nbhkdz.com冰点文库

二项分布及其应用

时间:2015-05-27


同步课程˙二项分布及其应用

二项分布及其应用
知识回顾
1. 什么是条件概率? 对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概率 2. 什么是相互独立事件? 如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,即 P( B | A) ? P( B) , 这时,我们称两个事件 A , B 相互独立 3. n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率是什么?
k n?k (k ? 0, 1, 2, Pn (k ) ? Ck n p (1 ? p)

, n)



4. 二项分布的期望与方差分别是什么? 若离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布,则 E ( X ) ? np , D( x) ? npq (q ? 1 ? p )

知识讲解
一、 条件概率
1.条件概率的定义: 对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概率,用符 号“ P ( B | A) ”来表示. 2.条件概率公式: P ? B A? ?
P? A P ? A? B?

A 其中 P ? A? ? 0 ,

B 称为事件 A 与 B 的积或交(或积) .

把由事件 A 与 B 的交(或积) ,记做 D ? A 3.条件概率的求法:

B (或 D ? AB ) .

(1)利用定义,分别求出 P ? A? 和 P ? B A? ,得 P ? B A? ?

P? A

P ? A?

B?


B? ,得

( 2 )借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数,即 n ? A? 再求事件 n ? A
P ? B A? ? n? A n ? A? B?



二、

事件的独立性

如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,即 P( B | A) ? P( B) , 这时,我们称两个事件 A , B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件. 如果事件 A1 , A2 ,…, An 相互独立,那么这 n 个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的 积,即 P( A1 A2 等式仍成立.
An ) ? P( A1 ) ? P ( A2 ) ? ? P (An ) ,并且上式中任意多个事件 Ai 换成其对立事件后

1 / 11

同步课程˙二项分布及其应用

三、

独立重复试验与二项分布

1.独立重复试验 如果每次试验,只考虑有两个可能的结果 A 及 A ,并且事件 A 发生的概率相同.在相同的条件 下,重复地做 n 次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为 n 次独立重复试验. k n?k (k ? 0, 1, 2, , n) . n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn (k ) ? Ck n p (1 ? p) 2.二项分布 若将事件 A 发生的次数设为 X , 事件 A 不发生的概率为 q ? 1 ? p , 那么在 n 次独立重复试验中,
k n?k 事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P( X ? k ) ? Ck ,其中 k ? 0, 1, 2, n p q 于是得到 X 的分布列

, n.

X
P

0
0 n C0 n p q

1
1 n ?1 C1 n p q

… …

k
k n?k Ck n p q

… …

n
n 0 Cn n p q

0 n 1 1 n ?1 k n 0 由于表中的第二行恰好是二项展开式 (q ? p)n ? C0 ? ? Cn pk qn?k ? Cn n p q ? Cn p q n p q 各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布,记作 X ~ B(n , p) .

题型一、条件概率 【例1】 把一枚硬币抛掷两次,事件 A ? “第一次出现正面”,事件 B ? “第二次出现反面”, 则 P( B A) ? _____ .

【练一练】 抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,则第二次掷得向上一面 点数也是偶数的概率为 【例2】 .

抛掷甲、乙两枚骰子,若事件 A :“甲骰子的点数小于 3”,事件 B :“甲、乙两枚骰子的点数 之和等于 6”,则 1 A. 3

P ? B A?
1 B. 18

的值等于( 1 C. 6

) 1 D. 9

【例3】 掷两枚均匀的骰子,记 A ? “点数不同”, B ? “至少有一个是 6 点”,求 P ( A | B ) 与 P ( B | A) .

【例4】

一张储蓄卡的密码共位数字,每位数字都可从 0~9 中任选一个.某人在银行自动提款机上 取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求: (1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;
2 / 11

同步课程˙二项分布及其应用 (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.

【例5】 一袋中装有 10 个球,其中 3 个黑球,7 个白球,先后两次从袋中各取一球(不放回) (1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率; (2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率; (3)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的是白球的概率.

【例6】 设有来自三个地区的各 10 名、 15 名和 25 名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份, (1)求先抽到的一份是女生表的概率 p . (2)己知后抽到的一份是男生表,求先抽到的是女生的概率 q .
3 / 11

同步课程˙二项分布及其应用

【例7】 有两箱同类零件,第一箱内装 50 件,其中 10 件是一等品;第二箱内装 30 件,其中 18 件是 一等品.现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放 回) ,试求: (1)先取出的零件是一等品的概率; (2)在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率. (保留三位有效 数字)

题型二、独立重复实验 【例8】 在一段时间内,甲去某地的概率是 1 ,乙去此地的概率是 1 ,假定两人的行动相互之间没有 5 4 影响,那么在这段时间内至少有 1 人去此地的概率是( )
4 / 11

3 A. 20

1 B. 5

2 C. 5

同步课程˙二项分布及其应用 9 D. 20

【例9】 在某段时间内,甲地不下雨的概率为 0.3 ,乙地不下雨的概率为 0.4 ,假设在这段时间内两地 是否下雨相互无影响,则这段时间内两地都下雨的概率是 ( A.0.12 B.0.88 C.0.28 ) D.0.42

【例10】 甲乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 p ,乙解决这个问题的概率是 p ,那 1 2 么恰好有 1 人解决这个问题的概率是( A. p1 p2 ) C. 1 ? p1 p2 D. 1 ? ?1 ? p1 ??1 ? p2 ? B. p1 ?1 ? p2 ? ? p2 ?1 ? p1 ?

【例11】 从甲口袋摸出一个红球的概率是 1 ,从乙口袋中摸出一个红球的概率是 1 ,则 2 是( 3 2 3 A. 2 个球不都是红球的概率 C.至少有一个红球的概率 B. 2 个球都是红球的概率 D. 2 个球中恰好有 1 个红球的概率



【例12】 一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F 为 6 个开关,其闭合的概率都是 1 ,且是相互独立 2 ) 的,则灯亮的概率是(

1 A. 64

55 B. 64

C.

1 8

1 D. 16

【例13】 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为 1 ,乙每次投中的概率为 1 ,

3
每人分别进行三次投篮. (Ⅰ)记甲投中的次数为ξ ,求ξ 的分布列; (Ⅱ)求乙至多投中 2 次的概率;
5 / 11

2

同步课程˙二项分布及其应用 (Ⅲ)求乙恰好比甲多投进 2 次的概率. 【来源】 (2012 石景山一模理 16)

【例14】 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 1 次,甲射中的概率为 0.8 ,乙射中的概率为 0.9 ,求: (1) 2 人都射中的概率? (2) 2 人中有 1 人射中的概率? (3) 2 人至少有 1 人射中的概率? (4) 2 人至多有 1 人射中的概率?

【练一练】 纺织厂某车间内有三台机器,这三台机器在一天内不需工人维护的概率:第一台为 0.9 ,
第二台为 0.8 ,第三台为 0.85 ,问一天内: (1) 3 台机器都要维护的概率是多少? (2) 其中恰有一台要维护的概率是多少? (3) 至少一台需要维护的概率是多少?

6 / 11

同步课程˙二项分布及其应用

【例15】 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题, 即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问题的回 答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于________.

【例16】 A 、 B 两篮球队进行比赛,规定若一队胜 4 场则此队获胜且比赛结束(七局四胜制) , A、B 两队在每场比赛中获胜的概率均为 1 , X 为比赛需要的场数,求 X 的分布列及比赛至少要进

2
行 6 场的概率.

【例17】 一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯 的事件是相互独立的,并且概率都是 1 .

3 ? (1)设 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 ? 的分布列;

(2)设 ? 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 ? 的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
7 / 11

同步课程˙二项分布及其应用

随堂练习
【练1】 甲、 乙两地都位于长江下游, 根据天气预报的纪录知, 一年中下雨天甲市占 20%, 乙市占 18%, 两市同时下雨占 12%.则在甲市为雨天的条件下,乙市也为雨天的概率为( A. 0, 6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.66 )

【练2】 在 10 个球中有 6 个红球,4 个白球(各不相同),不放回的依次摸出 2 个球,在第 1 次摸出 红球的条件下,第 2 次也摸出红球的概率是(
8 / 11



3 A. 5

2 B. 3

同步课程˙二项分布及其应用 5 1 C. D. 9 3

【练3】 袋中装有 2 n ? 1 个白球, 2n 个黑球,一次取出 n 个球,发现都是同一种颜色的,问这种颜色是 黑色的概率是多少?

【练4】 从甲口袋内摸出 1 个白球的概率是 1 ,从乙口袋内摸出 1 个白球的概率是 1 ,从两个口袋内 3 2 各摸出 1 个球,那么 5 等于( )

6

A.2 个球都是白球的概率 C.2 个球不都是白球的概率

B.2 个球都不是白球的概率 D.2 个球中恰好有 1 个是白球的概率

【练5】 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或 向右,并且向上、向右移动的概率都是 1 .质点 P 移动五次后位于点 2,3 的概率是( )

?

?

2
?1? A. ? ? ?2?
3

?1? B. C ? ? ?2?
2 5

5

?1? C. C ? ? ?2?
3 5

3

2 3?1? ? D. C5 C5 ? ?2?

5

9 / 11

同步课程˙二项分布及其应用 【练6】 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局 中,甲获胜的概率为 0.6 ,乙获胜的概率为 0.4 ,各局比赛结果相互独立.已知前 2 局中,甲、 乙各胜 1 局. (1) 求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (2) 求甲获得这次比赛胜利的概率.

【练7】 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工 程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 1 , 1 , 1 .现有 3 名工人独立地从中任选 2 3 6 一个项目参与建设.求: (1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2) 至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率.

课后作业
【题1】 某地区气象台统计,该地区下雨的概率是 4 ,刮风的概率是 2 ,既刮风又下雨的概率是 1 ,

15
设 A ? “刮风”, B ? “下雨”,求

15


10

P(B A) , P( A B)

10 / 11

同步课程˙二项分布及其应用

【题2】 国庆节放假,甲去北京旅游的概率为3,乙、丙去北京旅游的概率分别为4,5.假定三人的行

1

1

1

动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( A.



59 60

B.

3 5

C.

1 2

D.

1 60

【题3】 已知加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为70、69、68,且各

1

1

1

道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________.

【题4】 袋子里有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球,今从袋子里随机取球.

(1) 若有放回地取 3 次,每次取 1 个球,求取出 1 个红球 2 个黑球的概率; (2) 若无放回地取 3 次,每次取 1 个球, ①求在前 2 次都取出红球的条件下,第 3 次取出黑球的概率; ②求取出的红球数 X 的分布列.

【题5】 某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘

汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 4 、 3 、 2 、 1 ,且各轮 5 5 5 5 问题能否正确回答互不影响. (1) 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (2) 求该选手至多进入第三轮考核的概率.

11 / 11


赞助商链接

二项分布及其应用(教案)

二项分布及其应用(教案)_数学_高中教育_教育专区。二项分布及其应用 20130513 一、教材分析 互相独立事件、n 次独立重复试验的概率及二项分布是高考重点考察的内容...

专题:二项分布及其应用

专题:二项分布及其应用 1. 条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件 概率,用符号 P(B|A)来...

《二项分布及其应用》教案

个性化教案 二项分布及其应用适用学科 适用区域 知识点 考情分析 教学重点 教学难点数学 新课标 二项分布 正态曲线及其特点 本节内容主要以解答题的形式与分布列...

二项分布及其应用

二项分布及其应用 - 学案 67 二项分布及其应用 导学目标: 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解 n 次独立重复试验的模型 及二项分布.3.能解决一些...

2.2二项分布及其应用

2.2 二项分布及其应用学校:宁阳复圣中学 制作:宁尚臣 班级: 姓名:学习目标: 理解两个事件相互独立的概念,能进行一些与事件独立有关的概率的计算;理解 n 次独...

二项分布及其应用

2.2 二项分布及其应用一、课前自主预习 1.条件概率的定义与性质 (1)定义:一般地,设 A、B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A) = 为在事件 A 发生的...

二项分布及其应用

二项分布及其应用_数学_高中教育_教育专区。同步课程˙二项分布及其应用 二项分布及其应用知识回顾 1. 什么是条件概率? 对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件 ...

二项分布及其应用

学案67 二项分布及其应用 导学目标: 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解 n 次独立重复试验的模 型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题. 自主...

二项分布及其应用

二项分布及其应用_数学_高中教育_教育专区。个性化教案 二项分布及其应用适用学科 适用区域 知识点数学 新课标地区 条件概率的概念与性质 条件概率的求法 独立事件 ...

二项分布及其应用

2.2 二项分布及其应用(2... 3页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...