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数列测试题(附答案)

时间:2015-05-26


阶段性测试题五(数列)
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) S3 S2 1.(理)(2011· 江西南昌市调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为

Sn,且满足 - =1,则 3 2 数列{an}的公差是( 1 A. 2 [答案] C nn-1 [解析] 设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ d, 2 Sn d ∴{ }是首项为 a1,公差为 的等差数列, n 2 S3 S2 d ∵ - =1,∴ =1,∴d=2. 3 2 2 2. (2011· 辽宁沈阳二中检测, 辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n 1 ∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 log (a5+a7+a9)的值是( 3 A.-5 [答案] A [分析] 根据数列满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*).由对数的运算法则,得出 an+1 与 an 的关系,判断数列的类型,再结合 a2+a4+a6=9 得出 a5+a7+a9 的值. [解析] 由 log3an+1=log3an+1(n∈N*)得,an+1=3an,∵an>0,∴数列{an}是公比等于 3 的等比数列, ∴a5+a7+a9=(a2+a4+a6)× 33=35, 1 ∴log (a5+a7+a9)=-log335=-5. 3 3.(理)(2011· 安徽百校论坛联考)已知 a>0,b>0,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系是( A.ab=AG ) B.ab≥AG 1 B.- 5 C.5 ) 1 D. 5 ) B.1 C.2 D.3

C.ab≤AG [答案] C

D.不能确定

a+b [解析] 由条件知,a+b=2A,ab=G2,∴A= ≥ ab=G>0,∴AG≥G2,即 AG≥ab, 2 故选 C. [点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式,不等式与数列交汇的题目要特别注意等

差(等比)数列的公式及性质的运用. 1 4.(2011· 潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2, a3,a1 成等差 2 a3+a4 数列,则 的值为( a4+a5 1- 5 A. 2 C. 5-1 2 ) 5+1 2 5+1 5-1 或 2 2

B. D.

[答案] C 1 [解析] ∵a2, a3,a1 成等差数列,∴a3=a2+a1, 2 ∵{an}是公比为 q 的等比数列,∴a1q2=a1q+a1,∴q2-q-1=0,∵q>0,∴q= 5-1 . 2

5.(2011· 北京日坛中学月考)已知数列{an}满足 a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2),则 该数列前 2011 项的和 S2011 等于( A.1341 [答案] A [解析] 列举数列各项为:1,1,0,1,1,0,…. ∵2011=3× 670+1,∴S2011=2× 670+1=1341. 6. (理)(2011· 安徽皖南八校联考)设{an}是公比为 q 的等比数列, 令 bn=an+1(n=1,2, …), 若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 q 等于( 4 A.- 3 2 3 C.- 或- 3 2 [答案] C [解析] 集合{-53,-23,19,37,82}中的各元素减去 1 得到集合{-54,-24,18,36,81}, 3 B.- 2 3 4 D.- 或- 4 3 ) B.669 ) C.1340 D.1339

3 2 其中-24,36,-54,81 或 81,-54,36,-24 成等比数列,∴q=- 或- . 2 3 7.(理)(2010· 西南师大附中月考)在等差数列{an}中,其前 n 项和是 Sn,若 S15>0,S16<0, S1 S2 S15 则在 , ,…, 中最大的是( a1 a2 a15 S1 A. a1 [答案] B 16a1+a16 [解析] 由于 S15=15a8>0,S16= =8(a8+a9)<0,所以可得 a8>0,a9<0. 2 S1 S2 S8 S9 S10 S15 这样 >0, >0,…, >0, <0, <0,…, <0,… a1 a2 a8 a9 a10 a15 S1 S2 S15 S8 而 0<S1<S2<…<S8,a1>a2>…>a8>0,所以在 , ,…, 中最大的是 ,故选 B. a1 a2 a15 a8 sinA 2cosC+cosA 8.(2011· 江西新余四中期末)在△ABC 中, = 是角 A、B、C 成等差数列 cosA 2sinC-sinA 的( ) A.充分非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] sinA 2cosC+cosA = ? 2sinAsinC-sin2A=2cosAcosC+cos2A? 2cos(A+C)+1=0 cosA 2sinC-sinA S8 B. a8 ) S9 C. a9 S15 D. a15

1 π sinA ? cosB= ? B= ? A+C=2B? A、B、C 成等差数列.但当 A、B、C 成等差数列时, = 2 3 cosA 2cosC+cosA π π π 不一定成立,如 A= 、B= 、C= .故是充分非必要条件.故选 A. 2 3 6 2sinC-sinA y2 9.(理)(2010· 海口调研)已知 F1、F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点,P 是双曲线 24 上的一点,若|PF2|、|PF1|、|F1F2|是公差为正数的等差数列,则△F1PF2 的面积为( A.24 [答案] A [解析] 由题意可知|PF2|<|PF1|, 所以点 P 在双曲线的右支上, 所以|PF1|-|PF2|=2, 又|PF2| +|F1F2|=2|PF1|,即|PF2|+10=2|PF1|,联立解得|PF1|=8,|PF2|=6,所以△F1PF2 是以点 P B.22 C.18 D.12 )

1 为直角顶点的直角三角形,所以面积为 × 8× 6=24. 2 1 10.(理)(2011· 海南嘉积中学模拟、四川广元诊断)若数列{an}满足:an+1=1- 且 a1=2, an 则 a2011 等于( A.1 [答案] C 1 1 [解析] a1=2,a2= ,a3=-1,a4=2,a5= ,a6=-1,…依次类推,数列{an}的周期 2 2 是 3,而 2011=3× 670+1,故 a2011=a1=2. 11.(理)(2011· 豫南九校联考)设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,则 ab1+ab2+…+ab10=( A.1033 [答案] A [解析] an=2+(n-1)× 1=n+1,bn=1× 2n-1=2n-1, ab1+ab2+…+ab10=a1+a2+a4+…+a29=(1+1)+(2+1)+(22+1)+…+(29+1)=10 1× 210-1 + 2-1 =210+9=1033. 12.(理)(2010· 青岛质检)在数列{an}中,an+1=an+a(n∈N*,a 为常数),若平面上的三个 → → → → → → 不共线的非零向量OA,OB,OC满足OC=a1OA+a2010OB,三点 A、B、C 共线且该直线不过 O 点,则 S2010 等于( A.1005 [答案] A [解析] 由条件知数列{an}为等差数列, 且 A、 B、 C 三点共线, ∴a1+a2010=1, 故有 S2010 = 2010a1+a2010 =1005. 2 ) B.1006 C.2010 D.2012 B.1034 C.2057 ) D.2058 ) 1 B.- 2 C.2 1 D. 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) 13.(2011· 江苏镇江市质检)已知 1,x1,x2,7 成等差数列,1,y1,y2,8 成等比数列,点 M(x1,y1),N(x2,y2),则线段 MN 的中垂线方程是________.

[答案] x+y-7=0 [解析] 由条件得 x1=3,x2=5,y1=2,y2=4,∴MN 的中点(4,3),kMN=1,∴MN 的中 垂线方程为 y-3=-(x-4),即 x+y-7=0. 14.(理)(2010· 无锡模拟)已知正项数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,若以(an,Sn) 1 为坐标的点在曲线 y= x(x+1)上,则数列{an}的通项公式为________. 2 [答案] an=n 1 1 1 [解析] 由条件知, Sn= an(an+1), ∴Sn-1= an-1(an-1+1) (n≥2), 两式相减得 an= (a2 2 2 2 n -a2 n-1+an-an-1),整理得 an-an-1=1,∵a1=1,∴an=n. π? ?π ? 15.(2011· 苏北九校联考)已知 α∈? ?0,2?∪?2,π?,且 sinα,sin2α,sin4α 成等比数列, 则 α 的值为________. [答案] 2π 3

[解析] 由题意, sin22α=sinα· sin4α, ∴sin22α=2sinα· sin2α· cos2α, 即 sin2α=2sinα· cos2α, ∴2sinαcosα=2sinα· cos2α,即 cosα=cos2α, ∴2cos2α-1=cosα.∴(2cosα+1)(cosα-1)=0. 1 2π ∴cosα=- ,∴α= . 2 3 16.(理)(2011· 浙江宁波八校联考)在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行 成等差数列,每一纵列成等比数列,且从上到下所有公比相等,则 a+b+c 的值为________. a c b 1 [答案] 22 [解析] 由横行成等差数列知,6 下边为 3,从纵列成等比数列及所有公比相等知,公比 4+6 q=2,∴b=2× 2=4 由横行等差知 c 下边为 =5,故 c=5× 2=10,由纵列公比为 2 知 a 2 =1× 23=8,∴a+b+c=22. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. ) 17.(理)(2011· 四川广元诊断)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-2n,数列{bn}的前 n 项 2 6

和 Tn=3-bn. ①求数列{an}和{bn}的通项公式; 1 1 ②设 cn= an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Rn 的表达式. 4 3 [解析] ①由题意得 an=Sn-Sn-1=4n-4(n≥2) 而 n=1 时 a1=S1=0 也符合上式 ∴an=4n-4(n∈N+) 又∵bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn, ∴ bn 1 = bn-1 2

1 ∴{bn}是公比为 的等比数列, 2 3 而 b1=T1=3-b1,∴b1= , 2 3 1?n-1 ?1?n(n∈N ). ∴bn= ? =3· + ?2? 2?2? 1 1 1 1 ?1?n ②Cn= an·bn= (4n-4)× × 3 4 3 4 3 ?2? 1?n =(n-1)? ?2? , ∴Rn=C1+C2+C3+…+Cn 1?2 ?1?3+3· ?1?4+…+(n-1)· ?1?n =? + 2· ?2? ?2? ?2? ?2? 1?3 1 ?1?4+…+(n-2)?1?n+(n-1)?1?n+1 ∴ Rn=? ?2? +2· ?2? ?2? ?2? 2 1?2 ?1?3 1 ?1?n ?1?n+1, ∴ Rn=? ?2? +?2? +…+?2? -(n-1)· ?2? 2 1?n ∴Rn=1-(n+1)? ?2? . 18.(理)(2011· 华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知数列{bn}前 n 项和为 1 Sn,且 b1=1,bn+1= Sn. 3 (1)求 b2,b3,b4 的值; (2)求{bn}的通项公式; (3)求 b2+b4+b6+…+b2n 的值. 1 1 1 1 1 4 1 1 16 [解析] (1)b2= S1= b1= ,b3= S2= (b1+b2)= ,b4= S3= (b1+b2+b3)= . 3 3 3 3 3 9 3 3 27

?b =3S (2)? 1 ?b =3S
n+1 n

1

n

① ②

n-1

1 4 ①-②解 bn+1-bn= bn,∴bn+1= bn, 3 3 1 1 ?4?n-2 ∵b2= ,∴bn= · 3 3 ?3? 1 ? ? ∴bn=?1 ?4?n 2 - ? ?3? n≥2 ?3· (n≥2)

n=1 .

4?2 1 (3)b2,b4,b6…b2n 是首项为 ,公比? ?3? 的等比数列, 3 1 4 [1- 2n] 3 3 ∴b2+b4+b6+…+b2n= 4 ?2 1-? ?3? 3 4 = [( )2n-1]. 7 3 19.(理)(2011· 黑龙江林口四中)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上, 其中 n=1,2,3,…. (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项.
2 [分析] 从题设入手,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上可得,an+1=an +2an,

两边同时加 1 得 an+1+1=(an+1)2,取对数即可解决问题.由第(2)问的形式知可由(1)问继而 求出 1+an 的表达式.则 Tn 可求.
2 [解析] (1)由已知 an+1=a2 n+2an,∴an+1+1=(an+1) .∵a1=2,∴an+1>1,两边取对

数得: lg(1+an+1)=2lg(1+an),即 lg1+an+1 =2. lg1+an

∴{lg(1+an)}是公比为 2 的等比数列. (2)由(1)知 lg(1+an)=2n-1· lg(1+a1) =2n-1· lg3=lg32n-1 ∴1+an=32n-1(*) ∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=320· 321· …· 32n-1=31+2+22+…+2n-1=32n-1. 由(*)式得 an=32n-1-1.

20. (理)(2011· 安徽河历中学月考)设曲线 y=x2+x+2-lnx 在 x=1 处的切线为 l, 数列{an} 的首项 a1=-m,(其中常数 m 为正奇数)且对任意 n∈N+,点(n-1,an+1-an-a1)均在直线 l 上. (1)求出{an}的通项公式; (2)令 bn=nan (n∈N+),当 an≥a5 恒成立时,求出 n 的取值范围,使得 bn+1>bn 成立.

[解析] (1)由 y=x2+x+2-lnx, 知 x=1 时,y=4, 1?? 又 y′|x=1= ? ?2x+1-x??x=1=2, ∴直线 l 的方程为 y-4=2(x-1),即 y=2x+2, 又点(n-1,an+1-an-a1)在 l 上,a1=-m, ∴an+1-an+m=2n. 即 an+1-an=2n-m(n∈N+), ∴a2-a1=2-m, a3-a2=2× 2-m, … an-an-1=2× (n-1)-m. 各项迭加得,an=2(1+2+…+n-1)-(n-1)m+a1=n2-(m+1)n. ∴通项 an=n2-(m+1)n(n∈N+) m+1 (2)∵m 为奇数,∴ 为整数, 2 m+1 由题意知,a5 是数列{an}中的最小项,∴ =5, 2 ∴m=9,令 f(n)=bn=n3-(m+1)n2=n3-10n2, 则 f ′(n)=3n2-20n, 20 由 f ′(n)>0 得,n> (n∈N+), 3 20 即 n> (n∈N+)时,f(n)单调递增,即 bn+1>bn 成立,∴n 的取值范围是 n≥7,且 n∈N+. 3
2nπ? 21.(理)(2011· 辽宁丹东四校协作体联考)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=? ?1+cos 2 ?

an+sin2

nπ ,n=1,2,3,…. 2

(1)求 a3,a4,并求数列{an}的通项公式;

a2n-1 1 (2)设 bn= ,Sn=b1+b2+…+bn.证明:当 n≥6 时,|Sn-2|< . a2n n nπ nπ [分析] 考虑到递推关系式中的 sin 和 cos ,可以对 n 分偶数和奇数进行讨论,从而 2 2 求得数列{an}的通项公式,然后再求出数列{bn}的前 n 项和公式,用数学归纳法进行证明. π π [解析] (1)因为 a1=1,a2=2,所以 a3=(1+cos2 )a1+sin2 =a1+1=2, 2 2 a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4. 2k-1π 2k-1π 当 n=2k-1(k∈N*)时,a2k+1=[1+cos2 ]a2k-1+sin2 =a2k-1+1, 2 2 即 a2k+1-a2k-1=1. 所以 a2k-1=k.
22kπ? 22kπ 当 n=2k(k∈N*)时,a2k+2=? ?1+cos 2 ?a2k+sin 2 =2a2k.

所以 a2k=2k. 故数列{an}的通项公式为 1 ?n+ n=2k-1k∈N 2 a =? n ?22 n=2kk∈N
n * *

a2n-1 n (2)由(1)知,bn= = , a2n 2n 1 2 3 n Sn= + 2+ 3+…+ n,① 2 2 2 2 1 1 2 3 n S = + + +…+ n+1,② 2 n 22 23 24 2 1 1 1 1 1 n ①-②得, Sn= + 2+ 3+…+ n- n+1 2 2 2 2 2 2 1? ?1?n? 1- 2? ?2? ? n 1 n = - n+1=1- n- n+1. 1 2 2 2 1- 2 所以 Sn=2-
n-1- n=2-

1

2

n 2

n+2 . 2n

nn+2 1 要证明当 n≥6 时,|Sn-2|< 成立,只需证明当 n≥6 时, n <1 成立. n 2 6× 6+2 48 3 (1)当 n=6 时, = = <1 成立. 26 64 4

(2) 假设当 n = k(k≥6) 时不等式成立,即 k+1k+3 k+1k+3 × < <1, 2kk+2 k+2· 2k

kk+2 k+1k+3 kk+2 = k k <1. 则当 n = k + 1 时, 2 2 2k+1

nn+2 由(1)、(2)所述可知,当 n≥6 时, n <1. 2 1 即当 n≥6 时,|Sn-2|< 成立. n 22.(理)(2011· 湖南长沙一中期末)已知数列{an}和等比数列{bn}满足:a1=b1=4,a2=b2 =2,a3=1,且数列{an+1-an}是等差数列,n∈N*. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; 1 ? (2)是否存在 k∈N*,使得 ak-bk∈? ?2,3??若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理 由.

?1?n-1=?1?n-3, [解析] (1)易知 bn=4· ?2? ?2?
∵a2-a1=-2,a3-a2=-1,… ∴an+1-an=-2+(n-1)=n-3. ∴an-an-1=(n-1)-3, nn-1 ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1= -3(n-1)+4 2 n2-7n+14 = . 2 n2-7n+14 ?1?n-3 (2)设 cn=an-bn= -?2? .显然,当 n=1,2,3 时,cn=0. 2 n2+2n+1-7n-7+14 n2-7n+14 ?1?n-2 ?1?n-3 1?n-2 由 cn+1-cn= - -?2? +?2? =n-3+? ?2? . 2 2 1 1 当 n=3 时,c4-c3= ,∴c4=a4-b4= ; 2 2 1 5 7 当 n=4 时,c5-c4=1+ = ,∴c5=a5-b5= ; 4 4 4 1?3 17 31 当 n=5 时,c6-c5=2+? ?2? = 8 ,∴c6=a6-b6= 8 >3; 1?n-2 当 n≥6 时,cn+1-cn=n-3+? ?2? >3 恒成立; 此时 cn+1=an+1-bn+1>3+cn>3 恒成立. 1 ? ∴存在 k=5,使 ak-bk∈? ?2,3?.


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