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高二数学函数的单调性与函数的奇偶性测试题

时间:2017-08-28


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高二数学函数的单调性与函数的奇偶性苏教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容: 函数的单调性与函数的奇偶性 二. 教学目标: (1)理解函数单调性的定义,会用函数单调性解决一些问题。 (2)掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇偶

性,能利用函 数的奇偶性解决问题。 三. 教学重点: 函数单调性的判断和函数单调性的应用。函数奇偶性的定义及应用。 四. 教学难点: 函数单调性与奇偶性的运用。 五. 知识归纳: (一)概念 1. 函数单调性的定义:对于函数 f (x) 的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值

x1 , x 2 ,⑴若当 x1 < x 2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,则说 f (x) 在这个区间上是增函数;⑵若当 x1 < x 2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则说 f (x) 在这个区间上是减函数.
2. 函数奇偶性的定义:如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) , 那么函数 f(x)就叫做奇函数。 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函 数。 3. 奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; 4. f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |) . 5. 若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 . (二)主要方法: 1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义 域,函数的单调区间是定义域的子集; 2. 判断函数的单调性的方法有: (1)用定义; (2)用已知函数的单调性; (3)利用函数的导数. 3. 注意函数单调性的应用; 4. 判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须 注意使定义域不受影响; 5. 牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;

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6. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 。 f (? x)

7. 设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇

? 奇=偶偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇.
【典型例题】
例 1. 判断下列各函数的奇偶性:

1? x ; 1? x lg(1 ? x 2 ) (2) f ( x) ? 2 ; | x ? 2 | ?2
(1) f ( x) ? ( x ? 1) (3) f ( x ) ? ? 解: (1)由

? x2 ? x ( x ? 0) ? . 2 ( x ? 0) ?? x ? x ?

1? x ? 0 ,得定义域为 [?1,1) ,关于原点不对称 1? x

∴ f ( x) 为非奇非偶函数。

?1 ? x 2 ? 0 ? (2)由 ? 2 得定义域为 (?1,0) ? (0,1) ?| x ? 2 | ?2 ? 0 ?
∴ f ( x) ?

lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ?? ?( x 2 ? 2) ? 2 x2

∵ f (? x) ? ?

lg[1 ? (? x) 2 ] lg(1 ? x 2 ) ?? ? f ( x) (? x) 2 x2
2 2

∴ f ( x) 为偶函数 (3)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ?(? x) ? x ? ?( x ? x) ? ? f ( x) , 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? (? x) ? x ? ?(? x ? x) ? ? f ( x) , 综上所述,对任意的 x ? ?? ?,0? ? ?0,??? ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,∴ f ( x) 为奇函数.
2 2

例 2. (1)求函数 y ? log 0.7 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调区间; (2)已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x , 若 g ( x) ? f (2 ? x ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调性. 解: (1)单调增区间为: (2, ??), 单调减区间为 (??,1) ,
2 2

(2) g ( x) ? 8 ? 2(2 ? x ) ? (2 ? x ) ? ? x 4 ? 2 x 2 ? 8 , g ?( x) ? ?4 x ? 4 x ,
2 2 2 3

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 ,令 g ?( x) ? 0 , x ? 1 或 ?1 ? x ? 0 ∴单调增区间为 ?? ?,?1? ? ?0,1? ;单调减区间为 ?? 1,0? ? ?1,??? 例 3. 已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) (1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12) 。 解: (1)显然 f ( x) 的定义域是 R ,它关于原点对称。在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) 中, 令 y ? ?x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ∴ f (0) ? 0 , ∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x)
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∴ f ( x) 是奇函数. (2)由 f (?3) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) 及 f ( x) 是奇函数, 得 f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f (?3) ? ?4a 。 例 4. (1)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 的解析式为 f ( x) ? ?
3

x ) ,则 f ( x)

? x(1 ? 3 x ), x ? 0 ? ? x(1 ? 3 x ), x ? 0 ?



(2) ( 《高考 A 计划》 考点 3 “智能训练第 4 题” 已知 f ( x) 是偶函数,x ? R , x ? 0 ) 当 时, f ( x) 为增函数,若 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 | x1 |?| x2 | ,则 ( B )

A . f (? x1 ) ? f (? x2 ) C . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )
例 5. 设 a ? 0 , f ( x) ?

B . f (? x1 ) ? f (? x2 ) D . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

ex a ? 是 R 上的偶函数。 a ex

(1)求 a 的值; (2)证明 f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数。 解: (1)依题意,对一切 x ? R ,有 f (? x) ? f ( x)

1 ex a ? ae x ? ? x ae x a e 1 x 1 1 ∴ (a ? )(e ? x ) ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a ? ? 0 a e a ∴ a ? ?1 ∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 。 1 1 (2)设 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e x1 ? e x2 ? x ? x 1 e e2 x2 ? x1 1 1? e ? (e x2 ? e x1 )( x1 ? x2 ? 1) ? e x1 (e x2 ? x1 ? 1) x2 ? x1 , e e 由 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0
即 得 x1 ? x2 ? 0, e
x2 ? x1

? 1 ? 0 , 1 ? e x2 ? x1 ? 0

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数。 例 6. 已 知函 数 f ( x) 的 定 义域 是 x ? 0 的 一 切 实数 ,对 定义 域 内的 任 意 x1 , x2 都 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x ) ? f ( x ) 1 2 ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 。 (1)求证: f ( x) 是偶函数; (2) f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数;
(3)解不等式 f (2 x ? 1) ? 2 。
2

解: (1)令 x1 ? x2 ? 1 ,得 f (1) ? 2 f (1) ∴ f (1) ? 0 ,令 x1 ? x2 ? ?1 ,得∴ f (?1) ? 0 , ∴ f (? x) ? f (?1? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) ∴ f ( x) 是偶函数。
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(2)设 x2 ? x1 ? 0

x2 x x ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) x1 x1 x1 x x ∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ 2 ? 1 ,∴ f ( 2 ) ? 0 x1 x1 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ∴ f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数。 (3)? f (2) ? 1 ,∴ f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2
则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? ∵ f ( x) 是偶函数,∴不等式 f (2 x ? 1) ? 2 可化为 f (| 2 x ? 1|) ? f (4) 又∵函数在 (0, ??) 上是增函数
2 2

∴ | 2 x ? 1|? 4
2

10 10 , ?x? 2 2 10 10 即不等式的解集为 ( ? , )。 2 2
解得: ? 例 7. 函数 f ( x) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数,求 a 的取值范围。

a x

a x ①对任意的 1 ? x1 ? x2 , 总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; a ②当 x ? 1时, x ? 8 ? ? 0 恒成立。 x a 解:∵函数 f ( x) ? log9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数 x ∴对任意的 1 ? x1 ? x2 , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) a a 即 log 9 ( x1 ? 8 ? ) ? log 9 ( x2 ? 8 ? ) x1 x2 a a 得 x1 ? 8 ? ? x2 ? 8 ? x1 x2 a 即 ( x1 ? x2 )(1 ? )?0 x1 x2 a a a ? ? x1 x2 , ∵ x1 ? x2 ? 0 ,∴ 1 ? ? ?1, ? 0, x1 x2 x1 x2 ∵ x2 ? x1 ? 1 ,∴要使 a ? ? x1 x2 恒成立,只要 a ? ?1 ; a 又∵函数 f ( x) ? log9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数,∴ 1 ? 8 ? a ? 0 , x 即 a ? 9 ,综上 a 的取值范围为 [?1,9) . a a 另解: (用导数求解)令 g ( x) ? x ? 8 ? ,函数 f ( x) ? log9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是 x x
分析:由函数 f ( x) ? log9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数可以得到两个信息: 增函数

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a a 在 [1, ??) 上是增函数, g ?( x) ? 1 ? 2 , x x a ∴ 1 ? 8 ? a ? 0 ,且 1 ? 2 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,得 ?1 ? a ? 9 。 x
∴ g ( x) ? x ? 8 ? 例 8. 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R 。 (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值。
2

解: (1)当 a ? 0 时, f (? x) ? (? x )? | ? x | ?1 ? f ( x) ,此时 f ( x) 为偶函数;
2

当 a ? 0 时, f (a) ? a ? 1 , f (?a) ? a ? 2 | a | ?1 ∴ f (?a) ? f (a), f (?a) ? ? f (a), 此时函数 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.
2 2

(2)①当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? 若a ?

1 2

3 , 4

1 ,则函数 f ( x) 在 (??, a] 上单调递减 2 2 ∴函数 f ( x) 在 (??, a] 上的最小值为 f (a) ? a ? 1 ; 1 1 3 1 若 a ? ,函数 f ( x) 在 (??, a] 上的最小值为 f ( ) ? ? a ,且 f ( ) ? f (a) . 2 2 4 2 1 2 3 ②当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? , 2 4 1 1 3 1 若a ? ? , 则函数 f ( x) 在 [a, ??) 上的最小值为 f (? ) ? ? a , f (? ) ? f (a) ; 且 2 2 4 2 1 若 a ? ? ,则函数 f ( x) 在 [a, ??) 上单调递增 2 2 ∴函数 f ( x) 在 [a, ??) 上的最小值为 f (a) ? a ? 1 1 1 1 3 综上,当 a ? ? 时,函数 f ( x) 的最小值是 ? a ,当 ? ? a ? 时,函数 f ( x) 的最 2 2 2 4 1 3 小值是 a 2 ? 1 ,当 a ? ,函数 f ( x) 的最小值是 a ? 。 2 4

【模拟试题】
1. 下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③ 偶函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正 确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 x 2. 函数 F(x)=(1+2/(2 ?1))f(x)(x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f(x)( A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 既是奇函数,又是偶函数 D. 非奇非偶函数 3. 已知函数 f(x)=x2+lg(x+ x ? 1 ),若 f(a)=M,则 f(?a)等于(
2




2

A. M?2a

2

B. 2a ?M
2

C. 2M?a

2

4. 若对正常数 m 和任意实数 x,等式 f ( x ? m) ?

1 ? f ( x) 成立,则下列说法正确的是 1 ? f ( x)

D. a ?2M

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) A. 函数 f ( x) 是周期函数,最小正周期为 2m B. 函数 f ( x) 是奇函数,但不是周期函数 C. 函数 f ( x) 是周期函数,最小正周期为 4 m D. 函数 f ( x) 是偶函数,但不是周期函数 5. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,它在 [0,??) 上递减,那么一定有( ) 3 3 A. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) B. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4 4 3 3 C. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) D. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4 4 6. 已知 y=f(x)是偶函数,且在 [0,??) 上是减函数,则 f(1-x2)是增函数的区间是( A. [0,??) B. (??,0] C. [?1,0) ? (1,??) D. (??,1] ? (0,1] 7. 函数 y=loga|x+1|在(-1,0)上单调递减,则 y 在(-∞,-1)上是( A. 由负到正单调递增 B. 由正到负单调递减 C. 单调递减且恒为正数 D. 时增时减
2





8. 设函数 f(x)= x ?1 ? ax (a>0),求 a 的取值范围,使函数 f(x)在区间[0,+?)上是单 调函数。

x 2 ? 2 x ? 3 的递减区间是 x ? 10. 函数 y=lncos( ? )的递减区间是 3 4
9. 函数 y= 11. 函数 y=loga(2?ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是 12. 设奇函数 f(x)在[0,+?)上是增函数,若对于任意实数 x,不等式 f(kx)+f(x?x2?2)<0 恒成立,求实数 k 的取值范围。 13. 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数, 周期 T ? 5 , 函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取
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得最小值 ?5 。 ①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; ②求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; ③求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式。 14. 甲乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/小时,已知 汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度 v(单位: 千米/小时)的平方成正比,比例系数为 b,固定部分为 a 元。 (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的 定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

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【试题答案】
1. A 2. A 3. B 4. C 5. B 6. D 8. 当 a?1 时,f(x)递减; 当 0<a<1 时,存在两点 x1=0,x2=2a/(1?a2) ,f(x1)=f(x2)=1,故无单调性。 9. (-∞,-3) 10. [6k??3?/4,6k?+3?/4] k?Z 11. (1,2) 12. -2 2 ?1<k<2 2 ?1 13. 解:∵ f ( x) 是以 5 为周期的周期函数 ∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) , ∴ f (1) ? f (4) ? 0
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7. A

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②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2) ? 5 (a ? 0) ,
2

由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2) ? 5 ? a(4 ? 2) ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 ,
2 2

∴ f ( x) ? 2( x ? 2) ? 5(1 ? x ? 4) ③∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数
2
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∴可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) ,而 f (1) ? 2(1 ? 2) ? 5 ? ?3 ,
2

∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 从而当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x
2
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∴当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15

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当 6 ? x ? 9 时,1 ? x ? 5 ? 4 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2] ? 5 ? 2( x ? 7) ? 5
2

∴ f ( x) ? ?

??3 x ? 15,
2

4? x?6
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?2( x ? 7) ? 5,

6? x?9

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14. 解: (1)由已知汽车从甲地到乙地所用时间为

S 全程运输成本为 v

故所求函数及其定义域为

a (2)依题意 S,a,b,v 都是正数,故有 S? ? bv ? ? 2S ab ? ? ?v ?

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由于 v 1 v 2 >0,v 2 -v 1 >0,并且

又 S>0,所以



则当 v=c 时,y 取最小值

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