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高考文科数学:立体几何三视图问题分类解答


高考文科数学:三视图问题分类解答
例 1、概念问题 1、下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 . (填序号)

①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

2、 如图,折线 ABC 表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝,请把它的三视图补充完整.

r />B

C

A

正视图

左视图

俯视图

3 、已知某个几何体的三视图如下图所示,试根据图中所标出的尺寸(单位:㎝) ,可得这个几何体 的体积是 .
10 20 10 20 正视图 20 左视图 20 俯视图

4、已知某个几何体的三视图如下图所示,试根据图中所标出的尺寸(单位:㎝) ,可得这个几何体的 面积是 .
3 2 3
正视图

2 2

左视图

2
俯视图

例 2、图形判定问题
1

1、一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( D A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 D



2、某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是(



4、某几何体的正视图如左图所示,则该几何体的俯视图不可能的是( C )

5、在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如左图,则相应的侧视图可以为( D



A

B

C

D

6、 一个简单几何 体的正视图、侧

第 5 题图

视图如图所示,则其俯视图不可能为 B

①长方形;②正方形;③圆;④椭圆. 其中正确的是 (A)①② (B) ②③ (C)③④ (D) ①④ 例 3、三视图和几何体的体积相结合的问题 1、下图是一个 几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,侧视图是直角边长分别为 1与

3 的直角三角形,俯视图是半径为 1的半圆,则该几何体的体积等于

2

3 ? (A) 6

3 ? (B) 3

4 3 ? (C) 3

1 ? (D) 2

答案:A 2、一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形,该四棱锥的体积等于 B. 2 3 C. 3 3 D. 6 3 A A. 3

3、设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A . 9? ? 42

?? 1 8C . B. 36

9 ? ? 12 2

9 D. ? ? 18 2 4 3 3 9 ( )+3 ? 3 ? 2= ? ? 18 。 其体积 V ? ? 3 2 2

答案:D

4、如图是一个几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆, 则该几何体的体积是( B )

4 3 ? A. 3

6 3 ? B. 6

1 ? C. 2

D.

3 ? 3

例 4、三视图和几何体的 表面积相结合 1、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_____38___ 。

3

2、一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形. 则该几何体的表面积为( A ) A.88 B.98 C.108 D.158

3、一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

C )

(A) 48

(B)32+8 ??

(C) 48+8 ??

(D) 80

【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2, 1 下底为 4,高为 4,两底面积和为 2 ? ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 24 ,四个侧面的面积为 2
4 4 ? 2 ? 2 17 ? 24 ? 8 17 ,所以几何体的表面积为 48 ? 8 17 .故选 C.

?

?

5、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积 等于 ( D ...

)
4

A. 3

B.2

C. 2 3

D.6

6、如图,一个空间几何体的主视图、左视图都是边长为 1 且一个内角为 60°的菱形,俯视图是圆, 那么这个几何体的表面积为 ( A )

A. ?

B. 2?

C. 3?

D. 4?

答案:A
D

例 5、综合问题 1.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的 直观图与三视图的侧视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三 角形,有关数据如图所示. (Ⅰ)求出该几何体的体积。 (Ⅱ)若 N 是 BC 的中点,求证: AN // 平面 CME ; (Ⅲ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD .

M
E

4
2

C
A

N

B

直观图

侧视图

2 2
俯视图

解:(Ⅰ)由题意可知:四棱锥 B ? ACDE 中, 平面 ABC ? 平面 ACDE , AB ? AC 所以, AB ? 平面 ACDE 又 AC ? AB ? AE ? 2, CD ? 4 ,

1 1 (4 ? 2) ? 2 ?2 ? 4 则四棱锥 B ? ACDE 的体积为: V ? S ACDE ? AB ? ? 3 3 2
5

(Ⅱ)连接 MN ,则 MN // CD, AE // CD,
1 又 MN ? AE ? CD ,所以四边形 ANME 为平行四边形, ? AN // EM ? AN ? 平面 CME , EM ? 平面 2 CME , 所以, AN // 平面 CME ; (Ⅲ)? AC ? AB , N 是 BC 的中点, AN ? BC 又平面 ABC ? 平面 BCD ? AN ? 平面 BCD 由(Ⅱ)知: AN // EM ? EM ? 平面 BCD 又 EM ? 平面 BDE 所以,平面 BDE ? 平面 BCD .

2.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如右图所示,其中主视图、侧视图是直角三角形,俯视图是有一条 对角线的正方形. E 是侧棱 PC 上的动点. (Ⅰ)求证: BD ? AE (Ⅱ)若 E 为 PC 的中点,求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值;

(1)



A











PC ? BC, PC ? DC ? PC ? 面ABCD
? BD ? 面ABCD ? BD ? PC ,又因为 BD ? AC

? BD ? 面PAC, 又? AE ? 面PAC,? BD ? AE.
? 面BED ? 面PAC, (2)连 AC 交 BD 于点 O,连 PO,由(1)知 BD ? 面PAC, 过点E作EH ? PO于H, 则 EH ? 面PBD , ??EBH 为 BE 与平面 PBD 所成的角? EH ?
1 , BE ? 2, 则 3

1 2 sin ?EBH ? 3 ? . 6 2
3.已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等 腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点 在底面 的射影是矩形中心的四棱锥 V-ABCD。 1 (1) V ? ? ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3 (2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角形,
6

且 BC 边上的高为
?8? h1 ? 42 ? ? ? ? 4 2 , ?2?
2 2

另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形,
2

1 1 ?6? AB 边上的高为 h2 ? 4 ? ? ? ? 5 ∴ S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2 ?2?

7


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