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江苏省苏南四校2012-2013学年高一上学期期中联考数学试题


2012~2013 学年第一学期期中考试四校联考

注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页, 包括填空题 (第 1 题~第 14 题) 解答题 、 (第 15 题~第 20 题) 两部分. 本 试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用 0 .5 毫米黑色字迹的签字笔

填写在试卷的指 定位置. 3.答题时,必须用书写黑色字迹的 0 .5 毫米签字笔写在试卷的指定位置,在其它位置作答 一律无效. 4.如有作图需要,可用 2 B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上. ........
( ) 1. 设 全 集 U ? ? 0 , 1 , 2 , ? ,, 集 合 A ? ? 0 , 1 , 2?, , B ? ? 2 , 3, 4 ? , 则 C U A ? B? 3 4 3

一 年级 数学 试卷
命题人:刘国君

命题学校:张家港市乐余高级中学




lo g 1 ( x ? 1) 的定义域是
2

2. 函数 y ?



. ▲ . ▲ .

3. 函数 f ( x ) ? ( ) ? 1, x ? ?? 1,1 ? 的值域是
x

1

2

4. 幂函数 y ? ( m ? m ? 1) x
2

?5 m ?3

在 ? 0 , ? ? ? 上为单调减函数,则实数 m 的值为

? x ,x ? 0 5. 已知函数 f ( x ) ? ? ,若 f ( a ) ? 2 ,则 a = ? lo g 2 x , x ? 0
2





6. 设 f ( x ) 是定义在(- ? , + ? )上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? 1 ,则 f ( ? 2 ) ?
2




2

7. 函 数 f ( x ) ? x ? 2 mx ? 3 , 当 x ? ?? 2 , ?? ? 时 是 增 函 数 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ▲ . ▲ . ▲ .
2

8. 方程 x ? lo g 1 x ? 2 的实数解的个数为
2

9. 函数 f ( x ) ? lo g 1 (5 ? 4 x ? x ) 的单调减区间为
3

10.函数 f ( x ) 对一切 x ? R , 都有 f ( x ? 2 ) ?

1 f (x)

, f ? 1 ? ? ?, 则 f [ f (5 )] ? 且 1





1

11. 已 知 集 合 A ?
( c , ?? ) ,其中 c ?

? x | l o g2


x ? 2 , B ? (? ? , a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 ?


f ( a ) ? f (b ) a ?b ? 0(a ? b) ,

12.已知函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ), 当 a , b ? ( ?? , 0 ) 时,总有 若 f ( m ? 1 ) ? f ( 2 m ) ,则实数 m 的取值范围是 ▲ .

13.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x (1 ? y ) .若不等式 ( x ? a ) ? ( x ? 1) ? 1 对一切实数 x 都成 立,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

14. 函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若满足① f ( x ) 在 D 内是单调函数,②存在 ? a , b ? ? D ,使
f ( x ) 在 ? a , b ? 上的值域为 ? ? b , ? a ? ,那么 y ? f ( x ) 叫做对称函数,现有 f ( x ) ? 2 ? x ? k 是对称函

数, 那么 k 的取值范围是





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. ( 本 小 题 满 分
B ?

14

分 )

设 集 合

A ? ? x | y ? log

2

( x ? 1) ?



?y |

y ? ?x

2

? 2 x ? 2, x ? R .

?

(1) 求集合 A , B ; (2) 若集合 C ? { x | 2 x ? a ? 0 } ,且满足 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围.

16. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? lo g a (1 ? x ) , g ( x ) ? lo g a (1 ? x ) 其 中
( a ? 0 且 a ? 1 ) ,设 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) .

(1)求函数 h ( x ) 的定义域,判断 h ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 f (3) ? 2 ,求使 h ( x ) ? 0 成立的 x 的集合.

17.(本小题满分 14 分)某企业生产一种机器的固定成本为 0 . 5 万元,但每生产1 百台时,
2

又需可变成本(即另增加投入) 0 . 25 万元. 市场对此商品的年需求量为 5 百台, 销售的收入(单 位:万元)函数为 R ? x ? ? 5 x ?
1 2 x
2

?0

? x ? 5 ? ,其中 x 是产品生产的数量(单位:百台).

(1)将利润表示为产量的函数; (2)年产量是多少时,企业所得利润最大?

18.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ? a ? (1)求实数 a 的值;

2 2 ?1
x

是奇函数 ( a ? R ) .

(2)试判断函数 f ( x ) 在( ? ? , ? ? )上的单调性,并证明你的结论; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f ( t ? ( m ? 2 ) t ) ? f ( t ? m ? 1 ) ? 0 恒成立,求实数 m 的
2 2

取值范围.

19. (本小题满分 16 分)已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) ,它们分别满足条 件 : 对 任 意 a , b ? R , 都 有 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f (b ) ; 对 任 意 a , b ? R , 都 有
g ( a ? b ) ? g ( a ) · g ( b ) ,且对任意 x ? 0 ,都有 g ( x ) >1 成立.

(1)求 f ( 0 ) 、 g ( 0 ) 的值; (2)证明函数 y ? f ( x ) 是奇函数; (3)证明 x <0 时, 0 ? g ( x ) <1,且函数 y ? g ( x ) 在 R 上是增函数; (4)试各举出一个符合函数 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) 的实例.

20.

( 本 小 题 满 分
g (x) ? ?
2

16
2

分 ) 已 知 函 数 ,a,b ? R .

f ( x) ? ax ? 2
2

4 ? 2b ? b x
2



? x ? 2ax ? 1 ? a

(1)当 b ? 0 时,若 f ( x ) 在 [ 2 , ? ? ) 上是减函数,求 a 的取值范围;
3

(2)求满足下列条件的所有实数对 ( a , b ) : a 是整数时, 当 存在 x 0 使 f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的最 大值, g ( x 0 ) 是 g ( x ) 的最小值.

2012~2013 学年第一学期期中考试四校联考

一、填空题 _______________考试号_________________ 1. 3. 5. 7. 9. 11. ; ; ; ; ; ; 2. 4. 6. 8. 10. 12. ; ; ; ; ; ;

一 年级 数学 答题卷

4

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 16.

17.

5

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!

18.

19.

6

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!

20.

7

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!

2012~2013 学年第一学期期中考试四校联考

一.填空题: 1. ?2 , 3 , 4 ? 2. ?1 , 2 ? 3. ? , 3 ? ?2 ? 8. 2 个
?3 ?

一 年级 数学 参考答案

4. 2 9. ? ? 5 , ? 2 ?

5. ?

2 或4

6.

?5

7.

m ? ?2
1 3

10. ? 1
? 9 ?

11. 4 二.解答题:

12.m ? ?

,或 m ? 1

13.? 2 ? a ? 2

14.k ? ? 2 , ? ? 4 ?

15.解: (1) A ? ? 1, ? ? ? (2) C ? ? ? ? , ?
? ? a ? ? 2 ?

………………3 分;

B ? ? ? ? , ? 1 ? ……………………6 分

……………………………………9 分

?

B ?C ? C

?

B ? C ……………………………………11 分

?

?

a 2

? ?1

?

a ? 2 ……………………………………14 分

16.解: (1)由题意,得
?1 ? x ? 0 ? x ? ? 1 解得 ? 1 ? x ? 1 ,故 h ( x ) 的定义域为 ( ? 1,1) .…………3 分 ? ? 1? x ? 0 ? x ? 1

8

h ( x ) 的定义域为 ( ? 1,1) ,关于数 0 对称,

且 h ( ? x ) ? f ( ? x ) ? g ( ? x ) ? lo g a (1 ? x ) ? lo g a (1 ? x ) ? ? h ( x ) , 故 h ( x ) 为 奇 函 数.…7 分 (2)由 f (3) ? 2 得 a ? 2 …………9 分
h ( x ) ? lo g 2 (1 ? x ) ? lo g 2 (1 ? x ) ? lo g 2 ( 1? x 1? x ) ? 0 ? lo g 2 1

?1 ? x ? 1 ? x ? 0或 x ? 1 ? 即 ?1 ? x ,解得 ? 1 ? x ? 0 ,? 所求的 x 的集合为 ( ? 1, 0 ) …14 分 ? ?1 ? x ? 1 ?

17. 解: (1)当 0 ? x ? 5 时,产品能全部售出,成本为 0 .2 5 x ? 0 .5 ,收入为 5 x ? 利润 f ? x ? ? 5 x ?
1 2 x ? 0 .2 5 x ? 0 .5 ? ?
2

1 2

x

2

1 2

x ? 4 .7 5 x ? 0 .5 ………………3 分
2

当 x ? 5 时,只能销售 5 百台,成本为 0 .2 5 x ? 0 .5 ,销售收入为 5 ? 5 ? 利润 f ? x ? ?
25 2

1 2

?5 ?
2

25 2

? 0 .2 5 x ? 0 .5 ? ? 0 .2 5 x ? 1 2 ……………………………………6 分

综上, 利润函数 f ? x ? ? ?

? ? 0 .5 x ? 4 .7 5 x ? 0 .5
2

0 ? x ?5 x ?5

? ? 0 .2 5 x ? 1 2
1 2

…………………8 分

(2)当 0 ? x ? 5 时, f ? x ? ? ?

?x ?

4 .7 5 ? ? 1 0 .7 8 1 2 5
2

当 x ? 4 .7 5 时, f ? x ? m ax ? 1 0 .7 8 1 2 5 万元……………………………………11 分 当 x ? 5 时,函数 f ? x ? 是减函数,则 f ? x ? ? 1 2 ? 0 .2 5 ? 5 ? 1 0 .7 5 万元……13 分 综上,当年产量是 475 台时,利润最大……………………………………14 分 18.解:(1)由题意可得: f ( x ) =
?x

a2 ? a ? 2
x

2 ?1
x

∵ f ( x ) 是奇函数
x

∴ f (? x) ? ? f ( x)



a2

? a ? 2 ?1

2

?x

? ?

a2 ? a ? 2
x

2 ?1
x

?

a ? (a ? 2)2 2 ?1
x

x

? ?

a2 ? a ? 2 2 ?1
x

∴ a ? 2 ? a ,即 a ? 1 即 f (x) ? 1 ?
2 2 ?1
x

……………………………………4 分

(2)设 x 1 , x 2 为区间 ? ? ? , ? ? ? 内的任意两个值,且 x 1 ? x 2 , 则0 ? 2
x1

? 2

x2

,2

x1

?2

x2

? 0,

9

∵ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) =

2 2
x2

?1

? 2

2
x1

?1

=
(2

2(2
x1

x1

? 2

x2

) ? 1)

? 1) ( 2

x2

? 0

即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ∴ f ( x ) 是 ? ? ? , ? ? ? 上的增函数. ………………………10 分 (3)由(1)(2)知, f ( x ) 是 ? ? ? , ? ? ? 上的增函数,且是奇函数. 、 ∵ f ( t ? ( m ? 2 ) t ) ? f ( t ? m ? 1) ? 0
2 2

∴ f ( t ? ( m ? 2 ) t ) ? ? f ( t ? m ? 1) = f ( ? t ? m ? 1)
2 2 2

2 ∴ t ? ( m ? 2 )t ? ? t ? m ? 1
2

…………………………13 分

即 2 t ? ( m ? 2 ) t ? ( m ? 1 ) ? 0 对任意 t ? R 恒成立.
2

2 只需 ? = ( m ? 2 ) ? 4 ? 2 ( m ? 1) = m ? 4 m ? 1 2 ? 0 ,解之得 m ? ?
2

……16 分

19. 解: (1)令 a ? b ? 0 ,则 f ( 0 ) ? f ( 0 ) ? f ( 0 ) ? f ( 0 ) ? 0 ……2 分
g ( 0 ) ? g ( 0 ) ? g ( 0 ) ? g ( 0 ) ? 0 或 g ( 0 ) ? 1 ,若 g ( 0 ) ? 0 ,则 g ( x ) ? 0 ,与条件

矛盾. 故 g ( 0 ) ? 1 …………4 分(也可令 a ? 0 , b ? 1 ,则不需要检验) (2) f ( x ) 的定义域为 R,关于数 0 对称,令 a ? x , b ? ? x ,则 f ( ? x ) ? ? f ( x ) . 故 f ( x ) 为奇函数.……………………6 分 (3)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , g ( ? x ) ? 1 ,又 g ( x ) ? g ( ? x ) ? g ( 0 ) ? 1 ? 0 ? g ( x ) ? 1 故 ? x ? R , g ( x ) ? 0 ………………………………………………………10 分 证法一:设 x 1 , x 2 为 R 上任意两个实数,且 x 1 ? x 2 ,则 x 1 ? x 2 ? 0 , g ( x 1 ? x 2 ) ? 1
g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ? g [( x 1 ? x 2 ) ? x 2 ] ? g ( x 2 ) ? [ g ( x 1 ? x 2 ) ? 1] ? g ( x 2 ) <0.

故 g ( x ) 为 R 上的增函数.
g ( x1 ) g ( x2 ) g [ ( x1 ? x 2 ) ? x 2 ] g ( x2 )
x

证法二:

?

? g ( x1 ? x 2 ) ? 1

……………………14 分

(4) f ( x ) ? 2 x ; g ( x ) ? 2 (其余符合条件的均给分)………………16 分.

10

20. 解: (1) b ? 0 时, f ? x ? ? ax

2

? 4x

① a ? 0 时, f ? x ? ? ? 4 x ,满足题意
?a ? 0 ? ② a ? 0 时, ? 2 ? a ? 0 ? ? 2 ?a

………………………2 分

∴ a ? 0 满足要求 (2)当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? 2 4 ? 2 b ? b 2 x 不存在最大值 ∵ f ? x ? 存在最大值 f ? x 0 ? ,
4 ? 2b ? b a
2
2

………………………6 分 ………………………7 分

∴a ? 0 且 x ? x0 ?

时 f ? x ? 取得最大值

………………………9 分

对于 g ? x ? ? ? ? ? x ? a ? ? 1 当 x ? a 时, g ? x ? 取得最小值
4 ? 2b ? b a
2

……………………11 分



? a ,∴ a

2

?

4 ? 2b ? b

2

?

5 ? ?b ? 1 ?

2

…………………13 分

∴0 ? a

2

?

5 ,∵ a 是负整数,∴ a ? ? 1

从而 b ? ? 1或 3 ,∴满足题意的实数对为 ? ? 1, ? 1 ?和 ? ? 1, 3 ?

…………………16 分

11


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