讨论 思想,讨论t的取值来比较大小. (2)看到Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2,n∈N*),an<an+1,联想到分类讨 论思想,讨论n的取值求解.

【规范解答】

【能力迁移】 (2014·北京模拟)数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+22an+1+an=0. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求Sn.

【思想联想】题目涉及绝对值问题,需要确定变号项,求和需 要根据符号的变化,依据分类讨论思想求解.

【解析】(1)an+2-2an+1+an=0, 所以an+2-an+1=an+1-an, 所以{an+1-an}为常数列, 所以{an}是以a1为首项的等差数列, 设an=a1+(n-1)d, a4=a1+3d, 所以d= 2 ? 8 =-2,
3

所以an=10-2n.

(2)因为an=10-2n, 令an=0,得n=5. 当n>5时,an<0; 当n=5时,an=0; 当n<5时,an>0. 所以当n>5时, Sn=|a1|+|a2|+?+|an|=a1+a2+?+a5-(a6+a7+?+an) =T5-(Tn-T5)=2T5-Tn, Tn=a1+a2+?+an,

当n≤5时, Sn=|a1|+|a2|+?+|an| =a1+a2+?+an=Tn.
2 ? 9n ? n ? n ? 5? , 所以 Sn ? ? ? 2 ? ?n ? 9n ? 40 ? n ? 5 ? .


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